Главная » Просмотр файлов » 1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930

1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 9

Файл №826746 1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (2018- Слайды Ткачев) 9 страница1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746) страница 92021-01-26СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

ðèñ. 1 (íà ðèñóíêå y0 = 0, îñü Ot íàïðàâëåíà íå âïðàâî,à ââåðõ).Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.ty1t1t00y2Ðèñ. 1Ïîñòðîåííàÿ âåêòîð - ôóíêöèÿ ϕ(t) ÿâëÿåòñÿ ε ïðèáëèæåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè (1).Ïðîâåðèì, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê:1) ϕ(0) = y0 .Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.2) ϕ(t) = ϕ(tk−1 ) + A(tk−1 )ϕ(tk−1 ) + f (tk−1 ) ··(t − tk−1 ), åñëè tk−1 < t < tk , k = 2, ... , n.Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî ϕ(t) ∈ Cp1 [0, α] èkϕ(t) − ϕ(t̃)k ≤ M|t − t̃|, t, t̃ ∈ [0, α].(16)Ñëåäîâàòåëüíî, èç (15) è (16) ñëåäóåò, ÷òîkϕ(t) − ϕ(tk−1 )k ≤ δε ,êîãäà tk−1 < t < tk , k = 2, ... , n.3)0kϕ (t) − A(t)ϕ(t) + f (t) k = kA(tk−1 )ϕ(tk−1 )++f (tk−1 ) − A(t)ϕ(t) + f (t) k ≤ ε.(17)Òàêèì îáðàçîì, ïðåäëîæåíèå äîêàçàíî.Çàìå÷àíèå 1.Ðåêêóðåíòíîå ñîîòíîøåíèåϕk = ϕk−1 + (tk − tk−1 ) A(tk−1 )ϕ(tk−1 ) + f (tk−1 )Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.

îñíîâà ðÿäà âû÷èñëèòåëüíûõ àëãîðèòìîâ äëÿ íàõîæäåíèÿïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé çàäà÷è (1).Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1).Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåì ïðèíöèï êîìïàêòíîñòè Àñêîëè - Àðöåëà.Îïðåäåëåíèå 2.Ìíîæåñòâî ôóíêöèé F = {f }, îïðåäåëåííûõ íà èíòåðâàëå I ,íàçûâàåòñÿ ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíûì íà I , åñëè ∀ε > 0∃δε > 0 (íå çàâèñÿùåå îò f ) òàêîå, ÷òî kf (t) − f (t̃)k ≤ ε, êîãäà|t − t̃| ≤ δε , t, t̃ ∈ I .Òåîðåìà 1 (Àñêîëè - Àðöåëà).Ïóñòü âûïîëíåíû äâà ñâîéñòâà:1) Ñåìåéñòâî ôóíêöèé F = {f } ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíî;2) F = {f } ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíî íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå I .Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé {fn }n∈N ∈ F ,ðàâíîìåðíî ñõîäÿùàÿñÿ íà I .Óêàçàíèå.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðèíöèïÁîëüöàíî - Âåéåðøòðàññà êîìïàêòíîñòè îãðàíè÷åííîãî îòðåçêà.Òåîðåìà 2.Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.Íà îòðåçêå |t| ≤ α ñóùåñòâóåò ðåøåíèå ϕ(t) ∈ C 1 çàäà÷è (1).Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü εn - ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, εn → 0 ïðè n → ∞.Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ϕn (t) ïðèáëèæåííûõ εn ðåøåíèé çàäà÷è (1).Òîãäà âûïîëíåíû ñâîéñòâà:1) ϕn (0) = y0 ;2) kϕn (t) − ϕn (t̃)k ≤ M|t − t̃| ⇒ kϕn (t)k ≤ ky0 k + K ,(18)òî åñòü ñåìåéñòâî ôóíêöèé ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíî èðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíî.Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ïðèíöèïà êîìïàêòíîñòè Àñêîëè Àðöåëà ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ϕnk ⇒ ϕ íà [−α, α].Ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ϕ(t) è åñòü ðåøåíèå.Äîêàæåì ýòî.Z tϕn (t) = y0 +A(s)ϕn (s) + f (s) + 4n (s) ds,(19)0Ëèíåéíûé äèôô.

óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.ãäå 1 ϕn − A(s)ϕn (s) + f (s) , â òî÷êàõ, ãäå∃ϕn ;4n (s) =0,èíà÷å. ñèëó íåðàâåíñòâà (17) è îïðåäåëåíèÿ ε - ïðèáëèæåííîãîðåøåíèÿ èìååì:k4n (t)k ≤ εn , àA(t)ϕnk (t) + f (t) ⇒ A(t)ϕ(t) + f (t) íà [−α, α].Ïåðåõîäÿ òåïåðü ê ïðåäåëó ïðè n, k → ∞ â ñîîòíîøåíèè (19)ïîëó÷àåì:Z tϕ(t) = y0 +A(t)ϕ(t) + f (t) dt.(20)0Äèôôåðåíöèðóÿ ðàâåíñòâî (20), ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèÿì: 0ϕ = A(t)ϕ + f (t), t > 0,ϕ(0) = y0 .Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå 2.Ìåòîä, èñïîëüçîâàííûé ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2,íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì ëîìàíûõ Ýéëåðà. Îí ïðèìåíÿåòñÿ íåòîëüêî â ñëó÷àå ëèíåéíûõ çàäà÷ (êàê ñèñòåìà óðàâíåíèé (1)) íîè â áîëåå îáùèõ ñèòóàöèÿõ (ñì. íèæå òåîðåìó Ïåàíî - Êîøè).Çàìå÷àíèå 3.Ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ϕn ⇒ ðåøåíèþ (åñëè åñòüåäèíñòâåííîñòü).Ïðèìåð 1.Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó Êîøè:10x = x3,x(0) = 0.(21)Òîãäà ìíîæåñòâî ðåøåíèé çàäà÷è (21) ìîæíî çàäàòü òàê:ϕc (t) = 0,ϕc (t) =(0 ≤ t ≤ c);2(t−c) 23,3(c < t ≤ 1).(22)Ëèíåéíûé äèôô.

óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.Òàêèì îáðàçîì, â îáùåì ñëó÷àå òðåáîâàíèå íåïðåðûâíîñòèïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (èëè ñèñòåìû) íå äîñòàòî÷íî äëÿîáîñíîâàíèÿ åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè.Íåîáõîäèìû äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ.Ñôîðìóëèðóåì íàèáîëåå îáùóþ òåîðåìó î ñóùåñòâîâàíèèðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿïåðâîãî ïîðÿäêà.Òåîðåìà 3 (Êîøè - Ïåàíî).Åñëè f (t, y ) ∈ C â ïðÿìîóãîëüíèêåP = {|t − t0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b}, (a, b > 0),òî äëÿ|t − t0 | ≤ α = min(a,b), (M = max |f (t, y )|)PMñóùåñòâóåò ðåøåíèå y (t) ∈ C 1 çàäà÷è Êîøè 0y = f (t, y ),y (t0 ) = y0 .(23)Ëèíåéíûé äèôô.

óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâóòåîðåìû 2: ïðè ïîìîùè ìåòîäà ëîìàíûõ Ýéëåðà.Çàìå÷àíèå 4.Òåîðåìà 3 ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè âìàëîì, òîëüêî íà îòðåçêå Ïåàíî, |t − t0 | ≤ α.Çàìå÷àíèå 5.Ñëîæíûé ïðèìåð íååäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøèâïåðâûå, â 1925 ãîäó, áûë ïîñòðîåí Ì.À. Ëàâðåíòåâûì (ñì.òàêæå Ô.

Õàðòìàí, Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûåóðàâíåíèÿ, Ìîñêâà, Ìèð, 1970, ñ. 31-35). ýòîì ïðèìåðå íà êàæäîì îòðåçêå [t0 , t0 + ε] è [t0 − ε, t0 ] äëÿëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ε çàäà÷à Êîøè (23) èìååò áîëååîäíîãî ðåøåíèÿ.Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ïðåäåëüíîãî (ìèíèìàëüíîãî)òðåáîâàíèÿ íà ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ, ãàðàíòèðóþùåãîåäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè.Ïðèâåäåì òåïåðü îäèí ðåçóëüòàò Îñòãóäà î åäèíñòâåííîñòè.Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.Òåîðåìà 4.Åñëè ôóíêöèÿ f (x, y ) äëÿ ëþáîé ïàðû òî÷åê (x, y1 ) è (x, y2 )îáëàñòè G óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó|f (x, y2 − f (x, y1 )| ≤ Φ(|y1 − y2 |),ãäå Φ(u) > 0, 0 < u ≤ ε, Φ(u) - íåïðåðûâíà èZ cdu→ ∞, ε → 0,ε Φ(u)(24)òî ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó (x0 , y0 ) ∈ G ïðîõîäèò ãðàôèê íå áîëåå0÷åì îäíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ y = f (x, y ).Çàìå÷àíèå 6. êà÷åñòâå Φ(u) ìîæíî âçÿòü: Ku , Ku · | ln(u)|,Ku| ln(u)| · ln(| ln(u)|), ...

(K > 0 - ïîñòîÿííàÿ) (òî åñòü, åñëèâçÿòü Ku , òî ôóíêöèÿ f (x, y ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöàïî àðãóìåíòó y ); åñëè îáëàñòü G âûïóêëà ïî y , òî ïîäõîäèòñëó÷àé, êîãäà f (x, y ) èìååò îãðàíè÷åííóþ ÷àñòíóþïðîèçâîäíóþ ïî y .Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4.Ïóñòü çàäà÷à Êîøè èìååò äâà ðåøåíèÿ: y1 (x) è y2 (x), ïðè÷åìy1 (x0 ) = y2 (x0 ) = y0 è ïóñòü (áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè) x0 = 0.Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ z(x) = y2 (x) − y1 (x).

Òîãäà ñóùåñòâóåòòî÷êà x1 > 0 òàêàÿ, ÷òî z(x1 ) 6= 0 (äëÿ îïðåäåëåííîñòèz(x1 ) > 0).Òîãäàd(y2 − y1 )dz=≤ Φ(|y2 − y1 |) < 2Φ(|y2 − y1 |),dxdxåñëè |y2 − y1 | > 0.Ïîñòðîèì ðåøåíèå y (x) óðàâíåíèÿdydx= 2Φ(y ), ïðè÷åìy (x1 ) = z(x1 ) = z1 .(25) ñèëó óñëîâèÿ (24) ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (25) ñóùåñòâóåò,åäèíñòâåííî è àñèìïòîòè÷åñêè ñòðåìèòñÿ ê âåùåñòâåííîéïðÿìîé (îñè àáñöèññ) ïðè x → −∞ (ñì.

ðèñóíîê 2).Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.yy(x)z(x)z10x1xÐèñ. 2 òî÷êå (x1 , z1 ) ãðàôèêè ôóíêöèé y (x) è z(x) ïåðåñåêóòñÿ,ïðè÷åì000z (x1 ) < 2Φ(z1 ) = 2Φ y (x1 ) = y (x1 ).Òîãäà ñóùåñòâóåò ε > 0 òàêîå, ÷òî íà èíòåðâàëå (x1 − ε, x1 )Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.z(x) > y (x).

Íî ýòî æå íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî è ïðè âñåõε > 0, 0 < ε ≤ x1 .Äîêàæåì ýòî ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî.Âîçüìåì íàèáîëüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå ε, ïðè êîòîðîìçíà÷åíèÿ z(x2 ) = y (x2 ), x2 = x1 − ε.Ñëåäîâàòåëüíî,00z (x2 ) ≥ y (x2 ) = 2Φ y (x2 ) = 2Φ z(x2 ) ,òàê êàê ïðàâåå x2 z(x) > y (x).0Ñ äðóãîé ñòîðîíû z (x2 ) < 2Φ z(x2 ) - ïðîòèâîðå÷èå.Çíà÷èò, ïðè âñÿêîì x , åñëè 0 ≤ x ≤ x1 ,z(x) ≥ y (x) > 0,ñëåäîâàòåëüíî, z(0) > 0 - ïðîòèâîðå÷èå.Òåîðåìà 4 (Îñòâóäà) äîêàçàíà.Ãëàâà II.

Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèéíåëèíåéíûõ ñèñòåì. Çàäà÷à Êîøè. ÏðîäîëæåíèåðåøåíèéŸ10. Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèéíåëèíåéíûõ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñäîñòàòî÷íî ãëàäêèìè ïðàâûìè ÷àñòÿìè. ËåììàÀäàìàðà. Òåîðåìà Ëèíäåëåôà - ÏèêàðàÏåðåõîäèì ê èçó÷åíèþ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéäîñòàòî÷íî îáùåãî âèäà. À èìåííî ìû ðàññìîòðèì âîïðîñ îáîäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è Êîøè ñëåäóþùåãî âèäà:Çäåñüy (t) = y1 (t)...ddt y (t)= f (t, y ),y (t0 ) = y0 .(1)yN (t)- âåêòîð èñêîìûõ ôóíêöèé;Ëåììà Àäàìàðà. Òåîðåìà Ëèíäëåôà - Ïèêàðày10 (t)y0 (t) =  ...  - âåêòîð íà÷àëüíûõ äàííûõ;y (t)N 0f1 (t, y )f (t, y ) =  ...  - âåêòîð ïðàâûõ ÷àñòåé.fN (t, y )Äàëåå ïðåäïîëàãàåì, ÷òî:1)f (t, y )- îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà â îáëàñòèΩ̄ = {(t, y ) |t − t0 | ≤ T , ky − y0 k ≤ R,0< T < ∞,0< R < ∞}.Ëåììà Àäàìàðà.

Òåîðåìà Ëèíäëåôà - Ïèêàðàyy0 +Ry0t0 - Tt0 + Ty0- R0t0tÐèñ. 1Ëåììà Àäàìàðà. Òåîðåìà Ëèíäëåôà - ÏèêàðàÑëåäîâàòåëüíî, âãäå 0<F <∞Ω̄ kf (t, y )k ≤ F ,- íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.Çàìå÷àíèå 1.Äåëàÿ â ñèñòåìå (1) çàìåíóτ = t − t0 ,z = y − y0 ,z = z(τ ),ïðåîáðàçóåì åå ê ñëåäóþùåìó âèäó:0z = f (t0 + τ , y0 + z) = f (τ , z),z(0) = 0.0(1 )Ñëåäîâàòåëüíî, â çàäà÷å Êîøè (1) ñðàçó ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òît0 = 0, y0 = 0.À òîãäà óñëîâèå 1) ýêâèâàëåíòíî òàêîìó óñëîâèþ:f (t, y ) - îïðåäåëåíàè íåïðåðûâíàΩ̄ = {(t, y ) |t| ≤ T , ky k ≤ R}.Çíà÷èò kf (t, y )k ≤ F â Ω̄.âËåììà Àäàìàðà.

Òåîðåìà Ëèíäëåôà - ÏèêàðàyR-TT0t-RÐèñ. 2Ëåììà Àäàìàðà. Òåîðåìà Ëèíäëåôà - ÏèêàðàÇàìå÷àíèå 2Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ðåøåíèåy = y (t) çàäà÷è Êîøè (1) òàêîå, ÷òî ïðè0 ≤ t ≤ t1 èëè t1 ≤ t ≤ 0 çíà÷åíèÿ y (t) íåky k ≤ R (òî÷íåå öèëèíäðà Ω̄).âûõîäÿò èç øàðàÒîãäà èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå0y = f (t, y )ïîtîò 0 äî t1 , ïîëó÷èìZy (t1 ) =ky (t1 k ≤ t1f (t, y (t))dt,òî åñòü0Zt10f (t, y (t))dt ≤ F |t1 |.Èòàê, åñëè ìû õîòèì, ÷òîáû ïðè íåêîòîðîìêðèâàÿy = y (t)íå âûõîäèëà èç öèëèíäðàt = t1 èíòåãðàëüíàÿΩ̄, òî íàìäîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáûF |t1 | ≤ R,R.FËåììà Àäàìàðà.

Òåîðåìà Ëèíäëåôà - Ïèêàðàòî åñòü|t1 | ≤Ñëåäîâàòåëüíî, â äàëüíåéøåì ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òîR|t| ≤ T0 ≤ min{ , T }.FÍèæå ìû äîêàæåì, ÷òî ïðè|t| ≤ T0 ∃!ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè(1) òàêîå, ÷òîky (t)k ≤ R.Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîky (t)k ≤ F |t|.Åùå îäíî óñëîâèå íà ïðàâóþ ÷àñòü:2) â îáëàñòèΩ̄ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ è, ñëåäîâàòåëüíî,îãðàíè÷åííàÿ ìàòðèöàfy (t, y ) =∂fi(t, y ) , i, j = 1,...,N ,∂yjïðè÷åìkfy k ≤ L,0< L < ∞.Ëåììà Àäàìàðà.

Òåîðåìà Ëèíäëåôà - ÏèêàðàËåììà Àäàìàðà.Åñëèfóäîâëåòâîðÿåò 1),z(t), w (t)íåïðåðûâíûå âåêòîð -B ⊂ [−T , T ] è òàêèå,4f = f (t, z) − f (t, w ) ìîæíîôóíêöèè, îïðåäåëåííûå íà îòðåçêåkz(t)k, kw (t)k ≤ R ,òî÷òîïðåäñòàâèòü â âèäå4f = A(t) · 4y , 4y = z − w ,A = aij (t) , i, j = 1,...,N ;Z 1∂fi(t, λz(t) + (1 − λ)w (t))dλ.aij (t) =0 ∂yj(2)Çàìå÷àíèå ê ôîðìóëèðîâêå ëåììûÈç ñîîòíîøåíèé (2) ñëåäóåò, ÷òî êîýôôèöèåíòûíåïðåðûâíûå ôóíêöèè îòtè â ñèëó óñëîâèÿ 2)A(t) kA(t)k ≤ L. ñàìîì äåëå, òàê êàêZA(t) = k01∂fi(t, λz(t) + (1 − λ)w (t))dλk è∂yjkλz + (1 − λ)w k ≤ RíàB,òîËåììà Àäàìàðà. Òåîðåìà Ëèíäëåôà - Ïèêàðà1ZkA(t)k ≤kfy (t, λz + (1 − λ)w kdλ ≤ L.0Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû Àäàìàðà.Ïîñêîëüêó4fi (t, z) = fi (t, z) − fi (t, w ) =Z=10=ZNXj=101dfi (t, λz + (1 − λ)w )dλ =dλ∂fi(t, λz + (1 − λ)w )dλ (zj − wj ) =∂yj=NXaij (t) · 4yj ,òî åñòüj=14f14y14f =  ...

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
5,03 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее