Главная » Просмотр файлов » 1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930

1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 26

Файл №826746 1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (2018- Слайды Ткачев) 26 страница1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746) страница 262021-01-26СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

×òîáû ïðèñîîòíîøåíèåíàäî, ÷òîáût=0z = 2t,âûïîëíÿëîñüdz∂x∂y=p+q ,dv∂v∂v0 = cos v − q sin v èëè C1 cos v = C2 sin v .Îòñþäà â ñèëó (27) ñëåäóåò, ÷òîC1 = ε sin v ,C2 = ε cos v ,ε = ±1.Èç ñîîáðàæåíèé íåïðåðûâíîñòè ñëåäóåò, ÷òîεïîñòîÿííî âäîëüâñåé êðèâîé. Ñëåäîâàòåëüíî, îêîí÷àòåëüíî ìû ïîëó÷àåì òàêèåïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ èíòåãðàëüíîé ïîâåõíîñòè:x = (2tε + 1) sin v ,Èñêëþ÷àÿtèvy = (2tε + 1) cos v ,z = 2t.íàéäåìx 2 + y 2 = (1 + z)2 .Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ(28)Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàëüíûå ïîâåðõíîñòè - äâà êðóãëûõêîíóñà â ïðîñòðàíñòâå(x, y , z),ó êîòîðûõ â îñíîâàíèè ëåæèòîêðóæíîñòü (24) è îáùàÿ îñü ñîâïàäàåò ñ îñüþOZ .Çàìå÷àíèå 1.Óñëîâèå, ÷òî äåòåðìèíàíò (18) îòëè÷åí îò íóëÿ â îêðåñòíîñòèëèíèèS,ñóùåñòâåííî.Íåëüçÿ äóìàòü, ÷òî ïðîõîäÿùèå ÷åðåç ëèíèþSòðàåêòîðèé ñèñòåìû (11) - (13) íà ïðîñòðàíñòâîïðîåêöèè(x, y , z)îáðàçóþò ãëàäêóþ ïîâåðõíîñòü ïðè ñêîëü óãîäíî áîëüøèõçíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà t .

Îñîáûìè òî÷êàìè äëÿ ïîâåðõíîñòåé(28) ÿâëÿþòñÿ âåðøèíû êîíóñîâ.Äëÿ êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé îñîáåííîñòåé òàêîãî òèïà íåìîæåò áûòü, òàê êàê äëÿ òàêèõ óðàâíåíèé õàðàêòåðèñòèêè âïðîñòðàíñòâåx1 , ..., xn , uíå ïåðåñåêàþòñÿ.Ÿ32. Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáè. Óñëîâèÿèíòåãðèðóåìîñòè óðàâíåíèé uxi= A (x, u)iÓìåÿ ðåøàòü çàäà÷ó Êîøè äëÿ êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé,íåòðóäíî íàó÷èòüñÿ ðåøàòü åå è äëÿ áîëåå îáùèõ íåëèíåéíûõóðàâíåíèé âèäàF (ut , uy1 , ..., uyN , u, y , t) = 0,â êîòîðûõu(y , t)- ñêàëÿðíàÿ íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ.Ìû îïèøåì ñõåìó òàêîãî ðåøåíèÿ íà ïðèìåðå çàäà÷è Êîøèäëÿ óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà - ßêîáè:ut + H(uy1 , uy2 , y1 , y2 ) = 0ñ ãëàäêîé ôóíêöèåéÅñëèu(y , t)H(p1 , p2 , y1 , y2 ).- ãëàäêîå ðåøåíèå, òî èìååì:uy1 t + uy1 y1 Huy1 + uy1 y2 Huy2 = −Hy1 ,uy2 t + uy1 y2 Huy1 + uy2 y2 Huy2 = −Hy2 .Îáîçíà÷èìuy1 = p1 ,uy2 = p2Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèè ïåðåïèøåì ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà â âèäå êâàçèëèíåéíûõóðàâíåíèé:∂p1∂t11+ Hp1 (p1 , p2 , y1 , y2 ) ∂p+ Hp2 (p, y ) ∂p∂y2 =| {z } | {z } ∂y1p∂p2∂ty= −Hy1 (p, y ),22+ Hp1 (p, y ) ∂p+H(p,y ) ∂pp2∂y1∂y2 = −Hy2 (p, y ).Ðåøåíèå ýòèõ êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé, êàê ìû çíàåì,ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ðåøåíèÿ èëè ïåðâûõ èíòåãðàëîâ ÎÄÓdp1dtdp2dtdy1dtdy2dt= −Hy1 (p, y ),= −Hy2 (p, y ),= Hp1 (p, y ),= Hp2 (p, y ).Îáûêíîâåííûå óðàâíåíèÿ òàêîãî ñïåöèàëüíîãî âèäà íîñÿòíàçâàíèå êàíîíè÷åñêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà - ßêîáè.Ñàìî èíòåðåñóþùåå íàñ ðåøåíèåu(x, t)ìîæåò áûòü íàéäåíîèíòåãðèðîâàíèåì ÎÄÓ.

 ñàìîì äåëå, èñõîäíîå óðàâíåíèå ñÓðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáè÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî òàê:ut + uy1 Huy1 + uy2 Huy2 = uy1 Huy1 + uy2 Huy2 − H,è ìû ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿu(y , t)äîñòàòî÷íî êñèñòåìå êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà - ßêîáè äîïèñàòüåùå îäíî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèådu= p1 Hp1 (p, y ) + p2 Hp2 (p, y ) − H(p, y ).dtÍà÷àëüíîå óñëîâèåu(y0 , 0) = ϕ(y0 )âëå÷åòΦ(i) (y , 0, p) = Φ̄(i) (y , p),i = 1, 2, 3, 4(1)y = Y (Φ̄ , ..., Φ̄(4) )p = P(Φ̄(1) , ..., Φ̄(4) )P Φ(1) (y , t, p), ..., Φ(4) (y , t, p) − ϕy (Y ..., ) = 0.y t=0 = y0p t=0 = ϕy (y0 )u t=0 = ϕ(y0 )Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèÌû ïîêàçàëè, ÷òî åñëè ðåøåíèå çàäà÷è Êîøèut + H(p, y ) = 0,u t=0 = ϕ(y )ñóùåñòâóåò è ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ôóíêöèåé, òî åãî âû÷èñëåíèåñâîäèòñÿ ê ïîëó÷åíèþ ðåøåíèÿ êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ,êîòîðîå íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû ÎÄÓ.Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ, äîñòàòî÷íîïîñòðîèòüu(y , t), p(y , t)uy = pè óáåäèòüñÿ, ÷òîè ÷òîut = −H(p, y ).Ïðèìåð 1.Ïðè èññëåäîâàíèè íà óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíûõ ñõåì äëÿâîëíîâîãî óðàâíåíèÿ âîçíèêàåò çàäà÷à î ðåøåíèè óðàâíåíèÿÃàìèëüòîíà - ßêîáè ñ ãàìèëüòîíèàíîìH(q, p) = γ2 arcsin( γ2 sin p), ãäå γ = τh , τ , h - øàãè ðàçíîñòíîéñåòêè ñîîòâåòñòâåííî ïî îñÿìtèy.Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáè(1)Óêàçàòü, ïðè êàêèõtñóùåñòâóåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿs t=0 =Ãàìèëüòîíà - ßêîáè, óäîâëåòâîðÿþùåå(∂s∂t+ H(q, p) = 0,2s t=0 = q2dqdt2= Hp =γdpdt=0= q0 ,t=02 .- çàäà÷à Êîøècos pq 2γ21− 4 sin2 pγ·q2=cos pq21− γ4 sin2 pqp t=0 = q0 =2∂( q2 ) .∂q q=q0⇒ p ≡ q0 .dq=qdtcos q0γ221 − 4 sinq0⇒ q=qcos q0γ221 − 4 sint + q0 .q0Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèJ- ÿêîáèàí:2γcos2 q0 4 sin q0∂J− sin q0 t+q=+q3∂q0 2γ22γ21 − 4 sin q0sin q01−4+1=−(1 −(1 −γ24γ2) sin q0 t24 sinΩ = Rq1 × [0, T ],3q0 ) 2sin2γ2ñóùåñòâóåò, à ïðè 4Ïðèìåð 2.= 1 ⇒ t(q0 ) =q0 ≤<4γ21 T∗≤1⇒=min(1 − γ4 ) sin q0 t(1 −(1 −ïðè 4q0 ∈R 1t(q0 ),24 sinγ2≥1024 sinγ2(1 −γ2γ243q0 ) 23q0 ) 2) sin q0+ 1..ðåøåíèÿ íå≤ t < T ∗.H = c|p|, p ∈ R 3 , c = 1.s t=0 = s0 (|q|), 0 < a < |q| < b < +∞.Óêàçàòü îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ.Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèÂâåäåì ñôåðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò(r , θ, ϕ):3X∂s 2∂s1 ∂s1∂s() = ( )2 + 2 ( )2 + 2 2 ( )2 ;∂xj∂rr ∂θr sin θ ∂ϕj=111|p|2 = pr2 + 2 pθ2 + 2 2 pϕ2 ⇒rr sin θr11∂s+ c · pr2 + 2 pθ2 + 2 2 pϕ2 = 0.∂trr sin θÓðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèp2dprdtdpθdtdpϕdt==pθ2 + ϕsin2 θ ,r 3 |p|22pϕ cos θ,r 2 sin3 θ|p|= 0,prdrdt = |p| ,pθdθdt = r 2 |p| ,pϕdϕdt = r 2 sin2 θ|p| ,0r t=0 = r0 , pr t=0 = s0 (r0 ), θt=0 = θ0 , pθ t=0 = 0,ϕt=0 = ϕ0 , pϕ t=0 = 0Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáè⇒pϕ ≡ 0,0pθ ≡ 0 ,pr ≡ s0 (r0 ) ⇒0θ = θ0 , ϕ = ϕ0 , r = sgns (r0 )t + r0 .0s (r0 ) = 0ïðè0s (r0 ) 6= 0 ïðè a ≤ r0 ≤ b .

Åñëè00r0 = c , a ≤ c ≤ b , òî äîñòàòî÷íî s (c) > 0.Ðåøåíèå ñóùåñòâóåò, åñëèt0ar*brÐèñ. 1Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèÇàìå÷àíèå 1.Ïðåäëîæåííûé ñïîñîá íàõîæäåíèÿ îáùåãî ðåøåíèÿ óðàâííåèÿÃàìèëüòîíà - ßêîáè - ìåòîä õàðàêòåðèñòèê (ìåòîä Êîøè).Ñóùåñòâóåò åùå îäèí èçâåñòíûé ìåòîä - Ëàãðàíæà - Øàðïè.Îñíîâíîé åãî ìîìåíò - íàõîæäåíèå òàê íàçûâàåìîãî ïîëíîãîèíòåãðàëà. Âïðî÷åì, â ìåòîäå Ëàãðàíæà - Øàðïè, êàê è âìåòîäå Êîøè íåîáõîäèìî íàéòè ðåøåíèå íåêîòîðîé ñèñòåìûÎÄÓ.Òåïåðü ïåðåéäåì ê âûÿñíåíèþ âîïðîñà î òîì, ïðè êàêèõóñëîâèÿõ ñóùåñòâóåò, íàïðèìåð, ðåøåíèå ñèñòåìû îáùåì ñëó÷àå òðåáóåòñÿ íàéòè óñëîâèÿ íàB(x, y , u),uy = p .ôóíêöèè A(x, y , u),ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ðåøåíèåñëåäóþùåé ñèñòåìû óðàâíåíèéïðèíèìàþùåå â òî÷êåux = A(x, y , u),uy = B(x, y , u),x = x0 , y = y0(2)çàäàííîå çíà÷åíèåu = u0 .Âñå âûâîäû áåç òðóäà îáîáùàþòñÿ íà ñëó÷àé ëþáîãî ÷èñëàíåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, òî åñòü íà ñëó÷àé, êîãäàuÓðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèìîæåòñ÷èòàòüñÿ âåêòîð - ôóíêöèåé ñ êîìïîíåíòàìèu1 , ..., un .Ìû ãîâîðèì, ÷òî íàøà çàäà÷à ðàçðåøèìà, åñëè îíà ðàçðåøèìàïðè ïðîèçâîëüíûõx0 , y0 , u0èç íåêîòîðîé îáëàñòè âîçìîæíûõçíà÷åíèé ýòèõ ïåðåìåííûõ.Ïóñòü ìû íàøëè ðåøåíèåu(x, y ).Òîãäà ìû ìîæåìâîñïîëüçîâàòüñÿ óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ïîëíîãîäèôôåðåíöèàëàdu = A x, y , u(x, y ) dx + B x, y , u(x, y ) dyè óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè óðàâíåíèÿAy + Au uy = Bx + Bu ux ,êîòîðîå ïîñëå èñïîëüçîâàíèÿ çàïèñè ñèñòåìû (2) ïðèâîäèò êíåîáõîäèìîìó óñëîâèþ ðàçðåøèìîñòèAy + Au B = Bx + Bu A.Ýòî óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè äîëæíî áûòü âûïîëíåíî ïðèïðîèçâîëüíûõx, y ,ñâÿçàííûõ ðàâåíñòâîìu = u(x, y ),Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèîïðåäåëÿþùåì ðàññìàòðèâàåìîå ðåøåíèå.

 ÷àñòíîñòè, îíîäîëæíî áûòü âûïîëíåíî â òî÷êå(x0 , y0 , u0 ),÷åðåç êîòîðóþïðîõîäèò ðåøåíèå.Ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî ðàçðåøèìîñòü èìååò ìåñòî ïðèïðîèçâîëüíûõx0 , y0 , u0(èç íåêîòîðîé îáëàñòè) âåäåò ê òîìó,÷òî óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè èìååò ìåñòî ïðè ïðîèçâîëüíûõx, y , u(èç òîé æå îáëàñòè).Ïîêàæåì, ÷òî òîæäåñòâåííîå âûïîëíåíèå ýòîãî ðàâåíñòâàÿâëÿåòñÿ è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì äëÿ ðàçðåøèìîñòèïîñòàâëåííîé çàäà÷è.Íà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿu(x, y0 ).Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî íàéòè ðåøåíèå çàäà÷è ÊîøèÍàéäåìu(x, y ).

dududx= A x, y0 , u(x, y0 ) ,u(x0 , y0 ) = u0 .Äëÿ ýòîãî áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó Êîøè=Bx,y,u(x,y),dyu(x, y0 ) = çíà÷åíèå, âû÷èñëåííîåðàíåå.Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáè ðåçóëüòàòå, â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êèu(x, y ),x0 , y0ìû ïîëó÷èìêîòîðàÿ ïî ïîñòðîåíèþ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ∂u= B(x, y , u).∂yÏîñòðîåííîå ðåøåíèå çàâèñèò îò ïàðàìåòðàxè äëÿuxdux = Bu ux + Bx .dyÏîëüçóÿñü óñëîâèåì ðàçðåøèìîñòèBx = −Bu A + Ay + Au B,óðàâíåíèå äëÿuxïåðåïèøåì òàê:dux 0Ay − Au B = Bu ux − Bu A.dyÒàê êàêB = uy , òîdux − A x, y , u(x, y ) = Bu (ux − A),dyÓðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèèìååìòî åñòü ïðè ïðîèçâîëüíîì∆ = ux − A(x, y , u)xðàçíîñòüóäîâëåòâîðÿåòd∆ = Bu ∆dyè íà÷àëüíûì óñëîâèÿì ïðèïî ïîñòðîåíèþy = y0∆y = y0 = ux − A(x, y0 , u) = 0u(x, y0 ) .Ïîëüçóÿñü òåîðåìîé åäèíñòâåííîñòè äëÿ ëèíåéíûõîáûêíîâåííûõ óðàâíåíèé, ìû ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿëþáîãîy ∆(x, y ) = 0èëè∂u(x, y ) = A x, y , u(x, y ) .∂yÈòàê ìû ïîìòðîèëè ôóíêöèþu = u(x, y ), óäîâëåòâîðÿþùóþóðàâíåíèÿì ux = A(x, y , u), uy = B(x, y , u) è íà÷àëüíûìóñëîâèÿì u(x0 , y0 ) = u0 .

Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçðåøèìîñòü ux = A,Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèuy = Bïðè âûïîëíåíèè íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ óñòàíîâëåíà, òîåñòü îíî æå îêàçàëîñü è äîñòàòî÷íûì.Ïðèìåð 3.(∂z∂x∂z∂y= ay 2 ,= 2by 2 +Ay + Az B − Bx − Bz A = 0.∂z22∂x = ay ⇒ z = axy + u(y ).2axy0+ u (y ) =2zyÏîäñòàâëÿåì âî âòîðîå óðàâíåíèå:b2u+ 2axy +− ay 222yyy −2 du − 2y −3 udy =y −2 u = −u=−− ay 2 .b6y 3b2y −4 dy − ady− ay + Cb− ay 3 + 6y 26y⇒⇒Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèz =−b+ Cy 2 + ay 2 (x − y ).6yÏðèìåð 4.∂z∂x∂z∂y= y − z,= xz.Ay + Au xz = Bx + Bu (y − z) ⇒1 − 1 · xz = z + x(y − z) ⇒ z = 1 − xy ,−y 6= y − 1 + xy ⇒ ðåøåíèé íåò.íî.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
5,03 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее