1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

×òîáû ïðèñîîòíîøåíèåíàäî, ÷òîáût=0z = 2t,âûïîëíÿëîñüdz∂x∂y=p+q ,dv∂v∂v0 = cos v − q sin v èëè C1 cos v = C2 sin v .Îòñþäà â ñèëó (27) ñëåäóåò, ÷òîC1 = ε sin v ,C2 = ε cos v ,ε = ±1.Èç ñîîáðàæåíèé íåïðåðûâíîñòè ñëåäóåò, ÷òîεïîñòîÿííî âäîëüâñåé êðèâîé. Ñëåäîâàòåëüíî, îêîí÷àòåëüíî ìû ïîëó÷àåì òàêèåïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ èíòåãðàëüíîé ïîâåõíîñòè:x = (2tε + 1) sin v ,Èñêëþ÷àÿtèvy = (2tε + 1) cos v ,z = 2t.íàéäåìx 2 + y 2 = (1 + z)2 .Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ(28)Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàëüíûå ïîâåðõíîñòè - äâà êðóãëûõêîíóñà â ïðîñòðàíñòâå(x, y , z),ó êîòîðûõ â îñíîâàíèè ëåæèòîêðóæíîñòü (24) è îáùàÿ îñü ñîâïàäàåò ñ îñüþOZ .Çàìå÷àíèå 1.Óñëîâèå, ÷òî äåòåðìèíàíò (18) îòëè÷åí îò íóëÿ â îêðåñòíîñòèëèíèèS,ñóùåñòâåííî.Íåëüçÿ äóìàòü, ÷òî ïðîõîäÿùèå ÷åðåç ëèíèþSòðàåêòîðèé ñèñòåìû (11) - (13) íà ïðîñòðàíñòâîïðîåêöèè(x, y , z)îáðàçóþò ãëàäêóþ ïîâåðõíîñòü ïðè ñêîëü óãîäíî áîëüøèõçíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà t .

Îñîáûìè òî÷êàìè äëÿ ïîâåðõíîñòåé(28) ÿâëÿþòñÿ âåðøèíû êîíóñîâ.Äëÿ êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé îñîáåííîñòåé òàêîãî òèïà íåìîæåò áûòü, òàê êàê äëÿ òàêèõ óðàâíåíèé õàðàêòåðèñòèêè âïðîñòðàíñòâåx1 , ..., xn , uíå ïåðåñåêàþòñÿ.Ÿ32. Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáè. Óñëîâèÿèíòåãðèðóåìîñòè óðàâíåíèé uxi= A (x, u)iÓìåÿ ðåøàòü çàäà÷ó Êîøè äëÿ êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé,íåòðóäíî íàó÷èòüñÿ ðåøàòü åå è äëÿ áîëåå îáùèõ íåëèíåéíûõóðàâíåíèé âèäàF (ut , uy1 , ..., uyN , u, y , t) = 0,â êîòîðûõu(y , t)- ñêàëÿðíàÿ íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ.Ìû îïèøåì ñõåìó òàêîãî ðåøåíèÿ íà ïðèìåðå çàäà÷è Êîøèäëÿ óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà - ßêîáè:ut + H(uy1 , uy2 , y1 , y2 ) = 0ñ ãëàäêîé ôóíêöèåéÅñëèu(y , t)H(p1 , p2 , y1 , y2 ).- ãëàäêîå ðåøåíèå, òî èìååì:uy1 t + uy1 y1 Huy1 + uy1 y2 Huy2 = −Hy1 ,uy2 t + uy1 y2 Huy1 + uy2 y2 Huy2 = −Hy2 .Îáîçíà÷èìuy1 = p1 ,uy2 = p2Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèè ïåðåïèøåì ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà â âèäå êâàçèëèíåéíûõóðàâíåíèé:∂p1∂t11+ Hp1 (p1 , p2 , y1 , y2 ) ∂p+ Hp2 (p, y ) ∂p∂y2 =| {z } | {z } ∂y1p∂p2∂ty= −Hy1 (p, y ),22+ Hp1 (p, y ) ∂p+H(p,y ) ∂pp2∂y1∂y2 = −Hy2 (p, y ).Ðåøåíèå ýòèõ êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé, êàê ìû çíàåì,ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ðåøåíèÿ èëè ïåðâûõ èíòåãðàëîâ ÎÄÓdp1dtdp2dtdy1dtdy2dt= −Hy1 (p, y ),= −Hy2 (p, y ),= Hp1 (p, y ),= Hp2 (p, y ).Îáûêíîâåííûå óðàâíåíèÿ òàêîãî ñïåöèàëüíîãî âèäà íîñÿòíàçâàíèå êàíîíè÷åñêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà - ßêîáè.Ñàìî èíòåðåñóþùåå íàñ ðåøåíèåu(x, t)ìîæåò áûòü íàéäåíîèíòåãðèðîâàíèåì ÎÄÓ.

 ñàìîì äåëå, èñõîäíîå óðàâíåíèå ñÓðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáè÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî òàê:ut + uy1 Huy1 + uy2 Huy2 = uy1 Huy1 + uy2 Huy2 − H,è ìû ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿu(y , t)äîñòàòî÷íî êñèñòåìå êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà - ßêîáè äîïèñàòüåùå îäíî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèådu= p1 Hp1 (p, y ) + p2 Hp2 (p, y ) − H(p, y ).dtÍà÷àëüíîå óñëîâèåu(y0 , 0) = ϕ(y0 )âëå÷åòΦ(i) (y , 0, p) = Φ̄(i) (y , p),i = 1, 2, 3, 4(1)y = Y (Φ̄ , ..., Φ̄(4) )p = P(Φ̄(1) , ..., Φ̄(4) )P Φ(1) (y , t, p), ..., Φ(4) (y , t, p) − ϕy (Y ..., ) = 0.y t=0 = y0p t=0 = ϕy (y0 )u t=0 = ϕ(y0 )Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèÌû ïîêàçàëè, ÷òî åñëè ðåøåíèå çàäà÷è Êîøèut + H(p, y ) = 0,u t=0 = ϕ(y )ñóùåñòâóåò è ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ôóíêöèåé, òî åãî âû÷èñëåíèåñâîäèòñÿ ê ïîëó÷åíèþ ðåøåíèÿ êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ,êîòîðîå íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû ÎÄÓ.Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ, äîñòàòî÷íîïîñòðîèòüu(y , t), p(y , t)uy = pè óáåäèòüñÿ, ÷òîè ÷òîut = −H(p, y ).Ïðèìåð 1.Ïðè èññëåäîâàíèè íà óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíûõ ñõåì äëÿâîëíîâîãî óðàâíåíèÿ âîçíèêàåò çàäà÷à î ðåøåíèè óðàâíåíèÿÃàìèëüòîíà - ßêîáè ñ ãàìèëüòîíèàíîìH(q, p) = γ2 arcsin( γ2 sin p), ãäå γ = τh , τ , h - øàãè ðàçíîñòíîéñåòêè ñîîòâåòñòâåííî ïî îñÿìtèy.Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáè(1)Óêàçàòü, ïðè êàêèõtñóùåñòâóåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿs t=0 =Ãàìèëüòîíà - ßêîáè, óäîâëåòâîðÿþùåå(∂s∂t+ H(q, p) = 0,2s t=0 = q2dqdt2= Hp =γdpdt=0= q0 ,t=02 .- çàäà÷à Êîøècos pq 2γ21− 4 sin2 pγ·q2=cos pq21− γ4 sin2 pqp t=0 = q0 =2∂( q2 ) .∂q q=q0⇒ p ≡ q0 .dq=qdtcos q0γ221 − 4 sinq0⇒ q=qcos q0γ221 − 4 sint + q0 .q0Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèJ- ÿêîáèàí:2γcos2 q0 4 sin q0∂J− sin q0 t+q=+q3∂q0 2γ22γ21 − 4 sin q0sin q01−4+1=−(1 −(1 −γ24γ2) sin q0 t24 sinΩ = Rq1 × [0, T ],3q0 ) 2sin2γ2ñóùåñòâóåò, à ïðè 4Ïðèìåð 2.= 1 ⇒ t(q0 ) =q0 ≤<4γ21 T∗≤1⇒=min(1 − γ4 ) sin q0 t(1 −(1 −ïðè 4q0 ∈R 1t(q0 ),24 sinγ2≥1024 sinγ2(1 −γ2γ243q0 ) 23q0 ) 2) sin q0+ 1..ðåøåíèÿ íå≤ t < T ∗.H = c|p|, p ∈ R 3 , c = 1.s t=0 = s0 (|q|), 0 < a < |q| < b < +∞.Óêàçàòü îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ.Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèÂâåäåì ñôåðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò(r , θ, ϕ):3X∂s 2∂s1 ∂s1∂s() = ( )2 + 2 ( )2 + 2 2 ( )2 ;∂xj∂rr ∂θr sin θ ∂ϕj=111|p|2 = pr2 + 2 pθ2 + 2 2 pϕ2 ⇒rr sin θr11∂s+ c · pr2 + 2 pθ2 + 2 2 pϕ2 = 0.∂trr sin θÓðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèp2dprdtdpθdtdpϕdt==pθ2 + ϕsin2 θ ,r 3 |p|22pϕ cos θ,r 2 sin3 θ|p|= 0,prdrdt = |p| ,pθdθdt = r 2 |p| ,pϕdϕdt = r 2 sin2 θ|p| ,0r t=0 = r0 , pr t=0 = s0 (r0 ), θt=0 = θ0 , pθ t=0 = 0,ϕt=0 = ϕ0 , pϕ t=0 = 0Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáè⇒pϕ ≡ 0,0pθ ≡ 0 ,pr ≡ s0 (r0 ) ⇒0θ = θ0 , ϕ = ϕ0 , r = sgns (r0 )t + r0 .0s (r0 ) = 0ïðè0s (r0 ) 6= 0 ïðè a ≤ r0 ≤ b .

Åñëè00r0 = c , a ≤ c ≤ b , òî äîñòàòî÷íî s (c) > 0.Ðåøåíèå ñóùåñòâóåò, åñëèt0ar*brÐèñ. 1Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèÇàìå÷àíèå 1.Ïðåäëîæåííûé ñïîñîá íàõîæäåíèÿ îáùåãî ðåøåíèÿ óðàâííåèÿÃàìèëüòîíà - ßêîáè - ìåòîä õàðàêòåðèñòèê (ìåòîä Êîøè).Ñóùåñòâóåò åùå îäèí èçâåñòíûé ìåòîä - Ëàãðàíæà - Øàðïè.Îñíîâíîé åãî ìîìåíò - íàõîæäåíèå òàê íàçûâàåìîãî ïîëíîãîèíòåãðàëà. Âïðî÷åì, â ìåòîäå Ëàãðàíæà - Øàðïè, êàê è âìåòîäå Êîøè íåîáõîäèìî íàéòè ðåøåíèå íåêîòîðîé ñèñòåìûÎÄÓ.Òåïåðü ïåðåéäåì ê âûÿñíåíèþ âîïðîñà î òîì, ïðè êàêèõóñëîâèÿõ ñóùåñòâóåò, íàïðèìåð, ðåøåíèå ñèñòåìû îáùåì ñëó÷àå òðåáóåòñÿ íàéòè óñëîâèÿ íàB(x, y , u),uy = p .ôóíêöèè A(x, y , u),ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ðåøåíèåñëåäóþùåé ñèñòåìû óðàâíåíèéïðèíèìàþùåå â òî÷êåux = A(x, y , u),uy = B(x, y , u),x = x0 , y = y0(2)çàäàííîå çíà÷åíèåu = u0 .Âñå âûâîäû áåç òðóäà îáîáùàþòñÿ íà ñëó÷àé ëþáîãî ÷èñëàíåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, òî åñòü íà ñëó÷àé, êîãäàuÓðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèìîæåòñ÷èòàòüñÿ âåêòîð - ôóíêöèåé ñ êîìïîíåíòàìèu1 , ..., un .Ìû ãîâîðèì, ÷òî íàøà çàäà÷à ðàçðåøèìà, åñëè îíà ðàçðåøèìàïðè ïðîèçâîëüíûõx0 , y0 , u0èç íåêîòîðîé îáëàñòè âîçìîæíûõçíà÷åíèé ýòèõ ïåðåìåííûõ.Ïóñòü ìû íàøëè ðåøåíèåu(x, y ).Òîãäà ìû ìîæåìâîñïîëüçîâàòüñÿ óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ïîëíîãîäèôôåðåíöèàëàdu = A x, y , u(x, y ) dx + B x, y , u(x, y ) dyè óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè óðàâíåíèÿAy + Au uy = Bx + Bu ux ,êîòîðîå ïîñëå èñïîëüçîâàíèÿ çàïèñè ñèñòåìû (2) ïðèâîäèò êíåîáõîäèìîìó óñëîâèþ ðàçðåøèìîñòèAy + Au B = Bx + Bu A.Ýòî óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè äîëæíî áûòü âûïîëíåíî ïðèïðîèçâîëüíûõx, y ,ñâÿçàííûõ ðàâåíñòâîìu = u(x, y ),Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèîïðåäåëÿþùåì ðàññìàòðèâàåìîå ðåøåíèå.

 ÷àñòíîñòè, îíîäîëæíî áûòü âûïîëíåíî â òî÷êå(x0 , y0 , u0 ),÷åðåç êîòîðóþïðîõîäèò ðåøåíèå.Ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî ðàçðåøèìîñòü èìååò ìåñòî ïðèïðîèçâîëüíûõx0 , y0 , u0(èç íåêîòîðîé îáëàñòè) âåäåò ê òîìó,÷òî óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè èìååò ìåñòî ïðè ïðîèçâîëüíûõx, y , u(èç òîé æå îáëàñòè).Ïîêàæåì, ÷òî òîæäåñòâåííîå âûïîëíåíèå ýòîãî ðàâåíñòâàÿâëÿåòñÿ è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì äëÿ ðàçðåøèìîñòèïîñòàâëåííîé çàäà÷è.Íà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿu(x, y0 ).Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî íàéòè ðåøåíèå çàäà÷è ÊîøèÍàéäåìu(x, y ).

dududx= A x, y0 , u(x, y0 ) ,u(x0 , y0 ) = u0 .Äëÿ ýòîãî áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó Êîøè=Bx,y,u(x,y),dyu(x, y0 ) = çíà÷åíèå, âû÷èñëåííîåðàíåå.Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáè ðåçóëüòàòå, â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êèu(x, y ),x0 , y0ìû ïîëó÷èìêîòîðàÿ ïî ïîñòðîåíèþ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ∂u= B(x, y , u).∂yÏîñòðîåííîå ðåøåíèå çàâèñèò îò ïàðàìåòðàxè äëÿuxdux = Bu ux + Bx .dyÏîëüçóÿñü óñëîâèåì ðàçðåøèìîñòèBx = −Bu A + Ay + Au B,óðàâíåíèå äëÿuxïåðåïèøåì òàê:dux 0Ay − Au B = Bu ux − Bu A.dyÒàê êàêB = uy , òîdux − A x, y , u(x, y ) = Bu (ux − A),dyÓðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèèìååìòî åñòü ïðè ïðîèçâîëüíîì∆ = ux − A(x, y , u)xðàçíîñòüóäîâëåòâîðÿåòd∆ = Bu ∆dyè íà÷àëüíûì óñëîâèÿì ïðèïî ïîñòðîåíèþy = y0∆y = y0 = ux − A(x, y0 , u) = 0u(x, y0 ) .Ïîëüçóÿñü òåîðåìîé åäèíñòâåííîñòè äëÿ ëèíåéíûõîáûêíîâåííûõ óðàâíåíèé, ìû ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿëþáîãîy ∆(x, y ) = 0èëè∂u(x, y ) = A x, y , u(x, y ) .∂yÈòàê ìû ïîìòðîèëè ôóíêöèþu = u(x, y ), óäîâëåòâîðÿþùóþóðàâíåíèÿì ux = A(x, y , u), uy = B(x, y , u) è íà÷àëüíûìóñëîâèÿì u(x0 , y0 ) = u0 .

Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçðåøèìîñòü ux = A,Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèuy = Bïðè âûïîëíåíèè íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ óñòàíîâëåíà, òîåñòü îíî æå îêàçàëîñü è äîñòàòî÷íûì.Ïðèìåð 3.(∂z∂x∂z∂y= ay 2 ,= 2by 2 +Ay + Az B − Bx − Bz A = 0.∂z22∂x = ay ⇒ z = axy + u(y ).2axy0+ u (y ) =2zyÏîäñòàâëÿåì âî âòîðîå óðàâíåíèå:b2u+ 2axy +− ay 222yyy −2 du − 2y −3 udy =y −2 u = −u=−− ay 2 .b6y 3b2y −4 dy − ady− ay + Cb− ay 3 + 6y 26y⇒⇒Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà - ßêîáèz =−b+ Cy 2 + ay 2 (x − y ).6yÏðèìåð 4.∂z∂x∂z∂y= y − z,= xz.Ay + Au xz = Bx + Bu (y − z) ⇒1 − 1 · xz = z + x(y − z) ⇒ z = 1 − xy ,−y 6= y − 1 + xy ⇒ ðåøåíèé íåò.íî.

Характеристики

Список файлов лекций