1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 25
Текст из файла (страница 25)
2Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêàppΦ̄ = y 2 + 1, y = ± Φ̄ − 1, u = ± y 2 + (t + 1)2 − 1.Òåîðåìà.ÏóñòüPut + Nj=1 fj (y , t)uyj (y , t) = 0,u t=0 = ϕ(y ),ãäå fj - íåïðåðûâíû ïî y , t , à ϕ è fj íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû ïî y . Òîãäà ðåøåíèå ñóùåñòâóåò èåäèíñòâåííî.30.Êâàçèëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìèïðîèçâîäíûìè. Çàäà÷à ÊîøèÓðàâíåíèåN∂u X∂u+fi (y , t, u)= R(y , t, u),∂t∂yiu = u(y , t)i=1íàçûâàåòñÿ êâàçèëèíåéíûì íåîäíîðîäíûì óðàâíåíèåì ñ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Ðåøåíèå èùåì â íåÿâíîì âèäåF (y , t, u) = 0.Ïóñòüu = u(y , t)- ðåøåíèå êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ. ÒîãäàF y , t, u(y0 , t) = 0 ⇒Ft + Fu ∂u∂t = 0∂uFyi + Fu ∂y=0iîòêóäà ïîëó÷àåì:∂F∂u∂t= − ∂F,∂t∂u∂F∂u∂y= − ∂Fi .∂yi∂uÊâàçèëèí. óð-èÿ ñ ÷.ï.Ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå, ïîëó÷àåìN∂F X∂F∂F+fi (y , t, u)+ R(y , t, u)= 0.∂t∂yi∂ui=1Ýòî ëèíåéíîå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìèïåðâîãî ïîðÿäêà.
Ñîïóòñòâóþùàÿ ñèñòåìàdyidtdudt= fi (y , t, u),= R(y , t, u).Èç íåå íàõîäèìN + 1 íåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâΦ(1) (y , t, u), ..., Φ(N+1) (y , t, u) è òîãäà F = F (Φ(1) , ..., Φ(N+1) )îáùåå ðåøåíèå ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, àF Φ(1) (y , t, u), ..., Φ(N+1) (y , t, u) = 0îáùåå ðåøåíèåêâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ.Ñèñòåìà0y = f (y , t, u)0u = R(y , t, u)Êâàçèëèí. óð-èÿ ñ ÷.ï.-íàçûâàåòñÿ ñîïóòñòâóþùåé äëÿ óðàâíåíèÿ;0y = y (t)-õàðàêòåðèñòèêè êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ.Õàðàêòåðèñòèêè íåëüçÿ íàéòè, åñëè íåèçâåñòíî ðåøåíèåu = u(y , t),òî åñòü õàðàêòåðèñòèêè âûñòðàèâàþòñÿ âìåñòå ñðåøåíèåì.0u = R(y , t, u)- ñîîòíîøåíèå íà õàðàêòåðèñòèêåy = y (t).Çàäà÷à Êîøè äëÿ êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ:íàéòèu = u(y , t)òàêîå, ÷òî ïðèÐåøåíèå ñòðîèì òàê:t = 0 u t=0 = ϕ(y ). (1) Φ̄ = Φ(1) (y , 0, u)...⇒ (N+1)(N+1)Φ̄=Φ(y , 0, u)y = Y (Φ̄(1) , ..., Φ̄(N+1) )u = u(Φ(1) , ..., Φ(N+1) )Φ(Φ(1) , ..., Φ(N+1) ) = 0 = u(Φ(1) , ..., Φ(N+1) )−− ϕ Y1 (Φ(1) , ..., Φ(N+1) ), ..., YN (Φ(1) , ..., Φ(N+1) )Êâàçèëèí.
óð-èÿ ñ ÷.ï.è åñòü èñêîìîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè. ñàìîì äåëå: ïðèt=0u(Φ̄(1) , ..., Φ̄(N+1) ) = u = ϕ Y1 (Φ̄(1) , ...,Φ̄(N+1) ), ..., YN (Φ̄(1) , ..., Φ̄(N+1) ) = ϕ(y ).(*) êâàçèëèíåéíîì ñëó÷àå âñå ïîñòðîåíèÿ íîñÿò ñóãóáîëîêàëüíûé õàðàêòåð (â îòëè÷èå îò ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãîóðàâíåíèÿ). Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ïîñòðîèòü ðåøåíèå ïðè âñåõtâ êâàçèëèíåéíîì ñëó÷àå ìîæíî äàëåêî íå âñåãäà, äàæå åñëèêîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ è íà÷àëüíûå äàííûå îïðåäåëåíûâñþäó.Ïðèìåð 1.∂u∂t∂u+ u ∂y=0u(y , 0) = ϕ(y )F (y − ut, u) = 0dydtdudty − ut = const=u⇒u = const=0- îáùåå ðåøåíèå.
Åñëèdyâäîëü ðåøåíèÿ ÎÄÓ dt= u(y , t)u = u(y , t) ðåøåíèå,u(y , t) ïîñòîÿííà.ôóíêöèÿÊâàçèëèí. óð-èÿ ñ ÷.ï.òîÏîýòîìó õàðàêòåðèñòèêè - ïðÿìûå ëèíèè. Âäîëüu(y , t)y − ut = y0ïîñòîÿííî, ïîýòîìóu(y , t) = u(y − ut) = ϕ(y0 ) = ϕ(y − ut),òî åñòü äëÿ îïðåäåëåíèÿu(y , t)ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèåu = ϕ(y − ut).Ïóñòü ϕ(1) = −1, ϕ(−1) = 1. Òîãäà u(y , t) = −1 ïðè y + t = 1è u(y , t) = 1 ïðè y − t = −1.
 òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõy = 0, t = 1 ðåøåíèå (åñëè îíî ñóùåñòâóåò) äîëæíîîäíîâðåìåííî ðàâíÿòüñÿ 1 è -1. Èòàê, åñëè ϕ(y ) òàêîâî, ÷òîϕ(±1) = ∓1, òî îáëàñòü, ãäå ñóùåñòâóåò ãëàäêîå ðåøåíèå, íåñîäåðæèò òî÷êè y = 0, t = 1.Êâàçèëèí. óð-èÿ ñ ÷.ï.ty - t = -1y+t=1-110yÐèñ. 1Êâàçèëèí. óð-èÿ ñ ÷.ï.Ïðèìåð 2.√∂z∂z(1 + z − x − y ) +=2 ⇒∂x∂y√∂F∂F∂F(1 + z − x − y )++2=0⇒∂x∂y∂z1+√dydzdx==⇒z −x −y12z − 2 y = C1√dz − dy − dx√⇒ y + 2 z − x − y = C21− z −x −y√⇒ Φ(z − 2y , y + 2 z − x − y ) = 0 - îáùåå ðåøåíèå + z = x + ydy=- ñïåöèàëüíîå ðåøåíèå.Ïðèìåð 3.ut + uux= 0, t > 0;α ïðè x < 0;u t=0 =β ïðè x > 0Êâàçèëèí.
óð-èÿ ñ ÷.ï.α, β - ïîñòîÿííûå, β ≥ α (α < 0, β > α), u - íåïðåðûâíà ïðèt ≥ 0, |x| + t 6= 0 è íåïðåðûâíî - äèôôåðåíöèðóåìà âíå ïðÿìûõt = αx , t = βx .tt=x_t=a(a < 0)x_b(b > 0)0xÐèñ. 2Êâàçèëèí. óð-èÿ ñ ÷.ï.dt1=u t=0dudtdxdt=0⇒ x − ut = x0 ⇒ u = ϕ(x − ut) ⇒=u= ϕ(x − 0 · t) = α, x < 0dxu=du0⇒α, x − ut < 0, ⇔ t <u=β, t > αx . u x=tα = 1ïðèxαxα = u x=tα = ϕ(tα − αt) ⇒ ϕ(0) = α ⇒ u =ttα ≤ x ≤ tβ .31. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ. Çàäà÷à ÊîøèÐàññìîòðèì óðàâíåíèåF (x, u,∂u∂u, ...,) = 0,∂x1∂xnè ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿíåêîòîðîé îáëàñòè (2n+ 1)Fx = (x1 , ..., xn )(1)ïî âñåì ñâîèì àðãóìåíòàì â- ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà èìååòíåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå äî âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî è÷òînXi=1Äîïóñòèì, ÷òîu(x)"∂F∂u∂{ ∂x}i#2> 0.(2)- ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1), èìåþùååíåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà.Ïîäñòàâèì ýòî ðåøåíèå â óðàâíåíèå (1) è ïîëó÷åííîåòîæäåñòâî ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî êàæäîìóxk , k = 1, ..., n.Ïîëó÷èìnXi=1nX ∂pk∂piPi+ Xk + Upk =Pi+ Xk + Upk = 0,∂xk∂xii=1Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ(3)ãäå ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ∂F∂F∂u∂F= Xi ,= U,= pi ,= Pi .∂xi∂u∂xi∂piÝòè óðàâíåíèÿ êâàçèëèíåéíû îòíîñèòåëüíîïðîñòðàíñòâåxpk .Ïîñòðîèì âòðàåêòîðèè àâòîíîìíîé ñèñòåìûdxi= Pi , i = 1, ..., n,dtãäå â ïðàâûõ ÷àñòÿõ âìåñòî u è ps ïîäñòàâëåíîðàññìàòðèâàåìîå ðåøåíèå u(x) è åãî ñîîòâåòñòâóþùèå(4)ïðîèçâîäíûå.Òîãäà óðàâíåíèÿ (3) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäådpi= −Xi − Upi ,dtÍàéäåì, íàêîíåö, ïðîèçâîäíóþ îòÏîëó÷èìi = 1, ..., n.u(x)(5)ïî ïàðàìåòðó t .nni=1i=1Xdu X ∂u dxi=·=Pi · pi .dt∂xi dtÍåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ(6)Ñèñòåìà èç óðàâíåíèé (4), (5), (6) îïðåäåëÿåò îäíîçíà÷íîèuxi , piêàê ôóíêöèè îò t , åñëè çàäàòü èõ íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ.Òðàåêòîðèè ýòîé àâòîíîìíîé ñèñòåìû â ïðîñòðàíñòâå(x, u, p1 , ..., pn )íàçûâàþòñÿ õàðàêòåðèñòèêàìè óðàâíåíèÿ (1).Ïóñòü ïîâåðõíîñòüS,íà êîòîðîé çàäàíû çíà÷åíèÿu , íå èìååòñàìîïåðåñå÷åíèé è çàäàåòñÿ óðàâíåíèÿìè xi = xi (v1 , ..., vn−1 ),i = 1, ..., n.
Òîãäà çàäàííóþ íà S ôóíêöèþ u ìîæíîðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ îòv1 , ..., vn−1 .Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèèu(v1 , ..., vn−1 )ïî v1 , ..., vn−1èíåïðåðûâíû âìåñòå ñ èõ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìèäî âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî è â êàæäîéòî÷êå ïîâåðõíîñòèìèíîðîâxi (v1 , ..., vn−1 )(n − 1)-ãîSîòëè÷åí îò íóëÿ ïî êðàéíåé ìåðå îäèí èçïîðÿäêà ìàòðèöû∂x1∂v1∂x1∂vn−1.........∂xn∂v1∂xn∂vn−1.Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ(A)Ðàññìîòðèì âîïðîñ î òîì, êàê çàäàíèåçíà÷åíèÿpiíàÅñëè â ðàâåíñòâîv,uíàSîïðåäåëÿåòS.u = u(x)ïîäñòàâèòü âûðàæåíèÿuè÷åðåçxòî îíî îáðàòèòñÿ â òîæäåñòâî.Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî òîæäåñòâî, ïîëó÷èìnXpii=1(çäåñüpiáåðóòñÿ íà∂u∂xi=,∂vk∂vkS ).S äîëæíîÑ äðóãîé ñòîðîíû, íàk = 1, ..., n − 1.(7)âûïîëíÿòüñÿ (1), òî åñòüF (x, u, p1 , ..., pn ) = 0,ãäå âìåñòîx, u(8)ñëåäóåò ïîäñòàâèòü èõ âûðàæåíèÿ ÷åðåçÑîîòíîøåíèÿ (7), (8) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìó èçóðàâíåíèé ñ íåèçâåñòíûìè ôóíêöèÿìèv1 , ..., vn−1 .p1 , ..., pnv.nîò àðãóìåíòîâÏîýòîìó äëÿ ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû î íåÿâíîéÍåëèíåéíûå óðàâíåíèÿôóíêöèè íåîáõîäèìî, ÷òîáû P1 ∂x1 ∂v1 ∂x1 ∂vn−1P2............∂x2∂v1...∂x2∂vn−1Pn ∂xn ∂v1 6= 0∂xn ∂vn−1ïðè âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ çíà÷åíèÿõíàv1 , ..., vn−1 ,(9)òî åñòü âñþäóS.Âïðåäü áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàíî òàêæå âûáðàíû çíà÷åíèÿv1 , ..., vn−1 ,S íå òîëüêî äàíî u(v1 , ..., vn−1 ),p1 , ..., pn , íåïðåðûâíî çàâèñÿùèå îòïðè÷åì âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ (7) - (9).
Òîãäà èçòåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè ñëåäóåò, ÷òîíåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ïîp1 , ..., pnèìåþòv1 , ..., vn−1 .Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â ñèëó íåëèíåéíîñòè óðàâíåíèÿ (8) ïðèçàäàííîéuíàSçíà÷åíèÿpiíàSîïðåäåëÿþòñÿ, âîîáùåãîâîðÿ, íåîäíîçíà÷íî. Îäíàêî, åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ,ñôîðìóëèðîâàííûå â ïðåäûäóùåì àáçàöå, è åñëèpi(1) (A) = pi(2) (A), i = 1, ..., n,òîpi(1) = pi(2) , i = 1, ..., nÍåëèíåéíûå óðàâíåíèÿâñþäó íàS;ýòî ñëåäóåò èç òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè â ñèëó óñëîâèÿ(9).Ãåîìåòðè÷åñêè óñëîâèå (9) îçíà÷àåò, ÷òî â êàæäîé òî÷êåx0 ∈ Sïðîåêöèÿ íà ïðîñòðàíñòâîx õàðàêòåðèñòèêè, ïðîõîäÿùåé(x 0 , u 0 , p10 , ..., pn0 ) (u 0 , p10 , ..., pn0 îïðåäåëÿþòñÿ èçíà÷àëüíûõ äàííûõ), íå êàñàåòñÿ S .÷åðåçòî÷êóÈç åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ñèñòåìû (4) - (6) ñëåäóåòåäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (1).Ïåðåõîäÿ ê äîêàçàòåëüñòâó ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷èÊîøè â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ïîâåðõíîñòè÷òîSè çàäàííàÿ íà íåé ôóíêöèÿuS,ïðåäïîëîæèì,óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ(À) è, êðîìå òîãî, óñëîâèÿì (7) - (9).
Áóäåì ïðîâîäèòüäîêàçàòåëüñòâî äëÿ ñëó÷àÿ äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ.Òîãäà óðàâíåíèå èìååò âèäF (x, y , z, p, q) = 0,p=∂z∂z, q=;∂x∂y(10)ñèñòåìà óðàâíåíèé õàðàêòåðèñòèê (â ïÿòèìåðíîì ïðîñòðàíñòâåÍåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ(x, y , z, p, q))èìååò âèädx= P,dtdp= −X − pZ ,dtdy= Q,dt(11)dq= −Y − qZ ,dt(12)dz= pP + qQ,dt(13)ãäåX =∂F,∂xP=Y =∂F,∂p∂F∂yZ=Q=∂F.∂q∂F,∂zÍà÷àëüíûå óñëîâèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìèy = y (v ), z = z(v ), p = p(v ), q = q(v ),x = x(v ),ïðè÷åì ïåðâûå òðèôóíêöèè äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû èdy 2dx 2( dv) + ( dv) > 0,à ïîñëåäíèå äâå ôóíêöèè íåïðåðûâíîÍåëèíåéíûå óðàâíåíèÿäèôôåðåíöèðóåìû, óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì (10),pèdxdydz+q=dvdvdv(14)P ∂x(15)∂v∂y 6= 0.0∂v×òîáû äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ ïðè ýòèõïðåäïîëîæåíèÿõ äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî ïîñòðîåííûåñîãëàñíî (11) - (13) ïî íà÷àëüíûì äàííûì ðåøåíèÿx(t, v ), y (t, v ), z(t, v ), p(t, v ), q(t, v )(ìû ñ÷èòàåìt=0íà(16)S ) îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.x = x(t, v ), y = y (t, v ) ìîæåò áûòüîäíîçíà÷íî ðàçðåøèìà îòíîñèòåëüíî t, v â íåêîòîðîéîêðåñòíîñòè ëèíèè S , ïðè÷åì ðåøåíèÿ èìåþò íåïðåðûâíûåïðîèçâîäíûå ïî x, y .
Òîãäà â ýòîé îêðåñòíîñòè ëèíèè Sâåëè÷èíû t, v ìîãóò áûòü ïðèíÿòû çà êðèâîëèíåéíûå1. Ñèñòåìà óðàâíåíèéêîîðäèíàòû.Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿÒàê êàê ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ôóíêöèèx(v ), ..., q(v ), çàäàííûå íà S , èìåþò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûåv , è òàê êàê ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (11) - (13) èìåþòïîíåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ïî âñåì èõ àðãóìåíòàì, òîïîñòðîåííûå ðåøåíèÿ (16) èìåþò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ïît, v .Ïîýòîìó, åñëè â ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿïîäñòàâèòü âìåñòîïîëó÷èìzt, vèõ âûðàæåíèÿ ÷åðåçêàê ôóíêöèþ îòïðîèçâîäíûå ïîx, y ,z ÷åðåç t, vx, y , òî ìûèìåþùóþ íåïðåðûâíûå ïåðâûåx, y .Ôóíêöèè (16) âñþäó â ðàññìàòðèâàåìîé îêðåñòíîñòèSóäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ (10).p≡∂z,∂xq≡∂z.∂y(17)×òîáû äîêàçàòü ïåðâîå óòâåðæäåíèå, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òîïðè âñåõ äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ∂x ∂t ∂x∂v∂y ∂t ∂y ∂v|t|äåòåðìèíàíòÍåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ(18)îòëè÷åí îò íóëÿ.Òàê êàê ýëåìåíòû äåòåðìèíàíòà íåïðåðûâíû ïît, v ,òî íàìäîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ýòîò äåòåðìèíàíò îòëè÷åí îò íóëÿ íàñàìîé ëèíèèS,à ýòî ñëåäóåò èç (15) è (11).Âòîðîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî íà ëèíèèíà÷àëüíûå çíà÷åíèÿpèqS,ïðè ýòîììû âûáèðàåì òàê, ÷òîáû îíèóäîâëåòâîðÿëè óðàâíåíèþ (10).×òîáû äîêàçàòü, ÷òî íå òîëüêî íà ëèíèèíî è ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ|t|S,òî åñòü ïðèt = 0,âûïîëíÿåòñÿ ýòî ñîîòíîøåíèå,ïîêàæåì, ÷òî åñëè â ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (10) ïîäñòàâèòüâìåñòîx, y , z, p, qðåøåíèå (16) ñèñòåìû (11) - (13), òîðåçóëüòàò ïîäñòàíîâêè íå áóäåò çàâèñåòü îò t .Äåéñòâèòåëüíî,dxdydpdqdzdF=X+Y+P+Q+Z .dtdtdtdtdtdtdxdzÏîäñòàâëÿÿ âìåñòî dt , ..., dt ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (11) (13), ïîëó÷èì íóëü.Âìåñòî òîãî, ÷òîáû äîêàçûâàòü òðåòüå óòâåðæäåíèå, òî åñòüÍåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ(17), ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî âî âñåé îêðåñòíîñòè ëèíèè∂z∂x∂y−p−q= 0,∂v∂v∂vS∂z∂x∂y−p−q= 0.∂t∂t∂t(19)Âòîðîå ñîîòíîøåíèå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî∂x= P,∂t∂y=Q∂tè ïîýòîìó óðàâíåíèå (19) ñîâïàäàåò ñ (13).Î ïåðâîì óðàâíåíèè (19) íàì èçâåñòíî ïîêà òîëüêî, ÷òî îíîñïðàâåäëèâî ïðèSt = 0:íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ äëÿp, qíà ëèíèèìû âûáðàëè òàê, ÷òîáû ñîîòíîøåíèå (14) âûïîëíÿëîñü.×òîáû äîêàçàòü, ÷òî (19) âûïîëíÿåòñÿ è ïðè äðóãèõ t ,ïîëîæèìU≡∂z∂v∂x− p ∂v− q ∂y∂vdUè íàéäåì dt .∂2z∂p ∂x∂q ∂y∂2x∂2ydU=−−−p−q.dt∂v ∂t∂t ∂v∂t ∂v∂v ∂t∂v ∂tÏðîäèôôåðåíöèðóåì òåïåðü òîæäåñòâî∂z∂x∂y−p−q≡0∂t∂t Íåëèíåéíûå∂tóðàâíåíèÿ(20)ïîv.Ïîëó÷èì∂2z∂p ∂x∂q ∂y∂2x∂2y−−−p−q= 0.∂t∂v∂v ∂t∂v ∂t∂t∂v∂t∂v(21)Âû÷èòàÿ (21) èç (20), íàõîäèìdU∂p ∂x∂q ∂y∂p ∂x∂q ∂y=+−−.dt∂v ∂t∂v ∂t∂t ∂v∂t ∂vÈëè â ñèëó (11) è (12):dU∂p∂q∂x∂y=P+Q+(X + Zp) +(Y + Zq).dt∂v∂v∂v∂vÄèôôåðåíöèðóÿ òîæäåñòâîF (x, y , z, p, q) ≡ 0ïîv,íàõîäèìX∂y∂p∂q∂z∂x+Y+P+Q+Z= 0.∂v∂v∂v Íåëèíåéíûå∂v óðàâíåíèÿ∂v(22)Âû÷èòàÿ ýòî ñîîòíîøåíèå èç (22), ïîëó÷èìdU∂z∂x∂y= −Z (−p− q ) = −ZU.dt∂v∂x∂vÑëåäîâàòåëüíî, Z tZdt .U(t) = U(0) exp −0Òàê êàêU(0) = 0,òî ïðè âñåõ äðóãèõtÈòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî â îêðåñòíîñòè∂z∂x∂y≡p+q ,∂v∂v∂vâåëè÷èíàU(t) = 0.S∂zdxdy≡p+q .∂tdtdtÄîêàæåì òåïåðü ñïðàâåäëèâîñòü (17).∂z∂z ∂v∂z ∂t=+,∂x∂v ∂x∂t ∂x∂z∂z ∂v∂z ∂t=+.∂y∂v ∂y∂t ∂yÍåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ∂z∂zÏîäñòàâëÿÿ ñþäà çíà÷åíèÿ ∂v , ∂t èç ïðåäûäóùèõ òîæäåñòâïîëó÷èì∂x∂y ∂v∂x∂y dt∂z= (p+q )+ (p+q )=∂x∂v∂v ∂x∂t∂t dx=p∂y∂x+q= p.∂x∂x∂zÀíàëîãè÷íî íàõîäèì ∂y .Ïðèìåð 1.Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ(∂z 2∂z) + ( )2 − 1 = 0,∂x∂yãðàôèê êîòîðîãî ïðîõîäèò ÷åðåç îêðóæíîñòüÂâåäÿ ïàðàìåòðv,(23)x 2 + y 2 = 1, z = 0.çàïèøåì óðàâíåíèå îêðóæíîñòèx = sin v , y = cos v , z = 0.(24)Óðàâíåíèÿ (11) - (13):dxdydzdpdq===== dt.222p2q2(p + q )00Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ(25)Òîãäàp = C1èq = C2 , C1 , C2 ∈ R- âåùåñòâåííûå ïîñòîÿííûå.Äàëåå,x = 2C1 t + C3 ,y = 2C2 t + C4 ,z = 2(C12 + C22 )t + C5 ,C3 , C4 , C5(26)- ïîñòîÿííûå.×òîáû óäîâëåòâîðÿëîñü (23):C12 + C22 = 1.(27)Ïîýòîìóz = 2t + C5 .Äàëåå, ÷òîáû ëèíèÿ (26) ïðîõîäèëà ÷åðåç òî÷êó, îïðåäåëÿåìóþïàðàìòåðîìvíà îêðóæíîñòè (24) íàäî, ÷òîáû áûëîC3 = sin v ,C4 = cos v ,C5 = 0.Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿÒîãäà óðàâíåíèå èíòåãðàëüíîé ïîâåðõíîñòè óðàâíåíèÿ (23),ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îêðóæíîñòü (24) çàïèøåòñÿ â âèäåx = 2C1 t + sin v ,ãäåtèvy = 2C2 t + cos v ,- ïàðàìåòðû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
