1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 20
Текст из файла (страница 20)
ÖåíòðûÈòàê, r̃=0èρ̃(θ) → 0ïðèθ → ∞. ñëó÷àå êîãäà ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ïðîõîäèò òîëüêî îäíîðåøåíèå, ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. îáùåì ñëó÷àå ðàññìîòðèì íèæíåå è âåðõíåå ðåøåíèÿρ̃m è ρ̃M , ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó (ρ0 , θ0 ).ρ̃m ïðèáëèæàåòñÿ ïî ñïèðàëè ê íà÷àëó ñ ðîñòîìóðàâíåíèÿ (20),Î÷åâèäíî, ÷òîθ,èáîρ̃îáëàäàåò ýòèì ñâîéñòâîì.Ïðåäïîëîæèì, ÷òîρ̃Míå âåäåò ñåáå òàê. Òîãäàρ̃M (θ0 + 2π) > ρ̃M (θ0 )èρ̃m (θ0 + 2π) < ρ̃m (θ0 ) ≡ ρ0 = ρ̃M (θ0 ) < ρ̃M (θ0 + 2π).Òàêèì îáðàçîì, äîëæíî ñóùåñòâîâàòü ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå,ïðîõîäÿùåå ÷åðåç(ρ0 , θ0 ).Ïðîòèâîðå÷èå.Èòàê, âñå ðåøåíèÿ, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó(ρ0 , θ0 )ïðèáëèæàþòñÿ ïî ñïèðàëè ê íà÷àëó.åøåíèÿ, ïðîõîäÿùèå ÷ðååç ëþáóþ òî÷êó âáëèçè íà÷àëà,äîëæíû íàêðó÷èâàòüñÿ íà íåãî ñ ðîñòîìθ,èáî â ïðîòèâíîìÏðàâèëüíûå óçëû è ïðàâèëüíûå îêóñû. Öåíòðûñëó÷àå äîëæíî áûëî áû ñóùåñòâîâàòü ðåøåíèåàññìîòðåííîå âåðõíåå ðåøåíèåρ̃Mρ̂,êîòîðîåθ.ðàñêðó÷èâàëîñü áû ïðè âîçðàñòàíèèäîëæíî ïåðåñåêàòü ýòîðåøåíèå, òî åñòü äîëæíî ñóùåñòâîâàòüθ1 > θ0òàêîå, ÷òîρ̃M (θ1 ) = ρ̂(θ1 + 2k π)äëÿ íåêîòîðîãî öåëîãî k .àññìîòðèì òåïåðü òàêîå ðåøåíèå:ρ̂0 (θ) = ρ̃M (θ),θ0 ≤ θ ≤ θ1 ,ρ̂0 (θ) = ρ̂(θ + 2k π),Ýòî ðåøåíèå ïðåâîñõîäèòÒåîðåìà äîêàçàíà.ρ̃M (θ)ïðèθ1 ≤ θ.θ > θ1 ,ïðîòèâîðå÷èå.25.
Óçëû è ñåäëàÐàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà íà÷àëî - óçåë òèïà 2 (ñì. 23) äëÿëèíåéíîé ñèñòåìû è ïðåäïîëîæèì äëÿ óïðîùåíèÿ, ÷òîëèíåéíàÿ ñèñòåìà èìååò êàíîíè÷åñêèé âèä0y1 = λy1 ,0y2 = µy2 ,µ < λ < 0.(1)Òîãäà íåëèíåéíàÿ ñèñòåìà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ (1) òàêîâà:0y1 = λy1 + f1 (y1 , y2 ),0y2 = µy2 + f2 (y1 , y2 ).(2)Òåîðåìà 1.a) Êàæäàÿ òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû (2) âáëèçè íà÷àëà ñòðåìèòñÿ êíà÷àëó è èìååò ïðåäåëüíîå íàïðàâëåíèå, êîòîðîå îáðàçóåò ñπ3πïîëîæèòåëüíîé y1 -ïîëóîñüþ óãîë 0, 2 , π èëè 2 .
Êðîìå òîãî,ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî òðàåêòîðèé, ñòðåìÿùèõñÿ êíà÷àëó êîîðäèíàò ïîä óãëàìè 0 èπ.b) Ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíà òðàåêòîðèÿ, ñòðåìÿùàÿñÿπ3πê íà÷àëó ïîä óãëîì 2 , è ïî êðàéíåé ìåðå îäíà - ïîä óãëîì 2 .Óçëû è ñåäëà∂f∂fc) Åñëè ïðîèçâîäíûå ∂y1 , ∂y2 ñóùåñòâóþò è íåïðåðûâíû äëÿ110 ≤ r ≤ r0 , òî ñóùåñòâóåò òî÷íî îäíà òðàåêòîðèÿ, ñòðåìÿùàÿñÿπ3πê íà÷àëó â íàïðàâëåíèÿõ 2 è 2 .Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ a).Íà÷àëî êîîðäèíàò - òî÷êà ïðèòÿæåíèÿ äëÿ ñèñòåìû (2).Ïîýòîìó ñóùåñòâóåòδ,0< δ ≤ r0òàêîå, ÷òî êàæäàÿèíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ, íà÷èíàþùàÿñÿ â êðóãå 0t ≥ t0ñóùåñòâóåò ïðèïðè≤r <δäëÿ íåêîòîðîãî t0 è ñòðåìèòñÿ ê íà÷àëót → +∞.Äëÿ êàæäîãî ðåøåíèÿ, íà÷èíàþùåãîñÿ â êðóãå 0< r < δ,0r 2 θ = (µ − λ)r 2 cos θ sin θ + o(r 2 )(r → 0, ”o”èëè0θ =Äëÿ ëþáîãîε,0(µ − λ)2<ε<sin 2θ+ o(1) (r → 0),π4 , ðàññìîòðèì îáëàñòèT1 : |θ| ≤ ε,T2 : |θ − π| ≤ ε,Óçëû è ñåäëà- î-ìàëîå),(3)πT3 : |θ −Íà ïðÿìîéθ=ε2| ≤ ε,>0⇒sin 2εT4 : |θ −â ñèëó (3)äîñòàòî÷íî ìàëî.
Àíàëîãè÷íîîáðàçîì, åñëèr0θ >03π2| ≤ ε.0θ < 0,íà ïðÿìîéåñëèrθ = −ε.Òàêèìäîñòàòî÷íî ìàëî, òî êàæäàÿ òðàåêòîðèÿ,íà÷èíàþùàÿñÿ âíóòðèT1 ,íå ìîæåò âûéòè èçÀíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ îáëàñòèT1 .T2 .Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òðàåêòîðèè íà ãðàíèöàõ îáëàñòåéT3èT4 ,íåT4íàïðàâëåíû âíå ýòèõ îáëàñòåé.Ñëåäîâàòåëüíî, òðàåêòîðèÿ, íà÷èíàþùàÿñÿ âíåìîæåò âîéòè âíóòðüT3èëèT3èT4 .Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû òðàåêòîðèÿ ïðèáëèçèëàñü êíà÷àëó ïîä óãëîìπ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ< ε < π4 ñóùåñòâîâàëî tε , òàêîå ÷òî äëÿ âñåõt ≥ tε òðàåêòîðèÿ áóäåò ëåæàòü â îáëàñòè T1 (ñîîòâåòñòâóþùåéýòîìó ε). Çàìåòèì, ÷òî òðàåêòîðèÿ ïðèáëèæàåòñÿ ïîä óãëîì π ,åñëè îíà ïðèáëèæàåòñÿ âäîëü ïîëîæèòåëüíîé y1 - ïîëóîñè.Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî åñëè òðàåêòîðèÿ C íà÷èíàåòñÿ âíóòðèπêðóãà 0 ≤ r ≤ δ1 , òî îíà ñòðåìèòñÿ ê íà÷àëó ïîä óãëîì 0, 2 , πêàæäîãîε,0Óçëû è ñåäëà3πèëè 2 .Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå.
Òîãäà äëÿ íåêîòîðîãîε0 , 0 < ε0 < π4 ,òðàåêòîðèÿ C íå ëåæèò â îáëàñòè S : ε0 < θ < 2 − ε0 .Òîãäà îíà, â êîíöå êîíöîâ, âîéäåò â îáëàñòü T1 . ñàìîì äåëå, äîïóñòèì, ÷òî ýòî íå òàê. Òîãäà C îñòàåòñÿ â Säëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ t .Íî â S â ñèëó (3)π0θ <[(µ − λ)4)] sin 2ε0 < 0.ξ = −[ (µ−λ)4 ] sin 2ε0 , òî òðàåêòîðèÿ äîëæíà îñòàâèòüS è âîéòè â T1 íà t - èíòåðâàëå, ìåíüøåì πλ2ξ , ïðîòèâîðå÷èå.Òàêèì îáðàçîì, òðàåêòîðèÿ C âõîäèò â îáëàñòü T1 äëÿ êàæäîãîε è ñòðåìèòñÿ ê íà÷àëó ïîä óãëîì π .Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû, åñëè C íàõîäèòñÿ âëþáîé îáëàñòè, îòëè÷íîé îò T1 , T2 , T3 èëè T4 , ÷òî çàâåðøàåòÈòàê, åñëèäîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ a).Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ b).Ïóñòüε>0è ñåêòîðOABîãðàíè÷åí ðàäèóñàìèÓçëû è ñåäëàOBèOA,ππïîä óãëàìè 2 − ε è 2 + εñîîòâåòñòâåííî, è ïóñòü ðàäèóñ ñåêòîðà äîñòàòî÷íî ìàë, òàêâûõîäÿùèìè èç íà÷àëà÷òî â ýòîì ñåêòîðårO- óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ t , ñì.
Ðèñ. 1.Óçëû è ñåäëàQy2BAíèæíååðåøåíèåCâåðõíååðåøåíèåA1Q1B1y10Ðèñ. 1Óçëû è ñåäëàÒàê êàêr- ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ t , òî ñèñòåìà (1) âýòîì ñåêòîðå ìîæåò áûòü çàìåíåíà óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêàdθ= F (r , θ).drÐàññìîòðèì ìíîæåñòâî òî÷åêsíà` AB(4)ñî ñâîéñòâîì: âñåðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4), èñõîäÿùèå èç òî÷åêòî÷êèS,ABñëåâà îò ëþáîéâûõîäÿò èç ñåêòîðàOAB , ïåðåñåêàÿ îòêðûòûéS îáðàçóþò èíòåðâàë AQ ,êîòîðûé íå âêëþ÷àåò òî÷åê, áëèçêèõ ê òî÷êå B .Ïîêàæåì, ÷òî S íå ñîäåðæèò òî÷êó Q , òî åñòü AQ ñïðàâàðàäèàëüíûé èíòåðâàëOA.Òî÷êèîòêðûò. ñàìîì äåëå, ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå ðåøåíèÿ, âûõîäÿùèå èçòî÷êèQïåðåñåêàþò îòêðûòûé èíòåðâàëOA.Òîãäà íèæíåå ðåøåíèå áóäåò îáëàäàòü òàêèì æå ñâîéñòâîì. Íîòîãäà íèæíåå ðåøåíèå äëÿ áëèçêèõ òî÷åê, ëåæàùèõ ñïðàâà îòQ,áóäåò ïåðåñåêàòüOA.Äëÿ âåðõíåãî ðåøåíèÿ ôóíêöèÿθíå ìåíüøå, ÷åì äëÿ íèæíåãî,è, òàêèì îáðàçîì, âåðõíåå ðåøåíèå ïåðåñå÷åòÓçëû è ñåäëàOA.Èòàê, âñåðåøåíèÿ, íà÷èíàþùèåñÿ â òî÷êåQ,íåâîçìîæíî ïî îïðåäåëåíèþ òî÷êèáóäóò ïåðåñåêàòüOA,÷òîQ.Òàê êàê âåðõíèå ðåøåíèÿ íåïðåðûâíû ñâåðõó, òî âåðõíååðåøåíèå, âûõîäÿùåå èç òî÷êèñåêòîðåOAB .èíòåðâàë OA.ñåêòîðå OAB ,ïåðåñåêàåòOAèëè îñòàåòñÿ âÅñëè íèæíåå ðåøåíèå íå ñòðåìèòñÿ ê òî÷êåO âOB .
Ïóñòü âåðõíååQ , ïåðåñåêàåò OA â òî÷êå C , àòî îíî ïåðåñåêàåò èíòåðâàëðåøåíèå, âûõîäÿùåå èç òî÷êèíèæíåå -Q,Íèæíåå ðåøåíèå íå ïåðåñåêàåò îòêðûòûéD.B1 òàê, êàê îòìå÷åíî íà ðèñóíêå 1.Ïðîäåëàåì ñ äóãîé A1 B1 òî æå, ÷òî è âûøå ñ äóãîé AB .Ïóñòü òî÷êà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ òî÷êå Q íà ýòîé äóãå - òî÷êà Q1 .Ðàññìîòðèì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4), âûõîäÿùèå èç Q1 ïðèâîçðàñòàþùèõ r . Îíè íå ìîãóò ïåðåñåêàòü OA èëè OB . Òàêèìîáðàçîì, îíè äîëæíû îñòàâèòü ñåêòîð OAB ïîñëå ïåðâîéâñòðå÷è ñ ðåøåíèåì CQ .OBâ òî÷êåÂûáåðåì òî÷êèA1èÒàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî ðåøåíèåóðàâíåíèÿ (4), êîòîðîå èäåò èçQâQ1 .Ïðîäîëæàÿ ýòîòïðîöåññ, ïîëó÷àåì ðåøåíèå, ñòðåìÿùååñÿ ê íà÷àëó ïîä óãëîìÓçëû è ñåäëà3π2 ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì y1 -îñè.Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ c).3πÏðîâåäåì åãî äëÿ ñëó÷àÿ 2 .Äëÿ êàæäîé ôèêñèðîâàííîé èíòåãðàëüíîé êðèâîé ϕ1 , ϕ2 ,3π ϕñòðåìÿùåéñÿ ê íà÷àëó ïîä óãëîì 2 , ϕ1 → 0, à èç ñèñòåìû (2)20ñëåäóåò, ÷òî ϕ2 < 0 ïðè ϕ2 > 0 ïðè âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ t .Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿy2 = ϕ2 (t)ìîæåò áûòü ââåäåíà êàêíîâàÿ ïåðåìåííàÿ.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò äâå ðàçëè÷íûå òðàåêòîðèè,3πñòðåìÿùèåñÿ ê íà÷àëó ïîä óãëîì 2 ïðè t → +∞.
Ïóñòüñîîòâåòñòâóþùèå òðàåêòîðèè îïðåäåëåíû â ñëåäóþùåì âèäå:y1 = ψ1 (y2 ),Î÷åâèäíî,ψj (y2 )x2→0ïðèy1 = ψ2 (y2 ).y2 → +0.Èç (2) ñëåäóåò:ψ̇i (y2 ) =λψi (y2 ) + f1 (ψi (y2 ), y2 ),µy2 + f2 (ψi (y2 ), y2 )Óçëû è ñåäëài = 1, 2è ïîñëå âû÷èòàíèÿ äëÿψ̇(x2 ) =ψ = ψ1 − ψ2 :λψi (y2 ) + [f1 (ψ1 (y2 ), y2 ) − f1 (ψ2 (y2 ), y2 )]+µy2 + f2 (ψ1 (y2 ), y2 )λψ2 (y2 + f1 (ψ(y2 ), y2 )×+µy2 + f2 (ψ1 (y2 ), y2 )f2 (ψ(y2 ), y2 ) − f2 (ψ(y2 ), y2 )×.µy2 + f2 (ψ2 (y2 ), y2 )Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî(5)ψ > 0.Çàìåòèì, ÷òî∂fi=0∂xjâ íà÷àëå êîîðäèíàò.Î÷åâèäíîfi (ψ1 (y2 ), y2 ) − fi (ψ2 (y2 ), y2 ) = ψ(y2 )∂fi(ξi , y2 ),∂y1ψ2 (y2 ) < ξi < ψ1 (y2 ),Óçëû è ñåäëàà, ñëåäîâàòåëüíî, èç (5) ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèåψ̇(y2 ) =Ïîýòîìó, åñëèy2 ψ̇ψ<γ<1x2λψ(y2 )(1 + o(1)),µy2y2 → 0.(6)äîñòàòî÷íî ìàëî, òîäëÿ âñåõC1 y2γ−1 <Èç (7) ñëåäóåò, ÷òîγ>λµ , à çíà÷èò,ψ(y2 ),y2ψ(y2 )y2ãäå→ +∞C1 > 0ïðè- ïîñòîÿííàÿ.y2 → 0,(7)à ýòîïðîòèâîðå÷èò òîìó ôàêòó, ÷òîψ(y2 )ψ1 (y2 ) − ψ2 (y2 )=→0y2y2ïðèy2 → 0.Óòâåðæäåíèå c) äîêàçàíî.Çàìå÷àíèå 1.Ìû íå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé âûðîæäåííîãî óçëà äëÿëèíåéíîé ñèñòåìû, îãðàíè÷èâàÿñü ôîðìóëèðîâêîé ñëåäóþùåéòåîðåìû.Óçëû è ñåäëàÒåîðåìà 2.Ïóñòü ôóíêöèè fi (y1 , y2 ) óäîâëåòâîðÿþò äîïîëíèòåëüíûìóñëîâèÿì ìàëîñòè:fi (y1 , y2 ) = o(r 1+ε ),ε > 0, r → +0.Òîãäà íà÷àëî - óçåë ñ åäèíñòâåííîé ïàðîé âçàèìíîïðîòèâîïîëîæåííûõ íàïðàâëåíèé âõîäà òðàåêòîðèé. çàêëþ÷åíèå íàñòîÿùåé ãëàâû ðàññìîòðèì ñëó÷àé ñåäëà. ýòîìó ñëó÷àå êàíîíè÷åñêèå ôîðìû íåëèíåéíîé è ëèíåéíîéñèñòåì èìåþò ñîîòâåòñòâåííî âèä:0y1 = λy1 + f1 (y1 , y2 ),0y2 = µy2 + f2 (y1 , y2 );(8)0y1 = λy1 ,0y2 = µy2 .Ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå ñëåäóþùåé òåîðåìûÓçëû è ñåäëà(9)Òåîðåìà 3.a) Ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíà òðàåêòîðèÿ, ñòðåìÿùàÿñÿ ê íà÷àëóïîä êàæäûì èç óãëîâ 0 èπ.∂f∂fb) Åñëè ïðîèçâîäíûå ∂y1 , ∂y2 ñóùåñòâóþò è íåïðåðûâíû äëÿ220≤ r ≤ r0 ,òî ñóùåñòâóåò â òî÷íîñòè îäíà òðàåêòîðèÿ,ñòðåìÿùàÿñÿ ê íà÷àëó ïîä êàæäûì èç óãëîâ 0 èπ.Êàæäàÿ òðàåêòîðèÿ, íà÷èíàþùàÿñÿ äîñòàòî÷íî áëèçêî îòêàæäîé èç ýòèõ òðàåêòîðèé â îêðåñòíîñòè íà÷àëà, ïðèt → +∞óäàëÿåòñÿ îò íèõ.Äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ òðàåêòîðèè, ñòðåìÿùåéñÿ êíà÷àëó â ñåêòîðå|θ| ≤ ε,î÷åíü ïîõîæå íà äîêàçàòåëüñòâîóòâåðæäåíèÿ b) òåîðåìû 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
