1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ïîñêîëüêóâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé, òîÔóíêöèè Ëÿïóíîâà(K ŷ , ŷ ) ≤ 0.  êà÷åñòâå óíêöèè K (y ) âîçüìåìK (y ) = −(Ky , y ) è óáåäèìñÿ, ÷òî âûïîëíåíûå ñâîéñòâà Í.1,2,3.Óñëîâèÿ Í.1 è Í.2 âûïîëíåíû, ïîñêîëüêó â êà÷åñòâå ŷ [δ] ìîæíî÷òîâçÿòüŷ[δ]=δ ≤ R,R < δ.( δŷ2kŷ k,R2kŷ k ŷ ,Òîãäà0< kŷ [δ] k =δ2< δ.Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ Í.3:F (y ) = (f , Ky ),dKdt= −(K [Ay + ϕ], y ) − (Ky , [Ay + ϕ]) == −([KA + A∗ K ]y , y ) − (K ϕ, y ) − (Ky , ϕ) == (Cy , y ) + θ(y ) + λK (y ).′Ôóíêöèè Ëÿïóíîâàäåθ(y ) = −2Re(Ky , ϕ),qp|θ(y )| ≤ 2|(Ky , ϕ)| ≤ 2 (Ky , Ky ) ·ϕ(y ), ϕ(y ) ≤≤ 2βky k · kϕ(y )k ≤ 2β q ky k2+ω .ßñíî, ÷òîθ(y ),F (y ) îïðåäåëåíû ïðè ky k ≤ Y .γky k2 ≤ (Cy , y ) ≤ γ ky k2 ,′|θ(y )| ≤2βγq1+ ω2Òàê êàêòî(Cy , y )1+ 2ωè ñëåäîâàòåëüíîF (y ) = (Cy , y ) + θ(y ) ≥ (Cy , y ) −= (Cy , y )[1 −2βγq1+ ω22βγq1+ ω2(Cy , y )1+ 2 =(Cy , y ) 2 ] ≥ωÔóíêöèè Ëÿïóíîâàω≥ (Cy , y )[1 −2βγ= (Cy , y )[1 −q1+ ω22βγÏóñòüR = min{Y ,Òîãäà ïðèky k ≤ R1−Òî åñòü2βγq(q(γγ′12[γ ky k2 ] 2 ] =′(ωγ ω) 2 ky kω ].γ′·(γ 1) ω }.4β qγ ω2β q γ ω ω1ω2( ′)2R ≥ .≥1−′ ) ky kγγ γ2F (y ) ≥ 12 (Cy , y ) + λK (y ), òî åñòü Í.3 âûïîëíåíî.21.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì Ëÿïóíîâà è ×åòàåâà ýòîì ïàðàãðàôå ìû äîêàæåì òåîðåìó Ëÿïóíîâà îáóñòîé÷èâîñòè è òåîðåìó ×åòàåâà î íåóñòîé÷èâîñòè.Íî ñíà÷àëà äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå â öåëîì ïîtðåøåíèÿçàäà÷è Êîøè äëÿ àâòîíîìíîé ñèñòåìû:ky0 k ≤ ρ0 (ρ00y = f (y ),y (0 ) = y 0 ,(1)ïðåäñòîèò âûáðàòü).Îáîçíà÷èì ÷åðåçm(ρ)m(ρ) =èminky k≥ρM(ρ)H(y ),ñëåäóþùèå ôóíêöèè:M(ρ) =maxky k≤ρH(y ).Ýòè ôóíêöèè îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:a)m(ρ), M(ρ)- íåïðåðûâíû;b) îíè ìîíîòîííû, à èìåííî, ïðèm(ρ1 ) ≤ m(ρ2 ),c)m(ρ) > 0, M(ρ) > 0ïðèρ1 ≤ ρ2M(ρ1 ≤ M(ρ2 );ρ > 0, m(0) = 0, M(0) = 0;Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì Ëÿïóíîâà è ×åòàåâàm(ρ) ≤ M(ρ);ky k < δ , òî H(y ) ≤ M(δ);f) åñëè H(y ) < m(ε), òî ky k < ε.RÂûáåðåì ρ0 òàê, ÷òîáû M(ρ0 ) < m( 2 ).d)e) åñëèÏîñòðîèì ðåøåíèå ñèñòåìûdy= f (y ),dtíà îòðåçêå t : 0≤ t ≤ T0 .y (0) = y0Åñëè âûáðàòüëîêàëüíîé òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ ïðèT0 = 2RF , òî â ñèëó|t| ≤ T0 ðåøåíèå áóäåòñóùåñòâîâàòü èky (t) − y0 k ≤ F |t − t0 | ≤ FT0 = F ·ky (t)k ≤ ky0 k + ky (t) − y0 k ≤R2R2F+R2=R2,= R.Çàìåòèì òàêæå, ÷òî èç àâòîíîìíîñòè ñèñòåìû (1) ñëåäóåò: åñëèky (t0 k ≤R2 , òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ0y = f (y ), ïðèíèìàþùåå ïðèÄîêàçàòåëüñòâî òåîðåì Ëÿïóíîâà è ×åòàåâàt = t0 çíà÷åíèå y (t0 ), ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî íà îòðåçêåt0 ≤ t ≤ t0 + T0 (T0 = 2RF ), êàêîâî áû íè áûëî t0 .Èòàê, âûáðàâ ky0 k ≤ ρ0 , ìû ìîæåì ïîñòðîèòü íà îòåçêå0 ≤ t ≤ T0 ðåøåíèå çàäà÷è ÊîøèÂäîëü ýòîãîdy= f (y ), y (0) = y0 .dtðåøåíèÿ H(y ) íå âîçðàñòàåò, òàêêàêdH(y ) = −J(y ) ≤ 0dt(ïðåäïîëîæåíèå Ë.3).ÏîýòîìóH y (T0 ) ≤ H(y0 ).Êàê ìû çíàåì,RH(y0 ) ≤ M(ρ0 ) < m( ).2Òîãäà èç íåðàâåíñòâàRH y (T0 ) < m( )2Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì Ëÿïóíîâà è ×åòàåâàñëåäóåòñâîéñòâî e) ôóíêöèéM(ρ), m(ρ) ,ky (T0 )k <R2÷òî.Êàê ìû óæå îòìå÷àëè, ýòî íåðàâåíñòâî ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü íàT0 ≤ t ≤ T0 + T0 ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè dydt = f (y ),y (T0 ) ñîâïàäàåò ïðè t = T0 ñî çíà÷åíèåì ðåøåíèÿ,ïîñòðîåííîãî íà [0, T0 ].
Ýòî ðåøåíèå íå âûõîäèò çà ïðåäåëûøàðà ky (t)k ≤ R .Ðåøåíèÿ, ïîñòðîåííûå íà îòðåçêàõ [0, T0 ] è [T0 , 2T0 ],ïðèíèìàþò ïðè t = T0 îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ ⇒ ïîëó÷àåìðåøåíèå íà [0, 2T0 ]. ñàìîì äåëå, âäîëü ýòîãî ðåøåíèÿ H y (t) íå âîçðàñòàåò:îòðåçêådH y (t) = −J y (t) ≤ 0,dtñëåäîâàòåëüíî,H y (2T0 ) ≤ H y (0) = H(y0 ) ≤ M(ρ0 ).Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì Ëÿïóíîâà è ×åòàåâàÒîãäàRH y (2T0 ) < m( ),2èky (2T0 )k <Ïóñòü ìû óæå ñóìåëè ïîñòðîèòüäîêàçàòü, ÷òîky (kT0 )k ≤R2y (t).íà îòðåçêå 0R≤ t ≤ kT0è2.Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü ëîêàëüíóþòåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ äëÿ ïðîäîëæåíèÿ ðåøåíèÿ íà îòðåçêåkT0 ≤ t ≤ (k + 1)T0 .Âäîëü ýòîãî ðåøåíèÿH y (t)íåâîçðàñòàåò, è ïîýòîìóRH y (k + 1)T0≤ H(y0 ) ≤ M(ρ0 ) < m( ),2Rky (k + 1)T0 k < .2Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì Ëÿïóíîâà è ×åòàåâà ñèëó èíäóêöèè, åñëèρ0òàêîâî, ÷òîdy= f (y ),dty (0) = y0 ,çàäà÷è Êîøèñóùåñòâóåò ïðè âñåõt > 0,ïðè÷åìM(ρ0 = m( R2 ),òî ðåøåíèåky0 k ≤ ρ0ky (t)k ≤R2.Ðèñóíîê 1 èëëþñòðèðóåò ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ.R_R2r0Ðèñ.
1Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì Ëÿïóíîâà è ×åòàåâàÏîêàæåì òåïåðü, ÷òî åñëèðåøåíèåJ(y ) > 0ïðèky k > 0,òî ýòîy (t) → 0.Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. A priori ñóùåñòâóþò äâå âîçìîæíîñòè:ky (t)k = 0ïðè 0≤ t < ∞,ky (t)k ≥ δ > 0ïðè 0≤ t < ∞.1) inf2)Äîïóñòèì, ÷òî ðåàëèçóåòñÿ ïåðâàÿ âîçìîæíîñòü.Òîãäà∀ε > 0t∗ > 0òàêîå, ÷òî ñèëó ñèëóâûáåðåìδ > 0 òàê, ÷òî M(δ) < m(ε) è íàéäåìky (t ∗ )k ≤ δ .ñâîéñòâà d) ôóíêöèè M(ρ) èìååì:H y (t ∗ ) ≤ M(δ).íåâîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè H y (t) âäîëü ðåøåíèÿïîëó÷àåìH y (t) ≤ M(δ) < m(ε)è, ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ñâîéñòâà e) ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òîky (t)k ≤ εt ≥ t ∗.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì Ëÿïóíîâà è ×åòàåâàïðè ñèëó ïðîèçâîëüíîñòèεlimt→∞ky (t)k = 0.Åñëè îñóùåñòâëÿåòñÿ âòîðàÿ âîçìîæíîñòü, òî ïðè âñåõ∃δ > 0òàêîå, ÷òît≥0ky (t)k ≥ δ > 0.
Ïðè ýòîìH y (t) ≥ m(δ) > 0.0Ïðåäïîëîæåíèå Ë.3 ýêâèâàëåíòíî óòâåðäåíèþ:µ(ρ) =minky k≥ρÍà íàøåì ðåøåíèè î÷åâèäíî, ÷òîJ(y ).J(y ) ≥ µ(δ) > 0.Èíòåãðèðóÿ ñîîòíîøåíèådH y (t)= −J y (t) ,dtïîëó÷àåìH y (t) = H y (0) −Z0tJ y (τ ) dτ ≤ H y (0) − tµ(δ).Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì Ëÿïóíîâà è ×åòàåâàÒàê êàêH y (t) ≥ m(δ) > 0,òîm(δ) ≤ H y (0) − tµ(δ),÷òî ïðîòèâîðå÷èâî, åñëèt → +∞.Òåîðåìà äîêàçàíà.Ñîäåðæàùóþ íà÷àëî êîîðäèíàòäàííûõy (0),y =0îáëàñòü òàêèõ íà÷àëüíûõ÷òî íà÷èíàþùèåñÿ ñ íèõ ðåøåíèÿïðèáëèæàþòñÿ ê òî÷êåy =0y (t)ïðèt→∞àñèìïòîòè÷åñêè, ïðèíÿòîíàçûâàòü îáëàñòüþ ïðèòÿæåíèÿ ýòîé òî÷êè.⇒åñëèM(ρ0 ) < m( R2 ),òî øàðky (0)k ≤ ρ0ëåæèò â îáëàñòèïðèòÿæåíèÿ.Ôóíêöèè0H(y ),óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì Ë.1, Ë.2, Ë.3 (èëèË.3 ), íîñÿò íàçâàíèå ôóíêöèé Ëÿïóíîâà äëÿ âåêòîðíîãîdyóðàâíåíèÿ dt = f (y ). ñëó÷àå êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ËÿïóíîâàH(y ) = (Hy , y ),m(ρ) = λmin (H)ρ2 ,M(ρ) = λmax (H)ρ2 ,Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì Ëÿïóíîâà è ×åòàåâàãäåλmin , λmax- ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííûå÷èñëà ìàòðèöûHñîîòâåòñòâåííî.Åñëè âçÿòüsρ0 <λmin (H) R· ,λmax (H) 20ky (0)k ≤ ρ0 ðåøåíèå ñèñòåìû y = f (y ) áóäåòRóäîâëåòâîðÿòü ky (t)k < 2 (t > 0).0Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå Ë.3 , òî øàð ky (0)k ≤ ρ0 ëåæèò âîáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ òî÷êè y = 0.
 êà÷åñòâå ïðèìåðîâ òî ïðèïðèìåðû ... ... èç ...Òåïåðü ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû Ëÿïóíîâà.Íàïîìíèì, ÷òî ïàðàìåòðρ0âûáèðàåòñÿ èç óñëîâèÿRM(ρ0 ) < m( ).2Ïóñòüε > 0,áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîÂûáåðåì òåïåðüδ>ε≤R2.0 òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâîM(δ) < m(ε).Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì Ëÿïóíîâà è ×åòàåâàϕ(t) = H y (t)t. ñèëó óñëîâèÿ Ë.3 ôóíöèÿíåâîçðàñòàþùåé ôóíêöèåéÿâëÿåòñÿÑëåäîâàòåëüíî,H y (t) ≤ H y (0) ≤ M(δ) < m(ε),íî òîãäàky (t)k < ε.Òåîðåìà äîêàçàíà.Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû ×åòàåâà. Ïðèäîêàçàòåëüñòâå óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ íå ñàìèìè óñëîâèÿìè H.1- H.3, à íåêîòîðûìè èõ ñëåäñòâèÿìè.Ñëåäñòâèå 1.Åñëè ìíîæåñòâîMòî÷åêyòàêèõ, ÷òîky k ≤ R , K (y ) ≥ β > 0,íå ïóñòî, òî íà ýòîì ìíîæåñòâåinfy ∈MF (y ) = γ(β) > 0.Íà÷èíàÿ äîêàçàòåëüñòâî, çàìåòèì ïðåæäå âñåãî, ÷òî â ñèëóíåïðåðûâíîñòè ôóíêöèèK (y )ìíîæåñòâîM - çàìêíóòî,Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì Ëÿïóíîâà è ×åòàåâàñëåäîâàòåëüíî ñóùåñòâóåò òî÷êàky ∗ k =Î÷åâèäíî, ÷òîy ∈MK (y ∗ ) ≥ βinfy ∈Mòàêàÿ, ÷òîy ∗ ∈ M.ky k,ky ∗ k = η0 > 0.ky k ≥ η0 > 0.è ïîýòîìóìû èìååì íåðàâåíñòâîÍåîòðèöàòåëüíàÿ ïðèy∗ ∈ My ∈Míåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿF (y )M ñâîåé íèæíåé ãðàíèK (y ∗∗ ) ≥ β > 0, òîäîñòèãàåò íà çàìêíóòîì ìíîæåñòâåíåêîòîðîé òî÷êåy=y ∗∗ .
Òàê êàêF (y ∗∗ ) =infÄëÿ âñåõy ∈MâF (y ) = γ(β) > 0.Ñëåäñòâèå äîêàçàíî.Ñëåäñòâèå 2.y (t) (ky (t)k ≤ R) - îïðåäåëåííîå ïðè t1 ≤ t ≤ t2 ðåøåíèådyñèñòåìû dt = f (y ), äëÿ êîòîðîé ïîñòðîåíû ôóíêöèè K (y ) èF (y ), óäîâëåòâîðÿþùèåóñëîâèÿì Í.1 - Í.3, è ïóñòüK y (t0 ) = β > 0. Òîãäà íà âñåì îòðåçêå t1 ≤ t ≤ t2Ïóñòüñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîK y (t) ≥ β + γ(β)(t − t1 ) (γ(β) > 0).Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì Ëÿïóíîâà è ×åòàåâàÄîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ñëåäñòâèÿ íà÷íåì ñ îáîñíîâàíèÿ òîãî,÷òîK y (t) > 0≤ t ≤ t2 .K y (t) > 0 íåñïðàâåäëèâî.òî÷åê t , â êîòîðûõ K y (t) = 0 (t1 < t ≤ t2 )íåïðåðûâíîñòè K y (t) îíî çàìêíóòî.âñþäó ïðè t1Ïðåäïîëîæèì, ÷òî, íàïðîòèâ,Òîãäà ìíîæåñòâîíåïóñòî, à â ñèëóÍèæíÿÿ ãðàíüt∗ =inftK y (t) =0îïðåäåëÿåò îòðåçîê t1 ≤ t < t ∗ íåíóëåâîé äëèíû, âî âñåõòî÷êàõ êîòîðîãî K y (t) > 0 (ïðè ýòîì K y (t ∗ ) = 0).Ïî óñëîâèþ Í.3 èìååìF (y ) > 0 (t1 ≤ t < t ∗ ),÷òîdK y (t) = F y (t) > 0,dtK y (t ∗ ) > K y (t1 ) = β > 0,ïðîòèâîðå÷èò ðàâåíñòâó K y (t ∗ ) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì Ëÿïóíîâà è ×åòàåâàÈòàê, ïðè t1 ≤ t ≤ t2 âñþäó K y (t) > 0, F y (t) > 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
