1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 15
Текст из файла (страница 15)
1x2xÄîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îá îñöèëëÿöèèÒàê êàê ôóíêöèÿωíåïðåðûâíà ïî(modπ ), òî êîîðäèíàòàèíòåðâàëåôóíêöèÿ(a, b)λ.k -îãîíóëÿ0x è λ, è ω > 0 ïðè ω = 0xk = xk (λ) ôóíêöèè ϕ íàåñòü íåïðåðûâíàÿ ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ ñàìîì äåëå,0ω (xk , λ)∂ωdxk+(xk , λ) = 0.dλ∂λÄëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãîèç ïðîìåæóòêàx =cω(c, λ) → ∞(a, b]λ → ∞,(22)λ → −∞.(23)ïðèà òàêæåω(c, λ) → 0ïðèÂíà÷àëå äîêàæåì ñîîòíîøåíèå (22).Òàê êàêα ≥ 0,òîω(x, λ) ≥ 0èáî0ω >0äëÿω=0(modπ ).Òàêèì îáðàçîì, äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãîòàêîãî ÷òîλ → ∞.a < x0 < c ,ðàçíîñòüω(c, λ) − ω(x0 , λ) → ∞x0 ,ïðèÄîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îá îñöèëëÿöèèÏóñòüx0 =(x0 , c)(a+c)2, àRèQ- òàêèå ïîñòîÿííûå, ÷òî íà èíòåðâàëår (x) ≥ R > 0,Òîãäà äëÿ ðåøåíèÿϕ̃q(x) ≤ Q.óðàâíåíèÿ00y + (λR − Q)y = 0,(24)óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèÿìϕ̃(x0 , λ) = ϕ(x0 , λ),èìååìω̃(x0 , λ) = ω(x0 , λ),00ϕ̃ (x0 , λ) = ϕ (x0 , λ),è, òàêèì îáðàçîì, â ñèëó òåîðåìû 1ω(c, λ) − ω(x0 , λ) ≥ ω̃(c, λ) − ω̃(x0 , λ).Ïîñëåäîâàòåëüíûå íóëè ôóíêöèèπ1(λR−Q) 2.
Ýòà âåëè÷èíàÏîýòîìóçíà÷åíèé→0ïðèϕ̃ îòëè÷àþòñÿλ → ∞.(25)íà âåëè÷èíóω̃ ≡ 0 (modπ ) äëÿ ïðîèçâîëüíî áîëüøîãî ÷èñëà0x , è òàê êàê ω̃ > 0 ïðè ω̃ ≡ 0 (modπ ), òî ω̃ → ∞.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îá îñöèëëÿöèèÑëåäîâàòåëüíî, ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (25) ñòðåìèòñÿ êïðèλ → ∞,∞à çíà÷èò, òî æå ñàìîå èìååò ìåñòî è äëÿ ëåâîé÷àñòè. Ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî ñîîòíîøåíèÿ (22).×òîáû äîêàçàòü ñîîòíîøåíèå (23), èñïîëüçóåì óðàâíåíèå (21).δ > 0 íàñòîëüêî ìàëûì, ÷òîáû áûëî α < π − δ .δ ≤ ω ≤ π − δ , λ > 0 è 0 < R ≤ r , è Q ≥ |q|, òîÂûáåðåìÅñëè0ω < 1 − |λ|R sin2 δ + Q.Òàêèì îáðàçîì,0ω <0äëÿω = δ,åñëè−λäîñòàòî÷íî âåëèêî.Áîëåå òîãî, íàïðèìåð,0ω <−ïðèδ ≤ω ≤π−δ10c −a(ñìîòðè Ðèñ.
2)Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îá îñöèëëÿöèè(26)w(x,l)p-dad0x0aÐèñ. 2cxÄîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îá îñöèëëÿöèè ñèëó íåðàâåíñòâà (26)çíà÷åíèÿõω → −∞ïðè áîëüøèõ ïî ìîäóëþλ.Íàïðèìåð,0ω(c, λ) − ω(a, λ) = ω (θ, λ)(c − a)è ìû âûõîäèì çà ïðåäåëû íåðàâåíñòâàδ ≤ ω ≤ π − δ,ìàëîãîω(c, λ) ≤ δïîëîæèòåëüíîãî δ .òî åñòüäëÿ ëþáîãî ñêîëü óãîäíîÑëåäîâàòåëüíî, ñîîòíîøåíèå (23) äîêàçàíî.Ïðèλ → −∞èìååì, ÷òîω(b, λ) → 0.Òàê êàêβ>0èω(β, λ)ìîíîòîííî âîçðàñòàåò êàê ôóíêöèÿ îòλ, òî ñóùåñòâóåòλ (îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç λ0 ), äëÿ êîòîðîãîω(β, λ0 ) = β . Òàê êàê 0 ≤ α < π è β ≤ π , òî 0 < ω(x, λ0 ) < πíà èíòåðâàëå (a, b), òàê ÷òî ðåøåíèå ϕ(x, λ0 ) óäîâëåòâîðÿåòóñëîâèþ (20) è íå îáðàùàåòñÿ â íóëü íà (a, b).Ïîëàãàÿ, ÷òî λ âîçðàñòàåò è ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ,ïðåâîñõîäÿùèå λ0 , ïîëó÷àåì åäèíñòâåííîå λ1 , äëÿ êîòîðîãîçíà÷åíèåω(b, λ1 ) = β + π.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îá îñöèëëÿöèèÎ÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿϕ(x, λ1 )óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (20) èèìååò â òî÷íîñòè îäèí íóëü íà èíòåðâàëåçíà÷åíèå ñ íîìåðîìω(b, λn ) = β + nπ.Òåîðåìà 2 äîêàçàíà.n(a, b).îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîìÑîáñòâåííîå17.
Ñàìîñîïðÿæåííûå çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ.Ôóíêöèÿ ÃðèíàÐàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ñ ïåðåìåííûìèêîýôôèöèåíòàìèLx = p0 x (n) + p1 x (n−1 + ... + pn x,ãäåpj - êîìïëåêñíîçíà÷åíûåp0 (t) 6= 0 íà [a, b].ôóíêöèè êëàññîâC n−j ([a,b])èÏóñòüUj x =nX(Mjk x (k−1) (a) + Njk x (k−1) (b) j = 1, ..., n,k=1ãäåMjkèNjk - ïîñòîÿííûå.Uj x = 0, j = 1, ..., nÎáîçíà÷èì÷åðåçUx = 0.Çàäà÷àπ:ãäålLx = lx,Ux = 0,(1)- êîìïëåêñíîå ÷èñëî, íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé íà ñîáñòâåííûåçíà÷åíèÿ (èëè êðàåâîé çàäà÷åé).Ôóíêöèÿ ÃðèíàÎïðåäåëåíèå.ÎïåðàòîðLíàçûâàåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì, åñëè(Lu, v ) = (u, Lv ),äëÿ âñåõu, v ∈ C n ([a, b]),ïðè÷åì òàêèõ, ÷òîUu = Uv = 0.Åñëè îïåðàòîð çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì, òî è ñàìóçàäà÷ó áóäåì íàçûâàòü ñàìîñîïðÿæåííîé.Ïðèìåð 1.0Lx = ix = lx,x(1) = x(0).Z10(Lu, v ) = (iu , v ) = i(2)0u v̄ dξ =01= iu v̄ 0 − iZ110u v̄ dξ = iu v̄ 0 + (u, Lv )0â ýòîì ñëó÷àåL- ñàìîñîïðÿæåííûé.Ôóíêöèÿ Ãðèíà⇒Ââåäåì îïåðàòîðL+ñëåäóþùèì îáðàçîì:L+ x = (−1)n (p̄0 x)(n) + (−1)n−1 (p̄1 x)(n−1) + ...
+ p̄n x,⇒ ∀u, v ∈ C n ([a, b])(Lu, v ) − (u, L+ v ) = [uv ](b) − [uv ](a).L+ = L è óñëîâèå U òàêîâî, ÷òî èç Uu = Uv = 0[uv ](b) − [uv ](a) = 0, òî çàäà÷à π ñàìîñîïðÿæåííàÿ.ßñíî, ÷òî åñëèñëåäóåòÒåîðåìà 1.Ïóñòüπ- ñàìîñîïðÿæåííàÿ. Òîãäà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿäåéñòâèòåëüíû è îáðàçóþò íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî, íåèìåþùåå êîíå÷íûõ ïðåäåëüíûõ òî÷åê. Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè,ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì ÷èñëàì,îðòîãîíàëüíû.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòül =λ- ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ñ ñîáñòâåííîé ôóíêöèåéäëÿ1)π.Lχ = λχ ⇒ (λ − λ̄)(χ, χ) = 0,÷òî è òðåáîâàëîñü.Ôóíêöèÿ Ãðèíàχ2) Ïóñòüλ1 6= λ2 .Òîãäà(Lχ1 , χ2 ) − (χ1 , Lχ2 ) = (λ1 − λ2 )(χ1 , χ2 )⇒ (χ1 , χ2 ) = 0.ϕj = ϕj (t, l), j = 1, ..., n3) Ïóñòü- ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿLx = lx ,óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì(k−1)ϕj(c, l) = δjkj, k = 1, ..., nc ∈ [a, b].(k−1)Òîãäà ôóíêöèè ϕjíåïðåðûâíûå ïî ïåðåìåííûì (t, l) äëÿt ∈ [a, b] è âñåõ l , à ïðè ôèêñèðîâàííîì t - öåëûå ôóíöèè ïî l .Òàê êàê ϕj - ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî l ñîáñòâåííîå çíà÷åíèånnPPçàäà÷è π ⇔ ∃cj 6= 0 ⇔ x =cj ϕj è Ux = 0.
⇔cj Uk ϕj = 0äëÿ íåêîòîðîãîj=1(k= 1, ..., n)j=1èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå.4 = detkUk ϕj k = 0.Ôóíêöèÿ Ãðèíà⇒Òàê êàê(k−1)ϕj÷àñòíîñòè, ïðè- öåëûå ôóíêöèèt = a, t = b ,òîl ïðè ôèêñèðîâàííîì t ,4 - öåëàÿ ôóíêöèÿ l .âÎíà ìîæåò èìåòü òîëüêî äåéñòâèòåëüíûå íóëè, èáî çàäà÷àπíåèìååò ìíèìûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, ÷òî è òðåáîâàëîñüäîêàçàòü.Íåîäíîðîäíàÿ çàäà÷à.Lx = lx + f ,ÂàðèàöèÿÏðèτ ≤tϕj- ðåøåíèåUx = 0,f ∈ C ([a, b]).(3)Lx = lx .ïîëîæèìK (t, τ , l) =1·p0 (τ )W (ϕ1 , ..., ϕn )(τ ) ϕ1 (τ , l) 0 ϕ1 (τ , l)· (n−2) ϕ(τ , l) 1 ϕ (t, l)1...............Ôóíêöèÿ Ãðèíà.(n−2)ϕn(τ , l) ϕn (t, l) ϕn (τ , l)0ϕn (τ , l)È äëÿt < τ K (t, τ , l) = 0,ZW (ϕ1 , ..., ϕn )(τ ) = exp{τ−cp1 (s)ds}.
⇒p0 (s)(4)(ñìîòðè ðèñ. 1)xba0abÔóíêöèÿ Ãðèíàtðèñ. 1∂j K(τ + 0, τ , k) = 0,∂t jj = 0,1,...,(n − 2).∂j K∂t jj = 0,1,...,n − 2 íåïðåðûâíû ïî (t, τ , l) ïðèt, τ ∈ [a, b] è âñåõ l è ÿâëÿþòñÿ öåëûìè ôóíêöèÿìè ïåðåìåííîéjl ïðè ôèêñèðîâàííûõ (t, τ ). Êðîìå òîãî, äëÿ j = n − 1 è n ∂∂tKjíåïðåðûâíà ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ (t, τ , l) äëÿ âñåõ l êàêïðè a ≤ τ ≤ t ≤ b , òàê è ïðè a ≤ t ≤ τ ≤ b .Òàêèì îáðàçîì,Äàëåå,∂ n−1 K∂ n−1 K1(τ+0, τ , l) −(τ − 0, τ , l) =.n−1n−1∂t∂tp0 (τ )ÔóíêöèÿKïîtZbu(t, l) =óäîâëåòâîðÿåòLK = lK , t 6= τ ;ZL(t, τ , l)f (τ )dτ =aatK (t, τ , l)f (τ )dτ ∈ C nÔóíêöèÿ Ãðèíàïî t , îíà öåëàÿ ïî ïåðåìåííîé l ;Lu = lu + f .Âèäîèçìåíÿÿ ôóíêöèþK (t, τ , l),ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþôóíêöèþ:G (t, τ , l) = K (t, τ , l) +nXcj ϕj (t, l).(5)j=1Ïðèìåíÿÿ ãðàíè÷íûé îïåðàòîðUk G = Uk K +UG = 0, ⇒nXcj Uk ϕj = 0.⇒j=1nXcj Uk ϕj = −Uk K(k = 1, ..., n; a ≤ τ ≤ b).j=1Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿGîïðåäåëåíà âñþäó, êðîìåπ.Lx = lx + f⇒Ôóíêöèÿ Ãðèíà(6)Zu(t) =b(7)G (t, τ , l)f (τ )dτa- ðåøåíèå, èñêëþ÷àÿ ñîáñòâåííîå çíà÷åíèåπ.Òåîðåìà 2.Åñëè õîòÿ áû äëÿ îäíîãî çíà÷åíèÿlçàäà÷àπíå èìååòðåøåíèÿ, îòëè÷íîãî îò òðèâèàëüíîãî (÷òî âñåãäà âåðíî äëÿñàìîñîïðÿæåííîãî ñëó÷àÿ), òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿG (t, τ , l),îïðåäåëåííàÿ äëÿ(t, τ )â êâàäðàòåa ≤ t, τ ≤ bè äëÿâñåõ êîìïëåêñíûõ l , èñêëþ÷àÿ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, è òàêàÿ÷òî:1)∂k G(k∂t kâñåõl 6== 0, 1, ..., n − 2)ñóùåñòâóåò è íåïðåðûâíà ïî(t, τ , l)ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì,∂ n−1 Gíåïðåðûâíà ïî ñîâîêóïíîñòè∂t n−1(t, τ , l) äëÿ òî÷åêa ≤ t ≤ τ ≤ b , a ≤ τ ≤ t ≤ b , l 6= ñîáñòâåííûìçíà÷åíèÿì.
Äëÿ ôèêñèðîâàííûõ (t, τ ) ýòè ôóíêöèèìåðîìîðôíû ïî l .∂ n−1 G∂ n−1 G12) ∂t n−1 (τ + 0, τ , l) − ∂t n−1 (τ − 0, τ , l) = p (τ ) ,03) ôóíêöèÿ G ïî t óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì Lx = lx , t 6= τ ,òðåóãîëüíèêàÔóíêöèÿ Ãðèíàè4)Ux = 0, a ≤ τ ≤ b .Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3) äàåòñÿ ôîðìóëîé (7).G- ôóíêöèÿÃðèíà.ÄîêàçàòåëüñòâîÏðåäïîëîæèì, ÷òîl =0íå åñòü ñîáñòâåííîå çíà÷åíèåñàìîñîïðÿæåííîé çàäà÷è (ýòî íå îãðàíè÷èâàåò îáùíîñòè, òàêêàê âñåãäà ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿÈ òîãäà ìîæíî ðåøàòü çàäà÷ó äëÿÏóñòüMc - íå ñîáñòâåííîåL1 x = Lx − cx .)çíà÷åíèå.- èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð òàêîé, ÷òîZMf (t) =bG (t, τ )f (τ )dτ⇒a(f , Mg ) = (Mf , g ) ∀f , g ∈ C ([a, b]) ⇒ (f , Mf )⇒ G (t, τ ) = Ḡ (τ , t) äîñòàòî÷íîå óñëîâèå äëÿñàìîñîïðÿæåííîñòè èñõîäíîé çàäà÷è.Mîáðàòíûé êLâ òîì ñìûñëå, ÷òîLMf = f ,äëÿf ∈ C ([a, b])èMLu = uu ∈ C n ([a, b]), Uu = 0.Ôóíêöèÿ Ãðèíà- äåéñòâèòåëüíî.Òåîðåìà 3.1) Ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé èñîáñòâåííûõ ôóíêöèé.fP∈ C n ([a, b]), Uf = 0 ⇒f = ∞(f , χk )χk - ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [a, b];k=P0∞2kf k = k=0 |(f , χk )|2 .P∞3) f ∈ L2 (a, b) ⇒ f =k=0 (f , χk )χk - ñõîäèòñÿ â L2 .2)Ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ:kf k2 =∞X|(f , χk )|2 .k=0Òåîðåìà 4 (Ðèññà - Ôèøåðà).Ïóñòüc = {ck }- ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîìïëåêñíûõ ÷èñåë,kck =∞X|ck |212<∞ ⇒k=0∃f ∈ L2 ,òàêàÿ ÷òîck = (f , χk )èkf kL2 = kck.Ãëàâà IV.
Óñòîé÷èâîñòü è àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòüïî Ëÿïóíîâó. Íåóñòîé÷èâîñòü18. Óñòîé÷èâîñòü ïî ËÿïóíîâóÀâòîíîìíàÿ ñèñòåìà0è ïóñòüf (a) = 0,y = f (y ) a1 .. a = . - ïîñòîÿííûéaNãäå(1)âåêòîð.Òîãäà (1) èìååò ñëåäóþùåå ðåøåíèå:y = y (t) = a.Ãîâîðÿò, ÷òî òî÷êàaÌîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî- òî÷êà ðàâíîâåñèÿ äëÿ (1).a=0(èíà÷å ñäåëàåì çàìåíóz = y − a).Îïðåäåëåíèå 1.Ðåøåíèåy0 (t)óðàâíåíèÿ (1) íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì ïîËÿïóíîâó, åñëè∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0,òàêîå, ÷òî∀y (0)èçky (0)k < δÓñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâóñëåäóåò,÷òî ðåøåíèåy (t)çàäà÷è Êîøèñóùåñòâóåò∀t > 0è0y = f (y ), t > 0,y t=0 = y (0)ky (t)k < ε.Îïðåäåëåíèå 2.y0 (t) ≡ 0íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì, åñëè îíîóñòîé÷èâî èky (0)k < δ0 ,∃δ0 > 0 òàêîå,òî ky (t)k → 0÷òî äëÿ ëþáîãî ðåøåíèÿïðèt → ∞.Óñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâóy (t)åñëèÃåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ïðèN=2tey2d0d0y1Ðèñ.
1Óñòîé÷èâîñòü ïî ËÿïóíîâóÅñëè ñóùåñòâóåòy (t)δ>0òàêîå, ÷òî äëÿ õîòÿ áû îäíîãî ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ (1) íåðàâåíñòâîky (t)k < εíå âûïîëíåíî∀t > 0,òîy ≡0íàçûâàåòñÿ íåóñòîé÷èâûì. ñëó÷àå ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè0(2)y = Ayâîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè èëè íåóñòîé÷èâîñòèy ≡0ðåøàåòñÿïðîñòî. ñàìîì äåëå,y (t) = e tA y (0).Ëåììà 1 (èç 14).Ïðè Reτj (A)≤ −σ (σ > 0), j = 1,...,Nke tA k ≤ M(σkAk, N)e − 2 t , τ = µ + iν.σÓñòîé÷èâîñòü ïî ËÿïóíîâóÒîãäà â ñèëó ëåììû 1 èìååì:σky (t)k ≤ ke tA k · ky (0)k ≤ Me − 2 t ky (0)k.Èòàê, åñëè ñïåêòðAëåæèò ñòðîãî â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòèµj ≤ −σj = 1,...,N ,(σ > 0),òî íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (2) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî. ñàìîì äåëå:∀εδ = µε .∀y (0) ky (0)k < δ ky (t)k ≤ ε,ïîëîæèìÒîãäàòî åñòü óñòîé÷èâîñòü.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
