Главная » Просмотр файлов » 1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930

1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 12

Файл №826746 1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (2018- Слайды Ткачев) 12 страница1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746) страница 122021-01-26СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

⇒∂2y = t22 y ⇒∂t 20022 ∂xx 2 ∂by.b=1∂x∂b∂x ∂b b=1 .= 0,.Ðåøåíèå:t33−13t .Ãëàâà III. Êðàåâûå çàäà÷è äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì ïåðâîãîïîðÿäêà è ëèíåéíûõ óðàâíåíèé âûñîêîãî ïîðÿäêàŸ13. Êðàåâûå çàäà÷è äëÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé I ïîðÿäêà.Ìàòðèöà Ãðèíà. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ0y = A(t)y + f (t),t ∈ [a, b].(1)Èíîãäà A = A(t, λ), ãäå λ - ïàðàìåòð (âîîáùå ãîâîðÿ,êîìïëåêñíûé). Ÿ9 ðàññìàòðèâàëàñü çàäà÷à Êîøè:0y (t) = A(t)y (t) + f (t), |t| ≤ T , 0 < T < ∞,y (0) = y0 ∈ C N (èëè R N ).Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà êîíöàõ a, b (÷èñëî óñëîâèé = N ïîðÿäêó ñèñòåìû (1))PNt=a:1 lij yj (a) = li , i = 1,...,N−M ,Pj=Nt=b:j=1 rij yj (a) = ri , i = 1,...,M .(2)Êðàåâûå çàäà÷è ëèíåéíûõ ñèñòåì 1îãî ïîðÿäêàÏåðåïèøåì êðàåâûå óñëîâèÿ (2) â äðóãîì âèäå:Ly (a) = l, L = (lij ), i = 1,...,N−M , j = 1,...,N ;Ry (a) = r , R = (rij ), i = 1,...,M , j = 1,...,N .0(2 ) Ÿ9 íàéäåíî îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè:y (t) = Y (t)Y −1 (0)y0 +tZY (t)Y −1 (t)f (τ )dτ ,0(3)ãäå Y (t) - ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ0y (t) = A(t)y (t).Åñëè íà÷àëüíûå äàííûå çàäàíû ïðè t = t0 , òî ðàâåíñòâî (3)ïðåîáðàçóåòñÿ â ñëåäóþùåå:y (t) = Y (t)Y −1 (t0 )y0 +ZtY (t)Y −1 (t)f (τ )dτ .0(3 )t0Íàéäåì ðåøåíèå (1), (2).Êðàåâûå çàäà÷è ëèíåéíûõ ñèñòåì 1îãî ïîðÿäêà0Ïîëàãàÿ â (3 ) t = b , t0 = a, y0 = y (a), ïîëó÷èìy (b) = Y (b)Y−1Z(a)y (a) +bY (b)Y −1 (τ )f (τ )dτ =a= Y (b)Y −1 (a)y (a) + g .

(4)0Òîãäà èç (2 ) èìååì:Ly (a) = l,RY (b)Y −1 (a)y (a) = r − Rg ,èëèLlRY (b)Y −1 (a) y (a) = r − Rg  .|{z}| {z }(5)ϕK̃Ïåðåïèøåì (5) òàê. Ââåäåì âåêòîð z = Y −1 (a)y (a), òî åñòüy (a) = Y (a)z .Òîãäà èç (5) ïîëó÷àåì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:Kz = ϕ,0(5 )Êðàåâûå çàäà÷è ëèíåéíûõ ñèñòåì 1îãî ïîðÿäêàK=LY (a).RY (b)0Óðàâíåíèå (5 ) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî äëÿ ëþáîãî ϕ ⇔detK 6= 0.(6)Çàìåòèì, ÷òî âñå ñêàçàííîå íå çàâèñèò îò âèäàôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû. ñàìîì äåëå, ïóñòüỸ (t) = Y (t)B, (detB 6= 0), LỸ (a)LY (a)BKỸ === KY B.RY (b)BR Ỹ (b)Âìåñòî detK ââåäåì ïàðàìåòð4=detK,detY (a)⇒4Y = 4Ỹ .Êðàåâûå çàäà÷è ëèíåéíûõ ñèñòåì 1îãî ïîðÿäêà(èç Ÿ3) d y10 −1y1f (t)=+ 11 0y2f2 (t)dt y2Ïðèìåð 1.íà [a, b].r11 y1 (b) + r12 y2 (b) = r1 ,l11 y1 (a) + l12 y2 (a) = l1 .Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà:cos(t − a) − sin(t − a)Y (t) =.sin(t − a) cos(t − a)4 = (l11 r12 − l12 r11 ) cos(b − a) − (l11 r11 + l12 r12 ) sin(b − a).Çíà÷èò, ñôîðìóëèðîâàííàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à îäíîçíà÷íîðàçðåøèìà äëÿ ëþáûõ f1 (t), f2 (t), åñëètg(b − a) 6=l11 r12 − l12 r11.l11 r11 + l12 r12Êðàåâûå çàäà÷è ëèíåéíûõ ñèñòåì 1îãî ïîðÿäêàÇàìå÷àíèå 1.Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî cos(b − a) 6= 0.

Åñëè cos(b − a) = 0, òîíåîáõîäèìîå óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè âûãëÿäèò ñëåäóþùèìîáðàçîì: l11 r11 + l12 r22 6= 0.Ïóñòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2) îäíîðîäíû, òî åñòü l = 0, r = 0.Ìàòðèöû ÃðèíàÏóñòü G (t, t0 ) ìàòðèöà ñî ñâîéñòâàìè:G (t, t0 ) = G0 (t, t0 ) + G1 (t, t0 ),G0 (t, t0 ) =0, a ≤ t < t0 ≤ b;Y (t)Y −1 (t0 ), a ≤ t0 < t ≤ b;(7)(8)G1 (t, t0 ) = Y (t)B,(ñìîòðè Ðèñ. 1)Êðàåâûå çàäà÷è ëèíåéíûõ ñèñòåì 1îãî ïîðÿäêàxba0abtÐèñ. 1âûáîð "ïîñòîÿííîé" ìàòðèöû B áóäåò ñäåëàí ïîçæå.ßñíî, ÷òî G0 (t, t0 ) íå çàâèñèò îò âûáîðà Y (t).Êðàåâûå çàäà÷è ëèíåéíûõ ñèñòåì 1îãî ïîðÿäêàÄàëåå íà èíòåðâàëàõ (a, t0 ), (t0 , b)dG0 (t, t0 ) = A(t)G0 (t, t0 ),dt(9)à ïðè t = t0 ïîëó÷àåì ñêà÷îê:G0 (t0 + 0, t0 ) − G0 (t0 − 0, t0 ) = IN .Îïðåäåëèì B:LG1 (a, t0 ) = −LG0 (a, t0 ) = 0,RG1 (b, t0 ) = −RG0 (b, t0 ) = −RY (b)Y −1 (t0 ),èëè(10)(11)0.−RY (b)Y −1 (t0KB =Åñëè 4 =6 0, òî B îäíîçíà÷íî íàõîäèòñÿ. ñèëó îïðåäåëåíèÿ, G1 (t, t0 ) - íåïðåðûâíî - äèôôåðåíöèðóåìàíà (a, b) ïî t , t0 .Óñëîâèÿ íà G (t, t0 ):Êðàåâûå çàäà÷è ëèíåéíûõ ñèñòåì 1îãî ïîðÿäêàdG (t, t0 ) = A(t)G (t, t0 ) íà (a, t0 ), (t0 , b);dtG (t0 + 0, t0 ) − G (t0 − 0, t0 ) = IN ,LG (a, t0 ) = 0,RG (b, t0 ) = 0.(I)(II)(III)Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè 4 =6 0, òî (I), (II), (III) îïðåäåëÿþòG (t, t0 ) îäíîçíà÷íî (óïðàæíåíèå).Îïðåäåëåíèå 1.Ìàòðèöà G (t, t0 ) ïîðÿäêà N ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (I), (II),0(III) íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé Ãðèíà äëÿ y = A(t)y .Ïóñòü A = A(t, λ), R = R(λ), L = L(λ).

Çíà÷åíèÿ λ, ïðèêîòîðûõ 4(λ) = 0 - ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êðàåâîé çàäà÷è.Åñëè 4(λ0 ) = 0, òî ñèñòåìàK (λ0 )z = 0èìååò íåïðåðûâíîå ðåøåíèå.Êðàåâûå çàäà÷è ëèíåéíûõ ñèñòåì 1îãî ïîðÿäêàÏîëîæèìy (a) = Y (a, λ0 )z,ãäå Y (t, λ0 ) - ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ðåøåíèé. Òîãäàôóíêöèÿy (t) = Y (t, λ0 )Y −1 (a, λ0 )y (a)(12)(13)óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå0y (t) = A(t, λ0 )y (t)è îäíîðîäíûì êðàåâûì óñëîâèÿìL(λ0 )y (a) = 0,R(λ0 )y (b) = 0.Èòàê, åñëè 4(λ0 ) = 0, òî îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ñ îäíîðîäíûìèêðàåâûìè óñëîâèÿìè èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå y (t) (ñìîòðèôîðìóëó (13)).ßñíî, ÷òî òàêèå ðåøåíèÿ îáðàçóþò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâîN ≥ dim ≥ 1.Êðàåâûå çàäà÷è ëèíåéíûõ ñèñòåì 1îãî ïîðÿäêàÏóñòü çàäà÷à (1), (2) ñ îäíîðîäíûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìèòàêîâà, ÷òî 4 =6 0, òî åñòü äîïóñêàåò ïîñòðîåíèå ìàòðèöûÃðèíà G (t, t0 ). Òîãäà ðåøåíèå ìîæíî çàïèñàòü òàê:Z by (t) =G (t, t0 )f (t0 )dt0 .(14)a0Ïðîâåðèì, ÷òî (14) äàåò ðåøåíèå y = A(t)y + f (t) íà (a, b).

Âñàìîì äåëå,Z bZ t0y (t) = {G (t, t0 )f (t0 )dt0 +G (t, t0 )f (t0 )dt0 } =atZ t=Gt f (t, t0 )dt + G (t + 0, t)f (t)+aZ b+Gt f (t, t0 )dt − G (t − 0, t)f (t).0tÄàëåå:ZLy (a) = LbG (a, t0 )f (t0 )dt0 =aÊðàåâûå çàäà÷è ëèíåéíûõ ñèñòåì 1îãî ïîðÿäêàZ=b[LG (a, t0 )]f (t0 )dt0 = 0.aRy (b) = 0.Ïóñòü L(λ), R(λ), A(t, λ) - àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèèêîìïëåêñíîãî ïàðàìåòðà λ, îïðåäåëåííûå äëÿ ëþáîãî λ 6= ∞,òî åñòü îíè öåëûå àíàëèòè÷åñêèå îò λ. Òîãäà 4(λ) - öåëàÿàíàëèòè÷åñêàÿ îò λ. ñàìîì äåëå, ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ðåøåíèé Y (t, λ):dY (t, λ) = A(t, λ)Y (t, λ),dtY (a, λ) = IN .Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äèôôåðåíöèðóåìî ïî λ, òàê êàêêîýôôèöèåíòû îáëàäàþò ñâîéñòâîì äèôôåðåíöèðóåìîñòè.Íàïðèìåð,A(t, λ) = a0 (t) + λA1 (t) + ... + λk Ak (λ),R(λ) = R0 + λR1 + ... + λm Rm ,L(λ) = L0 + λL1 + ...

+ λn Ln ,Êðàåâûå çàäà÷è ëèíåéíûõ ñèñòåì 1îãî ïîðÿäêàAj (t), j = 0, ..., k - íåïðåðûâíû. ⇒ 4(λ) - öåëàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ.Îòìåòèì îäíî âàæíîå ñâîéñòâî, êàñàþùååñÿ ðàñïîëîæåíèÿíóëåé ôóíêöèè 4(λ).Åñëè 4(λ) 6≡ 0, òî êîðíè 4(λ) = 0 ðàñïîëîæåíû äèñêðåòíî íàïëîñêîñòè, íå èìåþò íè îäíîé êîíå÷íîé ïðåäåëüíîé òî÷êè. ñàìîì äåëå, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå èç òåîðåìû åäèíñòâåííîñòèñëåäóåò, ÷òî 4 ≡ 0.Ÿ14. Îãðàíè÷åííûå ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ íåîäíîðîäíûõñèñòåì ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè. Êðàåâûåóñëîâèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ ËîïàòèíñêîãîÄàíà ñèñòåìà′y= Ay + f (t ),ñ ïîñòîÿííîé ìàòðèöåéA.Ïóñòü âñå åå ñîáñòâåííûå ÷èñëàReτj (A)Ïóñòüf(t )6= 0,t∈ R1τj (A), j = 1,...,Nj(1)òàêîâû, ÷òî= 1,...,N .(2)- íåïðåðûâíàÿ âåêòîð - óíêöèÿ, ïðè÷åìkf (t )k ≤ F < ∞,t∈ R 1.Îêàçûâàåòñÿ, â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî ðåøåíèåky (t )k ≤ Q < ∞,Qt∈ R 1.- onst.Äîêàæåì åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è (1), (2).Îãðàíè÷åííûå ðåøåíèÿ.

Êðàåâûå óñëîâèÿIy (t )I,IIky (t )k ≤ QI ,II ≤ ∞.Ïóñòü ñóùåñòâóþòèyII (t ),Òîãäà ðàçíîñòü äâóõ ðåøåíèé( ) = y I (t ) − y II (t )y tóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:Ïîêàæåì, ÷òî′= Ay ,ky (t )k ≤ QI + QII = Q < ∞.y( )=0y täëÿ ëþáîãî(3)t.Äîêàæåì ðÿä ëåìì.Ëåììà 1.

(åëüàíäà - Øèëîâà)Åñëè Reτj (A)≤ −σ (σ > 0), j = 1,...,N ,ke tA k ≤ M (M= M ( kAσ k , N )òî ïðèt≥ 0:σkAk, N )e − 2 t ,σ- íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.Äîêàçàòåëüñòâî.Îãðàíè÷åííûå ðåøåíèÿ. Êðàåâûå óñëîâèÿ(4) ñèëóìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî òåîðåìû Øóðà, τ10A = 0p12τ20........p1p2.0NNτN.Äàëåå (ñì. Ÿ5 è Ÿ1, îðìóëó (7)),ãäåY (t ) = y11y120y220000........Ny2,N −1y1, −1.......NNy −1, −10Ny2N y1,yN −1,N NNyïðè÷åì çíàåì (Ÿ5) ðåêêóðåíòíóþ îðìóëó äëÿ ýëåìåíòîâÊðîìå òîãî, åñëè Reτj (A)≤ Λ, j = 1,...,N ,òîRtPk |yjk (t )| ≤ kAk i =j +1 0 |yik (s )|e Λ(t −s ) ds ,j = 1,...k − 1,k = 1,...,N ;|ykk (t )| ≤ e Λt , k = 1,...,N .yij .Îãðàíè÷åííûå ðåøåíèÿ. Êðàåâûå óñëîâèÿ(5)Èç (5) ïîëó÷àåì:|ykk (t )| ≤ e Λt ,|yk −1,k (t )| ≤ kAk|yk −2,k (t )| ≤ kAkè òàê äàëååãäåjk (x )Pt1!eΛt+t1!(kAkt )22!eeΛt,Λt|yjk (t )| ≤ Pjk (kAkt )e Λt ,- ïîëèíîì ñòåïåíèk−jîòíîñèòåëüíîxñïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè.ÏîýòîìóvuXNqX Xu N XΛtA[ ]2 e Λt e 2 t .ke k ≤ t[Pij (kAkt )]2 e 2Λt =i =1 j =1Òàê êàêΛ = −σ (σ > 0) ⇒qX XvuXNu N X...

≤ max t[ ]2 e −σt =t ≥0i =1 j =1Îãðàíè÷åííûå ðåøåíèÿ. Êðàåâûå óñëîâèÿvuXNu N XkAk 2 −skAkt= max[Pij (s )] e= M(, N) ⇒s ≥0σσi =1 j =iσke tA k ≤ M ( )e − 2 t ,÷òî è òðåáîâàëîñü.Ëåììà 2.Åñëè óAâñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà≥ σ > 0, j = 1,...,N , òî(t ) = Ay óäîâëåòâîðÿåò ïðèτj (A)òàêîâû, ÷òîReτj (A)ëþáîå ðåøåíèåyt′ky (t )k ≥Òàê êàê Reτj (−A)≥01M()≤ −σ (σ > 0),σe 2( )y tóðàâíåíèÿíåðàâåíñòâó:t ky (0)k.òî ïî ëåììå 1 èìååì:σkAk, N )e − 2 t .σ−tA y (t ), òîy (0) = eke t (−A) k ≤ M (Òàê êàê( ) = e tA y (0)y tèëèky (0)k ≤ ke −tA kky (t )k ≤ M ( )e − 2 t ky (t )k.σÎãðàíè÷åííûå ðåøåíèÿ. Êðàåâûå óñëîâèÿ(6)Ëåììà 3.Åñëè Reτjy′= Ay≤ −σ , j = 1,...,N ,òî ëþáîå ðåøåíèåóäîâëåòâîðÿåò ïðèky (t )k ≥t≤01M()( )y tóðàâíåíèÿíåðàâåíñòâóe− σ2 tky (0)k.Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç ëåììû 2: çàìåíà(7)τ = −t .Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîãî óòâåðæäåíèÿ.àçáåðåì 2 ñëó÷àÿ:1) Âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó îò ìíèìîéîñè: Reτj (A)≥σ>0(áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè).Ïî ëåììå 2 èìååì:ky (0)k ≤ M ( )e − 2 t ky (t )k ≤ M ( )Qe − 2 tσσ∀t ≥ 0⇒ y (0) ≡ 0.2) Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ëåæàò êàê ñëåâà, òàê è ñïðàâà îíìíèìîé îñè, ïðè÷åì |Reτj (A)|≥ σ > 0, j = 1,...,N .Îãðàíè÷åííûå ðåøåíèÿ.

Êðàåâûå óñëîâèÿ ýòîì ñëó÷àåAAA+èN++ N− = N .A−ïðèâîäèñÿ ê æîðäàíîâîé îðìå:=T−1A+00A−- êâàäðàòíûå, ïîðÿäêîâA+=T,detTN+ , N− .6= 0,ïðè÷åìτ1τ210τ2τ3100τ3100τ3...,Îãðàíè÷åííûå ðåøåíèÿ. Êðàåâûå óñëîâèÿA−=τ l +100A−=A+00A−′z+zτ l +11τ l +1..èìåþò ïîëîæèòåëüíûå- îòðèöàòåëüíûå. Reλj (A+ )= 1,...,N+; Reλk (A− ) ≤ −σ ,ÒîãäàÏóñòüz = Ty . ′00A+jz1..Âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿâåùåñòâåííûå ÷àñòè,τlk= 1,...,N−.≥ σ,èëè= A+ z+ ,′z−= A− z− ,z=z+z−.Äàëååkz+ k ≤ kT kQ ,Ñëåäîâàòåëüíî,( )≡0y tkz− k ≤ kT kQ .è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è (1),(2) äîêàçàíà.Îãðàíè÷åííûå ðåøåíèÿ. Êðàåâûå óñëîâèÿÒåïåðü ïîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå îãðàíè÷åííîãî ðåøåíèÿ.Äëÿ ýòîãî ââåäåì â ðàññìîòðåíèå êâàäðàòíóþ ìàòðèöó ïîðÿäêà( )N , ìàòðèöó ðèíà G täëÿ ñèñòåìû y′= Ayñ ïîìîùüþàêñèîì:1)2)kG (t )k îãðàíè÷åíà ∀t ∈ R 1 ;G (t ) íåïðåðûâíà âñþäà, êðîìåG3) ïðèt6= 0G′t= 0,ãäå(+0) − G (−0) = IN ;(t ) = AG (t ).Çàìåòèì, ÷òî ñ ïîìîùüþ 1), 2), 3) ìàòðèöàîäíîçíà÷íî â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òîA( )G tîïðåäåëÿåòñÿíå èìååò ÷èñòî ìíèìûõñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. ñàìîì äåëå: ïî ïðåäûäóùåìó( ) = GI (t ) − GII (t )G tÏðåäñòàâèì ìàòðèöóAA⇒( ) ≡ 0.G tâ âèäå:=T−1A+00A−T,Îãðàíè÷åííûå ðåøåíèÿ.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
5,03 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6372
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее