Главная » Просмотр файлов » 1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930

1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 7

Файл №826746 1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (2018- Слайды Ткачев) 7 страница1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746) страница 72021-01-26СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

, A0ãäåè(i )A0, i = 1, ... , k - æîðäàíîâû ÿùèêè, òî(k ) l l1 lA0 = blok diag (A0 ) , ... , (A0 ) ,tA0 =e∞ lXtA0l= 0,1,2,...(1)(k ) = blok diag e tA0 , ... , e tA0 .l!l =0Íàïîìíèì òàêæå, ÷òî åñëèτ 1...B0 = 0 . . .0..0.τ...01τÊàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûæîðäàíîâà êëåòêà ïîðÿäêà τtetB0 = eNt1! e..τe 4t.t N −1...(N −1)! e..eτt.τtçàäàåòñÿ (3), òîA0eτt....0Åñëè, òî (ñì. Ÿ5):tA0 = blok diagt1! eτ4 tτ te 4eτ1 tτe 3, e τ2 t ,  00tt1! eτ3 tτe 30tt 2 e τ3 t 2!t τ3 t  ,1! eτ te 3, e τ5 t .0Åñëè òåïåðü âíîâü âåðíóòüñÿ ê çàäà÷å Êîøè ′1y = Ay ,t ∈ R ;y (0) = y0 ,(4)Êàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûòî âçÿâ â êà÷åñòâå ïðèìåðà ìàòðèöó A = T −1 A0 T ñ ìàòðèöåéA0 âèäà (3), ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå (4)òàêîâî, ÷òî ëþáàÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà - ðåøåíèÿ y = y (t ) ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âûðàæåíèéeτ1 t,eτ2 t, e τ3 t ,teτ3 t,2 τ3t et,eτ4 t,teτ4 t,eτ5.Òàêîâà æå ñèòóàöèÿ è â îáùåì ñëó÷àå.

Ëþáàÿ êîìïîíåíòàâåêòîðà - ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (4) - ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿâûðàæåíèé t lj e τj t , τj = τj (A), j = 1,...,N - ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿA, ñòåïåíü lj íå ïðåâîñõîäèò ÷èñëà kj − 1, kj - êðàòíîñòü τj . ñâÿçè ñ ïðèâåäåíèåì ìàòðèöû A ê æîðäàíîâîé îðìå A0ìîæíî ïðåäëîæèòü è òàêóþ ïðîöåäóðó íàõîæäåíèÿ ðåøåíèéçàäà÷è Êîøè (1).Ïóñòü τ0 = τ0 (△) - íåêîòîðîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû Aè ïóñòü íàì óäàëîñü íàéòè îòâå÷àþùèé ýòîìó ñîáñòâåííîìóçíà÷åíèþ ñîáñòâåííûé âåêòîð y0 è ïðèñîåäèíåííûå âåêòîðàÊàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûy1, ... , yr òàêèå, ÷òî:Ay0Ay1= τ0 ,= τ0 y1 + y0 ,...Ayr = τ0 yr + yr −1Íàïîìíèì, ÷òî âåêòîðà y0 , y1 , ... , yr - ëèíåéíî-íåçàâèñèìû.Ñêîíñòðóèðóåì ñëåäóþùèå àãðåãàòû:τ te 0 · y0 ,t τ0 t y ,τ te 0 · y1 +01! et e τ0 t y + t e τ0 t yτ te 0 y +21!12!0è ò.ä.Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ñêîíñòðóèðîâàííûå òàê âåêòîðà′ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû y = Ay , à íà÷àëüíûå äàííûå ïðèt = 0 ýòèõ ðåøåíèé áóäóò ëèíåéíî - íåçàâèñèìû.Óïðàæíåíèÿ.1) Ïîêàçàòü, ÷òî ðåøåíèå ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿdXdt= XB ,X(0) = CÊàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûäàåòñÿ îðìóëîé X = Ce Bt .2) Ïîêàçàòü, ÷òî ðåøåíèå ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿdXdt= AX + XB ,X(0) = Cäàåòñÿ îðìóëîé X = e tA · C · e tB .Óêàçàíèå 1.Âûïèñàííàÿ ñèñòåìà ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê âåêòîðíîìóÊàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûóðàâíåíèþyy′x11= Gy , ãäå ..

 .   x1N   x21   ..  . = x2N  ,  ..  .   xN 1   ..  . G11 ..  .   1N   = A ⊗ IN + IN ⊗ B T , y (0) =  ...  = g ,  N 1   ..  . NNNNxïðè÷åì X = (xij ), C = (ij ), i , j = 1,...,N .Ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à Êîøèy′= Gy ,y(0) = g ,Êàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûà âìåñòå ñ íåé è èñõîäíàÿ çàäà÷à èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå( ) = e tA Y (t ),X tãäåY(t ) - íåêîòîðàÿ ìàòðèöà, ïîäëåæàùàÿ îïðåäåëåíèþ.Ÿ7. Ôóíäàìåíòàëüíûå ñèñòåìû ðåøåíèé çàäà÷è Êîøèäëÿ îäíîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìèêîýôôèöèåíòàìèÅùå ðàç âåðíåìñÿ ê ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ ñ ïîñòîÿííûìèêîýôôèöèåíòàìè:0Lx = x (N) + a1 x (N−1) + ... + aN−1 x + aN x = 0.(1)Ïîëó÷èì äëÿ (1) íåêîòîðûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ, êîòîðûå áóäåìèñêàòü â âèäåx = eτt ,(2)ãäå τ - íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå.Èìååì äëÿ τ :PN (τ ) = τ N + a1 τ N−1 + ... + aN−1 τ + aN = 0.(3)Ïîëèíîì PN (τ ) íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ïîëèíîìîìäëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1).1) Åñëè õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïîëèíîì PN (τ ) èìååò ðàçëè÷íûåêîðíè τj , j = 1...N , òî ÷àñòíûå ðåøåíèÿxj = e τj t ,j = 1...N(4)Ôóíäàìåíòàëüíûå ñèñòåìû ðåøåíèé çàäà÷è Êîøèîáðàçóþò ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè äëÿ(1). ñàìîì äåëå, ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ðåøåíèé:x1...xN0 x0...xN  1Φ(t) =  .= ..x1(N−1) .

. .e τ1 tτ1 e τ1 t...=τ1N−1 e τ1 txN(N−1)e τNτ N e τN t ,N−1 τN tτN e.........à detΦ(t) = W (t):PNW = e(i=1 τi )tdet 1τ1.........τ1N−1 . . .1τN =τNN−1Ôóíäàìåíòàëüíûå ñèñòåìû ðåøåíèé çàäà÷è ÊîøèPN= e(i=1 τi )tY(τi − τj ).i>j2) Åñëè ñðåäè êîðíåé τj åñòü êðàòíûå, òî ôóíäàìåíòàëüíóþñèñòåìó ðåøåíèé áóäåì ñòðîèòü ïî-äðóãîìó. ÏóñòüPN (τ ) = (τ − τ1 )k1 (τ − τ2 )k2 ...(τ − τp )kp ,Pãäå ki - êðàòíîñòü τi , pi=1 ki = N .Çàìåòèì, ÷òîL=d N−1dddN+a+ ... aN−1 + aN = PN ( ),1dt Ndt N−1dtdtïðè÷åì (1) ìîæíî ïåðåïèñàòü â îäíîì èç ñëåäóþùèõ âèäîâ:Lx = PN (ddd)x = ( − τ1 )k1 ...( − τp )kp x(t) = 0.dtdtdtÈëè(dddd− τ2 )k2 ( − τ3 )k3 ...( − τp )kp ( − τ1 )k1 x(t) = 0.dtdtdt Ôóíäàìåíòàëüíûådt ñèñòåìû ðåøåíèé çàäà÷è ÊîøèÈëè(dddd− τ1 )k1 ( − τ3 )k3 ...( − τp )kp ( − τ2 )k2 x(t) = 0.dtdtdtdtè ò.ä.Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáîå ðåøåíèå êàæäîãî èç óðàâíåíèé(d− τ1 )k1 x(t) = 0,dt...d− τp )kp x(t) = 0dtÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì è óðàâíåíèÿ (1).Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî óðàâíåíèå(d− τ )k x(t) = 0,dtèìååò ñëåäóþùèå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ:(eτt ,t1!e τ t , ...

,k ≥1t k−1 τ te .(k − 1)!Ôóíäàìåíòàëüíûå ñèñòåìû ðåøåíèé çàäà÷è ÊîøèÇàìå÷àíèå.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà îñíîâàíî íà ñëåäóþùåé ôîðìóëå(ñìîòðè óïðàæíåíèå 1 ê ýòîìó ïàðàãðàôó)(dt l−1 τ tt l−m−1− τ )m [e ]=eτt ,dt(l − 1)!(l − m − 1)!(5)ãäå l − m − 1 ≥ 0, l − 1 ≥ 1. Çàìåòèì, ÷òî(d− τ )e τ t = 0.dtÓ÷èòûâàÿ ýòî, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî (1) èìååò ñëåäóþùèéíàáîð ðåøåíèék −1x1 (t) = e τ1 t , x2 (t) = 1t! e τ1 t , ...

xk1 (t) = (kt 11−1)! e τ1 t ,k −1xk1 +1 (t) = e τ2 t , ... xk1 +k2 (t) = (kt 22−1)! e τ2 t ,... xN (t) = t kp −1 e τp t .(kp −1))!(6)Ôóíäàìåíòàëüíûå ñèñòåìû ðåøåíèé çàäà÷è ÊîøèÌîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñîâîêóïíîñòè ÷àñòíûõ ðåøåíèé (6)îáðàçóåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé (òî åñòü îíèëèíåéíî íåçàâèñèìû - óïðàæíåíèå 2).Èòàê, ðàçîáðàíû äâà ñëó÷àÿ ïîñòðîåíèÿ Ôóíäàìåòàëüíîéñèñòåìû ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1):Ïåðâûé - õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïîëèíîì íå èìååò êðàòíûõêîðíåé;âòîðîé - â ñëó÷àå êðàòíûõ êîðíåé.Îäíàêî, åñëè êîýôôèöèåíòû ai , i = 1,...,N (1) çàâèñÿò îò êàêèõ ëèáî ïàðàìåòðîâ, òî ïðè èçìåíåíèè ýòèõ ïàðàìåòðîâ êîðíèõàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, áóäó÷è, ñêàæåì, ïðîñòûìè,ìîãóò ñáëèæàòüñÿ è ñòàíîâèòüñÿ êðàòíûìè, à çàòåì ñíîâàðàñõîäèòüñÿ è ò.ä.Ïîýòîìó, äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ íóæä ñëåäóåòîòûñêàòü òàêóþ ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé, êîòîðàÿîáñëóæèâàëà áû è ñëó÷àé ïðîñòûõ, è ñëó÷àé êðàòíûõ êîðíåéõàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà.

Ìû ñåé÷àñ ïðèñòóïèì êïîñòðîåíèþ òàêîé ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû ðåøíèéóðàâíåíèÿ (1).Ôóíäàìåíòàëüíûå ñèñòåìû ðåøåíèé çàäà÷è ÊîøèÐàçëîæèìPN (τ ) = (τ − τN )...(τ − τ1 ),ãäå τi , i = 1...N - êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà (ìîãóòáûòü è êðàòíûå) (3),(ddd− τN )...( − τ2 )( − τ1 )x = 0.dtdtdtÑâåäåì ýòî óðàâíåíèå ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (íå òàê,êàê ⠟3):Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:y 1 = x = P0 (y2 = (d)x,dtP0 (d) = 1,dtdddd− τ2 )y1 = P1 ( )x, P1 ( ) =− τ1 ,dtdtdtdt...ddyN = ( − τN−1 )yN−1 = PN−1 ( )x,dtdtÔóíäàìåíòàëüíûå ñèñòåìû ðåøåíèé çàäà÷è ÊîøèN−1Y ddPN−1 ( ) =( − τi ),dtdti=1ïðè÷åì óðàâíåíèå (1) ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ äëÿ yN :(d= τN ) = 0.dt èòîãå äëÿ âåêòîðà y : 1y1 −τ1  y =  ...  = ...yNN−1(−1)01τ1 . .

.......τN−1x= T  ... x (N−1)x0x...00 ·=  (N−2) x1(N−1)xÔóíäàìåíòàëüíûå ñèñòåìû ðåøåíèé çàäà÷è Êîøèìû ïîëó÷àåì âåêòîðíóþ ñèñòåìó:dy = Ay ,dtτ1 1τ2A=0 ...0 ...1......0...1τN.τN−1 Ÿ5 ìû óæå ðàçîáðàëè âîïðîñ î íàõîæäåíèè ìàòðè÷íîéýêñïîíåíòû îò òàêîé ìàòðèöû. Ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà â ýòîìñëó÷àå èìååò âèä âåðõíåé òðåóãîëüíîé ìàòðèöû:e tAy11 y12 0 y22 = Y (t) = yij (t) =  0 ...0 ............yN−1,N−1y1Ny2N ,yN−1,N yNNÔóíäàìåíòàëüíûå ñèñòåìû ðåøåíèé çàäà÷è Êîøèi, j = 1,...,N , ãäå τ Rt e i · 0 yi+1,j (s) · e τi s ds,yij (t) =e τi t , i = j,0,i > j.i < j,Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýëåìåíòû ïåðâîé ñòðîêè ìàòðèöû e tA :x(t) = y11 (t), ...

, xN (t) = y1N (t)(7)ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì íàøåãî óðàâíåíèÿ, òî åñòüPN (ddd)y1k (t) = ( − τN )...( − τ1 )y1k (t) = 0.dtdtdtÏîêàæåì òåïåðü, ÷òî âðîíñêèàíx1... ..W (t) = det  .x1(N−1) . . .xN.. 6 0,. =xN(N−1)Ôóíäàìåíòàëüíûå ñèñòåìû ðåøåíèé çàäà÷è Êîøèòî åñòü (7) ñîñòàâëÿþò ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèéóðàâíåíèÿ (1). ñàìîì äåëå, ïîñêîëüêóxky1k y [k] (t) =  ...  = T  ...  , òîyN kxk(N−1)Y (t) = T · Φ(t) èdetY (t) = e Tr (A)t = detT · detΦ(t) = detΦ(t) 6= 0,÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ñêîíñòðóèðîâîííîé ôóíäàìåíàëüíîé ñèñòåìîé ðåøåíèé (1),íåïðåðûâíî çàâèñÿùåé îò τ1 , τ2 , ..., τN , óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ âòåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ.

Ïðè ðåøåíèè æå óðàâíåíèÿ (1)íåâûñîêîãî ïîðÿäêà óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ïðîñòåéøèìèôóíäàìåíòàëüíûìè ñèñòåìàìè ðåøåíèé, ðàññìîòðåííûìè âíà÷àëå ïàðàãðàôà.Ôóíäàìåíòàëüíûå ñèñòåìû ðåøåíèé çàäà÷è ÊîøèÍàêîíåö, åñëè êîýôôèöèåíòû A â ñèñòåìåy = Ayêîìïëåêñíûå, òî åñòü A = B + iC , òîd(u + iv ) = (B + iC )(u + iv ),dtýêâèâàëåíòíîddt uB=vC−CBy = u + iv uvñèñòåìå ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè.Ÿ8.Ñèñòåìà íåîäíîðîäíûõ ëèíåéíûõóðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè.Òåîðåìà î íåïðåðûâíîé çàâèñè-ìîñòè ðåøåíèÿ îò ïàðàìåòðàÐàññìàòðèâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ çàäà÷à Êîøè:(0y = Ay + f (t),y(0) = y0 ∈ C Nt ∈ [−T, T ], 0 < T < ∞,(èëè RN ).(1)Çäåñüf (t) = f1(t)..fN (t)−âåêòîð-ôóíêöèÿ ïðàâûõ ÷àñòåé, fi(t), i =1,...N - íåïðåðûâíûå ôóíêöèè îò t íà [−T, T ],A - êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà N ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè,y = y(t) = y1(t)..yN (t)-âåêòîð èñêîìûõ ôóíêöèé,y0 = y10(t)..yN 0(t)-âåêòîð íà÷àëüíûõ äàííûõ.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäà÷à Êîøè (1) èìååòíà [−T, T ] íåïðåðûâíîå è íåïðåðûâíî - äèôôåðåíöèðóåìîå ðåøåíèå y = y(t).Óìíîæèì ñèñòåìó (1) ñëåâà íà e−tA:0e−tAy = e−tAAy + e−tAf (t).Òàê êàêe−tAA = Ae−tA,è0(e−tA) = −A(e−tA),òî00−tA−tA−tAey −eAy = {ey} = e−tAf (t).ÒîãäàZ td0Èëèds{e−sAy(s)}ds =Z te−sAf (s)ds.0e−tAy(t) − e−0·ty(0) =Z te−sAf (s)ds.0Äàëååy(t) = etAy0 +Z t0e(t−s)Af (s)ds.(2)Èòàê, åñëè ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1) ñóùåñòâóåò, òî îíî îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (2).Îáðàòíî, íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ëåãêî óñòàíîâèòü, ÷òî âåêòîð - ôóíêöèÿy = y(t), çàäàâàåìàÿ ôîðìóëîé (2), óäîâëå0òâîðÿåò óðàâíåíèÿì y = Ay + f (t) è y(0) =y0.Äîêàæåì åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ (2) çàäà÷è Êîøè (1).Îò ïðîòèâíîãî: ïóñòüdy I.II dt = Ay I,II + f (t), y I,II (0) = y .t ∈ [−T, T ],0Òîãäà äëÿy = y I (t) − y II (t)(0y = Ay, t ∈ [−T, T ],y(0) = y0,ðåøåíèåì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ y(t), ñïðàâåäëèâî, ÷òî y(t) ≡ 0, òî åñòü yI (t) ≡ yII (t) íà[−T, T ].Ñ ïîìîùüþ (2) ïîëó÷èì è "àïðèîðíóþ" îöåíêó äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (2).Èç (2) ñëåäóåò:||y(t)|| = ||etAy0+Z te(t−s)Af (s)ds|| ≤ ||etA||·||y0||+0+||Z te(t−s)Af (s)ds|| ≤ e|t|·||A||||y0||+0Z t(t−s)A||e|| · ||f (s)||ds ≤ e|t|·||A||||y0||++0Z t|t−s|·||A||+eds · M0 =0e|t|·||A|| − 1|t|·||A||=e||y0|| + M0,||A||ãäåM0 =max ||f (s)||.s∈[−T,T ]Òî åñòüe|t|·||A||||y(t)|| ≤ e||y0|| + M0|t|·||A|| − 1||A||.(3)Çàìåòèì, ÷òî (3) ñïðàâåäëèâî è ïðè A = 0,|t|·||A||ïðè ýòîì e ||A||−1 íóæíî çàìåíèòü íà |t| (ñì.óïðàæíåíèå 2 ê ýòîìó ïàðàãðàôó).Íåðàâåíñòâî (3) ìîæíî îãðóáèòü òàê:||y(t)|| ≤ C1(T, M ),(3 )0ãäåC1(T, M ) = (1 + M )eT M − 1,M = max(M0, ||y0||, ||A||).Ïðè âûâîäåâåíñòâîì:0(3 )ìû âîñïîëüçîâàëèñü íåðà-e|t|·||A||| − 1eT M − 1≤||A||Mïðè|t| ≤ T , ||A|| ≤ M(óïðàæíåíèå 3 ê Ÿ8).Çàìå÷àíèå.Åñëè íà÷àëüíûå äàííûå â (1) çàäàþòñÿ ïðèt = t0, t0 ∈ (−T, T ),ïèøóòñÿ òàê:òî îöåíêè (3), (3 ) ïåðå0|t−t0 |·||A|| − 1e||y(t)|| ≤ e|t−t0|·||A||||y0|| + M0||A||(4)è||y(t)|| ≤ C2(T, M ),ãäå(4 )0C2(T, M ) = (1 + M )e2T M − 1.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû èìååì äâå çàäà÷è Êîøè: ñ yI è yII .Ïóñòü4(t) = y I (t) − y II (t),ω(t) = f I (t) − f II (t),δ = y0I (t) − y0II (t),Λ = AI − AII ,4y II = y II (tI ) − y II (tII ),0(y I − y II ) = AI y I − AI y II + AI y II − AII y II .Òîãäà(04 (t) = AI 4(t) + Λy II (t) + ω(t), t ∈ [−T, T ],4(tI ) = −4y II + δ, tI,II ∈ (−T, T ).È èñïîëüçóÿ îöåíêè (4),(4 ),0||4(t)|| ≤ e2T ·||A||||4(tI )|| +nïîëó÷àåìmax ||ω(s)||+s∈[−T,T ]o e2T ||AI || − 1+||Λ|| · max ||y II (s) ·s∈[−T,T ]||AI ||≤non2TMII≤e· ||4y || + ||δ|| + max ||ω(s)||+s∈[−T,T ]+C2(T, M ) · ||Λ||ãäåM = maxo e2T M − 1MM0I,II , ||y0I,II ||, ||AI,II ||,.×òîáû çàâåðøèòü âûâîä íóæíîé îöåíêè, íàìîñòàëîñü òîëüêî îöåíèòü àãðåãàò ||4yII ||.Ïîñêîëüêó4y II =òîZ tIdtII dsy II (s)ds =Z tItII{AII y II (s)+f II (s)}ds, Z tIII{M C2(T, M ) + M }ds =||4y || ≤ tII= C3(t, M ) · |tI − tII |.Èòàê, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì:||4(t)|| = ||y I (t) − y II (t)|| ≤ K(T, M ) · {|tI − tII |++||y0I −y0II ||+||AI −AII ||+ max ||f I (s)−f II (s)||}.s∈[−T,T ]Çäåñü(5)nK(T, M ) = max e2T M , e2T M C3(T, M ),e2T M − 1 e2T M − 1 oC2(T, M ),.MMÑëåäîâàòåëüíî, ìû ïîêàçàëè, ÷òî ðåøåíèåçàäà÷è Êîøè (1) íåïðåðûâíî çàâèñèò îò íà÷àëüíûõ äàííûõ, êîýôôèöèåíòîâ ìàòðèöûA,ïðàâîé ÷àñòè, â òîì ñìûñëå, ÷òî ìàëîåèçìåíåíèå ïîñëåäíèõ âåäåò ê ìàëîìó èçìåíåíèþ ñàìîãî ðåøåíèÿ ⇒ òåîðåìà î íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøèîò ïàðàìåòðà, âõîäÿùåãî â êîýôôèöèåíòûìàòðèöû A, ïðàâóþ ÷àñòü, íà÷àëüíûå äàííûå.Èòàê, ïóñòü ìû èìååì ñëåäóþùóþ çàäà÷óÊîøè:0y = A(µ)y + f (t, µ), t ∈ [−T, T ], µ ∈ [−L, L],0 < T, L < ∞,(6)y(t0) = y0(µ), t0 = t0(µ), t0 ∈ (−T, T ), µ ∈ [−L, L].Äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî1.f (t, µ) - íåïðåðûâíàÿâåêòîð - ôóíêöèÿ âîáëàñòè Ω̄ = {(t, µ) |t| ≤ T, |µ| ≤ L}.2.Ìàòðèöà A(µ) èìååò íåïðåðûâíûå ïî µ êîýôôèöèåíòû íà [−L, L].3.Ôóíêöèÿ t0 = t0(µ) íåïðåðûâíà ïî µ íà[−L, L].4.Âåêòîð y0(µ) èìååò íåïðåðûâíûå ïî µ êîìïîíåíòû íà [−L, L].Ñ ó÷åòîì 1-4 ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè ω(ξ), òî åñòüòàêàÿ ôóíêöèÿ, ÷òî ω(ξ) > 0 ïðè ξ > 0,ω(ξ) → +0 ïðè ξ → +0 è||f (t, µ1) − f (t, µ2)|| ≤ ω(|µ1 − µ2|),||y0(µ1) − y0(µ2)|| ≤ ω(|µ1 − µ2|),||t0(µ1) − t0(µ2)|| ≤ ω(|µ1 − µ2|),âåçäå µ ∈ [−L, L].Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿM , òàêàÿ ÷òî||A(µ1)−A(µ2)|| ≤ ω(|µ1−µ2|),||A(µ)||, ||y0(µ)||, ||f (t, µ)|| ≤ M,µ ∈ [−L, L],t ∈ [−T, T ].Áîëåå òîãî, îáîçíà÷àÿ ÷åðåçy I (t) = y(t, µ1),y II = y(t, µ2),AI = A(µ1),AII = A(µ2),y0I = y0(µ1),y0II = y0(µ2),tI = t0(µ1),tII = t0(µ2),ìû ïðèõîäèì ê ñèòóàöèè, îïèñàííîé âûøåè, ñëåäîâàòåëüíî, âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì (5), êîòîðîå ìû ïåðåïèøåì òàê:||y(t, µ1)−y(t, µ2)|| ≤ max ||y(t, µ1)−y(t, µ2)|| ≤t∈[−T,T ]≤ K(T, M )·{|t0(µ1)−t0(µ2)|+||y0(µ1)−y0(µ2)||++||A(µ1)−A(µ2||+ max ||f (s, µ1)−f (s, µ2)||} ≤s∈[−T,T ]≤ 4K(T, M )ω(|µ1 − µ2|).Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (6) íåïðåðûâíî çàâèñèò îò µ ïðè óñëîâèè, ÷òî âûïîëíåíû 1-4.(ñóòü òåîðåìû î íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòèîò ïàðàìåòðà µ).Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ïîñêîëüêó||y(t1, µ) − y(t2, µ)|| ≤ C3(T, M ) · |t1 − t2| ≤≤ K(T, M ) · |t1 − t2|ïðè t1,2 ∈ [−T, T ], µ ∈ [−L, L], òî ñïðàâåäëèâàè áîëåå îáùàÿ îöåíêà:||y(t1, µ1)−y(t2, µ2)|| ≤ K(T, M ){|t1−t2|+4ω(|µ1−µ2|)},t1,2 ∈ [−T, T ],µ1,2 ∈ [−L, L].Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ïîêàçûâàåò, ÷òî âåêòîð - ôóíêöèÿ y = y(t, µ), ÿâëÿþùàÿñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè (6), ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé ïî t, µ â Ω̄.Òàê êàêdy(t, µ) = A(µ)y(t, µ) + f (t, µ),dt0òî yt(t, µ) òîæå íåïðåðûâíà ïî ñîïîêóïíîñòèïåðåìåííûõ â Ω̄.Íàêîíåö, âñå âûøåïåðå÷èñëåííîå ïî÷òè äîñëîâíî ìîæíî ïîâòîðèòü è äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà µ - âåêòîðíûé ïàðàìåòð, òî åñòü µ =(µ1, ..., µm).Óïðàæíåíèÿ.1.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
5,03 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее