Главная » Просмотр файлов » 1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930

1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 6

Файл №826746 1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (2018- Слайды Ткачев) 6 страница1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746) страница 62021-01-26СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Ÿ3) ñëåäóåò:deteòî åñòüe tAtA= e Tr (A)t 6= 0 ∀t ∈ R 1 ,- íåâûðîæäåííàÿ è ïîýòîìó(∃(e tA )−1 ,d(e tA )−1tA −1dt = −(e ) −1 · A,tA−1 (e ) t=0 = (IN ) = IN .t ∈ R 1,ïðè÷åì0(9 )Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà òî æå âðåìÿ èç (13) ñëåäóåò0A(e tA )−1 = (e tA )−1 A,òî åñòü ñèëó(13 )(e tA )−1 ïåðåñòàíîâî÷íà ñ A.00(13 ) çàäà÷à Êîøè (9 ) ïåðåïèøåòñÿ òàê:(d(e tA )−1tA −11dt = −A(e ) , t ∈ R ,tA−1 (e ) t=0 = IN .Íî çàäà÷à Êîøèìàòðèöåé00(9 )00(9 )ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî çàäà÷åé Êîøè (8) ñ−A:0Y (t) = −AY (t),Y (0) = IN ,t ∈ R 1;00(8 )òî åñòü (ñì. (11)):Y (t) = e−tA=∞Xk=0k(−1)·tkk!Ak .Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòàÈòàê, ìû äîêàçàëè çàìå÷àòåëüíóþ ôîðìóëó:(e tA )−1 = e −tA .(14)Ïðèìåð.Ìàòðèöà 2teY (t) =e 2tet0,detY (t)= −e 3t 6= 0,ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöåé ðåøåíèé çàäà÷è Êîøèäëÿ ñèñòåìû 0yy = 1 = Ay ,y20ÌàòðèöàY (t)2e2t2e2tet0=10A=1102 2te2e 2t1et0,.0Y = AY .Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòàóäîâëåòâîðÿåò ìàòðè÷íîé ñèñòåìåÎáðàòíàÿ ìàòðèöàY−1=e −2te −t0e −tóäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå0(Y −1 ) = −Y −1 A.e tA(0):Ìàòðèöà−1B=YetAY (t)óìíîæåíèåì ñëåâà íà011−1ïîëó÷àåòñÿ èç 2te=e 2tet0Ðàíåå ìû äîêàçàëè, ÷òî= te(e tA )−1 = e −tA0èe 2t − e te 2t.||e tA || ≤ e |t|·||A||(ñì.(11), (14)).Ñëåäîâàòåëüíî:||e −tA || ≤ e |t|·||−A|| = e |t|·||A|| .Äàëåå, òàê êàêe tA · e −tA = IN||e tA || ≥è1||IN || = 1 ≤ ||e tA || · ||e −tA ||,òî≥ e −|t|·||A|| .Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà||e −tA ||Èòàê, èìååì:e −|t|·||A|| ≤ ||e tA || ≤ e |t|·||A|| .(15)Çàìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèè, âîîáùåãîâîðÿ,e t(A+B) 6= e tA · e tB .Ïðèìåð.A=1002,B=etA0100=eèet0A+B =,02tet(A+B)=, te0etB1102=.1t01e 2t − e te 2t,e t(A+B) 6= e tA e tB .Óïðàæíåíèÿ1.||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||.Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà2.Çàäà÷àdZ (s)ds= −Z (s) · A,Z (t) = IN ,0≤ s < t,íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííîé ïî îòíîøåíèþ ê çàäà÷åÏîêàæèòå, ÷òîdY (t)dt= AY (t),Y (0) = IN .t > 0,Z (s) = Y (t) · Y −1 (s).3.

Ïîêàçàòü, ÷òîe t(A+B) = e tA · e tB⇔AB = BA.4.ÅñëèP(A) = Pk Ak + ... + P1 A + P0 ,Q(A) = Ql Al + ... + Q1 A + Q0 ,ïîëèíîìû îòAñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöåíòàìèe t(P+Q) = e tP · e tQ .Pi , Q j ,òîŸ5. Âû÷èñëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû äëÿ íåêîòîðûõñïåöèàëüíûõ ìàòðèöÍà÷íåì ñî ñëó÷àÿ, êîãäàA- äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, òî åñòüτ1A = diag(τ1 , ... , τN ) = 0....0τNÏîñêîëüêó (ñì. Ÿ4)etA=∞ kXtk=0òî äëÿ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöûAk!Ak ,(1)ïîëó÷àåì:∞ k∞ kXXt kt ke tA = diag(τ1 , ... ,τN ) = (e tτ1 , ... , e tτN ).k=0k!k=0k!Áåç òðóäà ìîæíî âû÷èñëèòü ìàòðè÷íóþ ýêñïîíåíòóe tAìàòðèö, êîòîðûå ïðèâîäÿòñÿ ê äèàãîíàëüíîé ôîðìå.Ïðèìåðû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûäëÿ òåõÒàêèìè ìàòðèöàìè ÿâëÿþòñÿ:à) ýðìèòîâû ìàòðèöûìàòðèöàU = U(A)A,òî åñòüA∗ = A.Òîãäà∃óíèòàðíàÿ(ñì.

Ÿ1), òàêàÿ ÷òîA = U ∗ · diag(τ1 , ... , τN ) · U,τi = τi (A), i = 1,...,N- ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿá) íîðìàëüíûå ìàòðèöû ýòîì ñëó÷àå òîæå∃ïðèâîäÿùàÿ ìàòðèöóA,óíèòàðíàÿAA;AA∗ = A∗ A.ìàòðèöà U = U(A),òî åñòüê äèàãîíàëüíîìó âèäó:A = U ∗ · diag(τ1 , ... , τN ) · U,â) ìàòðèöûA,èìåþùèå ïðîñòîé ñïåêòð, òî åñòü íåêðàòíûåñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ τi = τi (A),∃T (A), detT 6= 0, òàêàÿ ÷òîi = 1,...,N . ýòîì ñëó÷àåA = T −1 · diag(τ1 , ...

, τN ) · T .Âî âñåõ ýòèõ ñëó÷àÿõ(e tA )0=Ae tA èëèe tAâû÷èñëÿåòñÿ òàê: òàê êàê0(e tA ) = U ∗ DUe tAÏðèìåðû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû0(e tA ) = T −1 DTe tA ,ãäåD = diag(τ1 , ... , τN ), òî åñòü ìàòðèöàZ (t) = Ue tA U ∗ (Z (t) = Te tA T −1 ) óäîâëåòâîðÿåòñëåäóþùåéçàäà÷å Êîøè:0Z (t) = DZ (t),Z (0) = IN .t ∈ R 1,Çíà÷èò (ñì. Ÿ4),Z (t) = e τ D = diag(e τ1 t , ... , e τN t )èe tA = U ∗ e tD U (T −1 e tD T ),÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìàòðèö äåëî îáñòîèò íåñêîëüêî ñëîæíåå.

Âòåîðèè ìàòðèöÒåîðåìà Øóðà∃îäíà âåñüìà ïîëåçíàÿ òåîðåìà, à èìåííîÏðèìåðû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûÅñëè äàíà ìàòðèöàA,∃òîóíèòàðíàÿ ìàòèöàU = U(A),ïðèâîäÿùàÿ A ê âåðõíåìó òðåóãîëüíîìó âèäó:A = U ∗ ∇U,ãäåτ1 p12 0 τ2∇=0 ...0pij , i = 1,...,N−1, j = 2,...,N0.........τN−1...0p1Np2N ,pN−1,N τN- íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå.Èìåÿ â âèäó òåîðåìó Øóðà, ìîæíî ñðàçó ñ÷èòàòü, ÷òî âñèñòåìå0y = AyìàòðèöàA- âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ, èáî åñëèýòî íå òàê, òî äåëàÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ z = Uy ïîëó÷àåì000y = Ay = U ∗ ∇Uy ⇒ Uy = ∇Uy ⇒ z = ∇z .Èòàê, âû÷èñëèì e tA , êîãäà A = ∇ - âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿìàòðèöà.Ïðèìåðû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûÄëÿ ýòîãî íàì ïîíàäîáèòñÿ ôîðìóëà, äàþùàÿ ðåøåíèå çàäà÷èÊîøè äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà (ñì.

Ÿ1):ãäåa0y = ay + f (t), t ∈ R 1 ;y (0) = y0 , y0 ∈ R 1 (C 1 ),(2)- íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ýòà ôîðìóëà ëåãêî ìîæåò áûòüíàéäåíà.  ñàìîì äåëå, òàê êàêd −at{e y (t)} = e −at f (t),dty (t) = e at y0 =Ýëåìåíòûk -îãîZòîte a(t−s) f (s)ds.(3)0ñòîëáöà ìàòðèöûe tAíàõîäÿòñÿ êàê ðåøåíèåÏðèìåðû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûâåêòîðíîé ñèñòåìû ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè íà÷àëüíûìè äàííûìè:0[k]1(y [k] (t)) = ∇y (t), t ∈ R ,0. ..

1y [k] (0) =  ← koe ,0...ãäå y [k] (t)y1k (t) .. =  . ,yN k (t)èëè, â ïîêîìïîíåíòíîé çàïèñè: 0Py1k (t) = τ1 y1k (t) + Ni=2 p1i yik (t), y1k (0) = 0; 0Py2k (t) = τ2 y2k (t) + Ni=3 p2i yik (t), y2k (0) = 0;...P 0ykk (t) = τk ykk (t) + Ni=k+1 pki yik (t), ykk (0) = 1,Ïðèìåðû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû(4)PN 0y(t)=τy(t)+k+1k+1,ki=k+2 pk+1,i yik (t),k+1,kyk+1,k (0) = 0; ...0yN−1,k (t) = τN−1 yN−1,k (t) + pN−1,N yN ,k (t),y 1,k (0) = 0; N−0yN ,k (t) = τN yN ,k (t), yN ,k (0) = 0.(5)Çàäà÷ó Êîøè ìû ðàçáèëè íà äâå ïîäçàäà÷è.

ßñíî, ÷òî çàäà÷à(5) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýëåìåíòîâñòîëáöà ìàòðèöûY (t) = e tAyk+1,k (t), ... , yN ,k (t) k -îãîìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ îòäåëüíî,è ïîñêîëüêó íà÷àëüíûå äàííûå íóëåâûå, òî â ñèëó òåîðåìûåäèíñòâåííîñòè (ñì. Ÿ2):yi,k (t) ≡ 0,Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöài = k + 1, ... ,N .Y (t) = e tA(6)òîæå âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ,Ïðèìåðû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûêàê è ìàòðèöàA:Y (t) = e tAy11 y12 0 y22= 0 .....0...0.......yN−1,N−1y1Ny2N .yN−1,N yN,NÏîäçàäà÷à (4) ñ ó÷åòîì (6) ïåðåïèøåòñÿ òàê: 0Pk y1k (t) = τ1 y1k (t) + i=2 p1i yik (t),...0ykk (t) = τk ykk (t),y1k (0) = 0;0(4 )ykk (0) = 1.Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (3) ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùèåðåêêóðåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýëåìåíòîâj = 1, ... k k -îãî ñòîëáöà ìàòðèöû e tA :R t Pk yjk (t) = e τj t 0 { i=j+1 pji yik (s)}e −τj s ds,j = 1, ... k − 1;ykk (t) = e τk t .Ïðèìåðû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûyjk (t),(7) êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäàk = 1, ...

N−1,à âñå îñòàëüíûåpk,k+1 = 1,pij = 0. ýòîì ñëó÷àå ñîîòíîøåíèÿ (7) ñèëüíî óïðîùàþòñÿ:Rt yjk (t) = e τj t 0 yj+1,k (s)e −τj s ds,j = 1, ..., k − 1;ykk (t) = e τk t . êà÷åñòâå äðóãîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà τj =0j = l, ..., k , l ≥ 1. Òîãäà èç ïîäçàäà÷è (4 ) ìîæíî âûäåëèòü0(7 )τ,çàäà÷ó äëÿ íàõîæäåíèÿ ýëåìåíòîâyl,k (t), yl+1,k (t), ... , ykk (t)k -îãî ñòîëáöà ìàòðèöû e tA (ïî-ïðåæíåìó, ñ÷èòàåì, ÷òîpk,k+1 = 1, k = 1,...,N−1, pij = 0 - âñå îñòàëüíûå): 0ylk (t) = τ ylk (t) + yl+1,k (t), ..ylk (0) = 0,.0yk−1,k (t) = τ yk−1,k (t) + ykk (t), 0ykk (t) = τ ykk (t), ykk (0) = 1.00yk−1,k (0) = 0,Ïðèìåðû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû(4 )Ïðèìåíÿÿ ê (400)0ôîðìóëó (7 ), ìû ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì:ykk (t) = e τ t , yk−1,k (t) =t1!e τ t , ... , ylk (t) =t k−l(k−l)!eτt .Ñëåäñòâèåì ýòèõ ïðèìåðîâ ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî ìàòðè÷íàÿýêñïîíåíòàe tA ,ãäåA- æîðäàíîâà êëåòêàτA=0..0010.............0,1τíàõîäèòñÿ òàê:etA τte=0t1! e..τt...t N−1 τ t(N−1)! e........eτtÏðèìåðû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûÂåðíåìñÿ âíîâü ê îáùåìó ñëó÷àþ è ïîëó÷èì èç (7) íåêîòîðûåïîëåçíûå íåðàâåíñòâà. ñàìîì äåëå, èç (7) ñëåäóåò:RtPk |yjk (t)| ≤ i=j+1 |pji | · 0 |yik (s)| · |e τj (t−s) |ds,j = 1, ...

, k − 1,|ykk (t)| ≤ |e τk t |.(8)Äëÿ óïðîùåíèÿ íåðàâåíñòâ (8) äîêàæåì ñëåäóþùèé ôàêò: äëÿëþáîé ìàòðèöûB = (bij ), i, j = 1,...,Nèìååì:|bij | ≤ ||B||.(9)Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì âåêòîðy = Bx, y1 .. y =  . ,yN x1 .. x =  . ,xNïðè÷åìyi =NXj=1bij xj ,i = 1,...,N .Ïðèìåðû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûÒîãäà|yi | ≤ ||y || = ||Bx|| ≤ ||B|| · ||x||. 0Ïóñòü .. . x =1 ← j0 . .. .Ñëåäîâàòåëüíî,||x|| = 1èyi = bij0 ,0j0 = 1,...,N .Ïîýòîìó|bij0 | ≤ ||B||,i, j0 = 1,...,N ,÷òî è òðåáîâàëîñü.Ñ ó÷åòîì (9) èç (8) ïîëó÷àåì:RtPk |yjk ≤ ||A|| i=j+1 0 |yik (s)|e Λ(t−s) ds,j = 1, ..., k − 1,|ykk (t)| < e Λt .Ïðèìåðû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû0(8 )0Ïðè âûâîäå (8)ìû ïîëàãàëè, ÷òîτj = Reτj + Imτj ,èReτj ≤ Λ,ãäåΛ- íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.j = 1,...,NŸ6. Êàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûÎáùèå ðàññóæäåíèÿ îòíîñèòåëüíî âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷íîéýêñïîíåíòû e tA , òî åñòü óíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû ðåøåíèéçàäà÷è Êîøè ′1y = Ay ,t ∈ R ;(1)y (0) = y0 .Èç òåîðèè ìàòðèö èçâåñòíî, ÷òî ëþáàÿ ìàòðèöà A ìîæåò áûòüïðèâåäåíà ê êàíîíè÷åñêîé îðìå Æîðäàíà ñ ïîìîùüþíåêîòîðîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû T = T (A), detT 6= 0:A= T −1 · A0 · T .(2) ïðåäñòàâëåíèè (2) ìàòðèöà A0 - êëåòî÷íîäèàãîíàëüíàÿ, óêîòîðîé íà äèàãîíàëè ñòîÿò ñòàíäàðòíûå æîðäàíîâû ÿùèêè.Ïðè ïðèâåäåíèè ìàòðèöû A ê æîðäàíîâîé îðìå A0 ìàòðèöàïåðåõîäà T îïðåäåëÿåòñÿ íå åäèíñòâåííûì îáðàçîì.Áîëåå òîãî, ñàì êàíîíè÷åñêèé âèä íå çàâèñèò íåïðåðûâíî îò AÏîñëåäíåå îçíà÷àåò âîò ÷òî: âîçüìåì â ïðåäñòàâëåíèè (2) â.Êàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûêà÷åñòâå ïðèìåðà ñëåäóþùóþ ìàòðèöóA0τ1 0=0A00τ20......τ3 1 00 τ3 10 0 τ3τ4 10 τ40...τ5(3)è ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå, çàâèñÿùåå îò ïàðàìåòðà ξ ñåìåéñòâîìàòðèöA+ ξ B = T −1 A0 T + ξ T −1 τ10..0.τ8=Êàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûτ1 + ξτ2 + 2ξ−1 =T ...τ7 + 7ξτ 8 + 8ξT.Ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ξ ìîæíî ñäåëàòü âñå ñîáñòâåííûåçíà÷åíèÿ ìàòðèöû A + ξ · B ðàçëè÷íûìè è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðèξ 6= 0 è äîñòàòî÷íî ìàëîì ξ ìàòðèöà A + ξ B äîëæíàïðèâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó æîðäàíîâó âèäó:A+ ξ B = T̃ −1 diag(τ1 + ξ, ...

, τ8 + 8ξ)T̃ ,òî åñòü íàëèöî îòñóòñòâèå íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ïðèïðèâåäåíèè ìàòðèö ê æîðäàíîâîé îðìå.Òåì íå ìåíåå, åñëè ìàòðèöà A ïðèâåäåíà ê æîðäàíîâîé îðìåtA âû÷èñëÿåòñÿ òàê (ñì. Ÿ5):A0 , òî ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà eetA = T −1 e tA0 T ,Êàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûïðè÷åì e tA0 - áëî÷íîäèàãîíàëüíàÿ è ïî äèàãîíàëè ñòîÿòáëîêè, ÿâëÿþùèåñÿ ìàòðè÷íûìè ýêñïîíåíòàìè îò æîðäàíîâûõÿùèêîâ.Äîêàçàòåëüñòâî ïîñëåäíåãî àêòà î÷åâèäíî, òàê êàê åñëè(k ) ( 1),A0 = blok diag A0 , ...

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
5,03 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6489
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее