1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

+ Ak y0 + ... =Ak y0 .1k!k!(7), (8)k=0è ðÿä (7) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [−T , T ], T > 0.Ïîñëåäíåå âåðíî, òàê êàê||tk k|t k |(|t| · ||A||)kA y0 || ≤· ||y0 || · ||A||k =||y0 || ≤k!k!k!(T · ||A||)k≤||y0 || → 0 ïðè k → ∞.k!∀T > 0 è y0 ∈ R N (èëè C N ).Çàìå÷àíèå 1. Íà ñàìîì äåëå ïðè îáîñíîâàíèè (7) òðåáóåòñÿîöåíèòü îñòàòî÷íûé ÷ëåí ôîðìóëû Òåéëîðà (Ñ.Ê. Ãîäóíîâ"Î.Ä.Ó. ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöåíòàìè, êðàåâûå çàäà÷è, 1994).Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è ÊîøèIII) Íà âòîðîì ýòàïå ìû ïîëó÷èëè òîëüêî ôîðìàëüíîå ðåøåíèåçàäà÷è Êîøè (7), òàê êàê(P0t k−1ky (t) = ∞k=1 (k−1)! A y0 = Ay (t),y (0) = A0 y0 = y0∀y0Ptk kÒàêèì îáðàçîì, y = y (t) (= ∞k=1 k! A y0 )íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìàÿ âåêòîð ôóíêöèÿ, ïðè÷åì0y (t) = Ay (t), t ∈ R 1 .Òàêèì îáðàçîì, èíòåðåñóþùåå íàñ ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (2)îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (8).  ñèëó òåîðåìû åäèíñòâåííîñòèîíî îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî.IV) Äîêàæåì òåïåðü íåïðåðûâíóþ çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ (8)çàäà÷è Êîøè (2) îò íà÷àëüíûõ äàííûõ y0 ∈ R N (èëè C N ). ñàìîì äåëå, ïóñòü y = y I ,II = y I ,II (t) - ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè(2), îòâå÷àþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿìÐàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøèy I ,II (0) = y0I ,II .4 = 4(t) = y I (t) − y II (t),40 = 4(0) = y0I − y0II .Î÷åâèäíî, ÷òî 04 = A4, t ∈ R 1 ,4(0) = 40 .(9)Ðàññìàòðèâàÿ ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (9) íà ëþáîì èíòåðâàëå(−T , T ), T > 0, ìû äëÿ âåêòîð-ôóíêöèè 4 = 4(t) èìååì||4(t)||2 ≤ e M·|t| ||40 ||2 ≤ e M·T ||40 ||2 .(10)Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε, T ) > 0 òàêîå, ÷òî åñëè||40 || ≤ δ , òî ||4(t)|| ≤ ε íà (−T , T ), ïðè÷åì δ = e 0.5εM·T (ò.å.δ = δ(ε, T )), ÷òî è íóæíî.Ðàññìîòðèì âíîâü ïðèìåð 2 (ôîðìóëà (8)) èç Ÿ1:0y = Ay , y0 −1ãäå y = 1 , A =.y21 0Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè(11)Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ýòîé ñèñòåìûâîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (8).Çàìåòèì, ÷òî ïðè k = 0, 1, ...I2 , åñëè k = 2m, m - ÷åòíîå èëè 0,−I2 , åñëè k = 2m, m - íå÷åòíîå,Ak = A, åñëè k = 2m + 1, m - ÷åòíîå èëè 0,−A, åñëè k = 2m, m - íå÷åòíîå.Òîãäày = y (t) =∞ kXtk=0m t 2mm=0 (−1) (2m)!Pm t 2m+1− ∞m=0 (−1) (2m+1)!P∞=k!tt2t3Ak y0 = {I2 + A − I2 − A + ...}y0 ==costsin t1−2!3!m t 2m+1m=0 (−1) (2m+1)!P∞m t 2mm=0 (−1) (2m)!P∞!y0 =−sintcost · y10− sint · y2y0 ==costsint · y10 −cost · y20Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè= y10cost−sint+ y20.costsint yÇäåñü y0 = 10 - âåêòîð íà÷àëüíûõ äàííûõ.y20Çàìåòèì òàêæå, ÷òî âåêòîðû cost−sint[1][2]y =,y =sintcostóäîâëåòâîðÿþò âåêòîðíîé ñèñòåìå (11).Ÿ3.

Ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííûìèêîýèöèåíòàìè è îäíîãî óðàâíåíèÿ ïðîèçâîëüíîãîïîðÿäêà. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé èîïðåäåëèòåëü åå ìàòðèöû ïðåäûäóùåì ïàðàãðàå óñòàíîâëåíî, ÷òî çàäà÷à Êîøèy ′ = Ay , t ∈ R ;y (0) = y0 , y0 ∈ R N (C N )èìååò åäèíñòâåííîå íåïðåðûâíîå èíåïðåðûâíî-äèåðåíöèðóåìîå ðåøåíèåîïðåäåëÿåòñÿ òàê:y = y (t ) =∞ kXtk =0(1)y = y (t ), êîòîðîå∞ kXt kkA y0 = (A ) · y0 .k!k!k =0(2)Òàê êàê ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿíà÷àëüíûì âåêòîðîì y0 , òî, ñëåäîâàòåëüíî, ìû èìååìîäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó âåêòîðàìè y (t ), t ∈ R 1 è y0 .Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíè頟2 ìû óæå íåîäíîêðàòíî èñïîëüçîâàëè òîò àêò, ÷òî′àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà äâóõ ðåøåíèé ñèñòåìû y = Ay ñíîâàÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì. ñàìîì äåëå, ïóñòü y = y [1],[2] (t ) äâà ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè(1), îòâå÷àþùèå ñëåäóþùèì íà÷àëüíûì äàííûì:y [1],[2] (0) = y0[1],[2] .Òîãäà{αy [1] (t ) + β y [2] (t )} = αA · y [1] (t ) + β A · y [2] (t ) =′= A{α · y [1] (t ) + β y [2] (t )},òî åñòü âåêòîðóíêöèÿ z = z (t ) = α · y [1] (t ) + β · y [2] (t ), ãäåα, β ∈ R 1 (èëè C 1 ) íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå, åñòü ñíîâàðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìèz (0) = α · y0[1] + β · y0[2] = z0 .Òàêèì îáðàçîì, âñå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1) îáðàçóþòëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî L.Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéËåãêî âèäåòü, ÷òî â ñèëó òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè (Ÿ2)ðàçìåðíîñòü ýòîãî ïðîñòðàíñòâà ðàâíà N (òî åñòü ðàâíàðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà R N (èëè C N ) ïðîñòðàíñòâàíà÷àëüíûõ âåêòîðîâ y0 ). ñàìîì äåëå, âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ íà÷àëüíûõ âåêòîðîâ y0îáðàçóþò N -ìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî (R N èëè C N ).

Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî:1)∃ òàêèå N âåêòîðîây0[k ] , k = 1,...,Níå ðàâíûõ íóëþ è òàêèõ, ÷òî èç ðàâåíñòâàNXk =1[k ]αk y0=0⇒αk = 0,k = 1,...,N;2) Êàêèå áû N + 1 âåêòîðîâ èç ïðîñòðàíñòâà âîçìîæíûõçíà÷åíèé y0 ìû íå âûáðàëè, îíè âñåãäà îêàæóòñÿ ëèíåéíîçàâèñèìûìè, òî åñòü âñåãäà ∃ íå âñå ðàâíûå íóëþ ñêàëÿðûÏðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéβk , k = 1,...,N +1, òàêèå, ÷òîN +1X[k ]βk y0= 0.k =1Îòñþäà íåòðóäíî çàêëþ÷èòü, ÷òî è ðåøåíèå çàäà÷è Êîøèy = y (t ) ïðè âñåõ t ∈ R 1 îáðàçóþò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâîðàçìåðíîñòè N .Äåéñòâèòåëüíî, ó çàäà÷è Êîøè (1) ∃ N ëèíåéíîíåçàâèñèìûõðåøåíèé y = y [k ] (t ), k = 1,...,N , îòâå÷àþùèå N[k ]ëèíåéíîíåçàâèñèìûì íà÷àëüíûì âåêòîðàì y0 , k = 1,...,N .Äîïóñòèì ïðîòèâíîå: ∃αk , α21 + ...

+ α2N 6= 0, ÷òî õîòÿ áû âîäíîé òî÷êå t = t ∗NXαk · y [k ] (t ∗ ) = 0.k =1Òîãäà äëÿ âåêòîðóíêöèèz = z (t ) =NXk =1αk · y [k ] (t ),Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéÿâëÿþùåéñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè ′z = Az , t ∈ R 1 ;z (t ∗ ) = 0,âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå:òî åñòü è ïðèz (t ) ≡ 0,t=0z (0) =NXk =1[k ]αk · y0=0⇒ ïðîòèâîðå÷èå.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàêèå áû N + 1 ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (1)ìû íè âçÿëè, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ∃ βk , k = 1,...,N +1, íå âñåðàâíûå íóëþ è òàêèå, ÷òî:N +1Xk =1[k ]βk · y0=0⇒Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé⇒ βi = 0, i = 1,...,N +1.Òîãäà â ñèëó òåîðåìû åäèíñòâåííîñòèz (t ) =N +1Xk =1βk · y [k ] (t ) ≡ 0∀t ∈ R 1 .Èòàê, âñå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1) îáðàçóþò N - ìåðíîåëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.Òåïåðü â êà÷åñòâå âàæíîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì îäíî óðàâíåíèåïîðÿäêà N ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè (ñì.

Ÿ1):Lx = x (N ) + a1 x (N −1) + ... + aN −1 x′+ aN x = 0.(3)Îáîçíà÷èìy1 = x , y2 = y1 = x , ..., yN = yN −1 = x (N −1) .′′′Òîãäà, â ñèëó ñîîòíîøåíèé (3),(4) ìîæíî âûïèñàòü òàêóþ(4)Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéëèíåéíóþ ñèñòåìó ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöåíòàìè:y1′ = y2y1′ = y3...y = yN N′ −1yN = −a1 yN − a2 yN −1 − ...

− aN −1 y2 − aN y1 .(5)Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðåøåíèÿ x = x (t ) óðàâíåíèÿ (3)ìîæíî ïîñòðîèòü N -ìåðíûé âåêòîð y (ñì. (4)):yxx′y1 ..  = y (t ) =  .  =  .  , ..  yNóäîâëåòâîðÿþùèé ñèñòåìå (5).x N −1Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéÎáðàòíî, åñëè íàì èçâåñòíî êàêîå-ëèáî ðåøåíèå ñèñòåìû (5): y= y (t ) = y1..  ,.yNòî, îáîçíà÷àÿ ïåðâóþ êîìïîíåíòó y1 âåêòîðà ÷åðåç x , ìû èçïåðâûõ N − 1 óðàâíåíèé ñèñòåìû (5) íàéäåì ïîñëåäîâàòåëüíî:y2 (t ) = x (t ), ..., yN (t ) = x N −1 (t ).′Ïîñëåäíåå æå óðàâíåíèå ñèñòåìû (5) ïåðåïèøåì òàê:x (N ) (t ) + a1 x (N −1) (t ) + ... + aN x (t ) = 0,òî åñòü y1 = y1 (t )(= x (t )) óäîâëåòâîðÿåò (3).Èòàê, óðàâíåíèå (3) è ñèñòåìà (5) ýêâèâàëåíòíû.Ñèñòåìó (5) çàïèøåì â âåêòîðíîì âèäåy′= AyÏðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéñ ìàòðèöåé A:0 0A= 0 0−aN1000−aN −10 ...1 ......0 ...0 ......0010− a200 .0 1 − a1Äëÿ óðàâíåíèÿ (3) ïîñòàâèì çàäà÷ó Êîøè (ñì.

Ÿ1):Lx = 0, t ∈ R 1 ;x (0) = x1 , x ′ (0) = x2 ,... , x (N −1) (0) = xN ,(6)ãäå xk , k = 1,...,N - íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå.Çàìå÷àíèå 1. Êàê è â ñëó÷àå çàäà÷è Êîøè (2) èç Ÿ2, ìûïîëàãàåì, íå íàðóøàÿ îáùíîñòè, ÷òî íà÷àëüíûå óñëîâèÿ â (6)ïîñòàâëåíû ïðè t = 0.Ïîíÿòíî, ÷òî çàäà÷à Êîøè (6) ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å Êîøè äëÿÏðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéñèñòåìû (5)Çäåñüy0y ′ = Ay , t ∈ R 1 ,y (0) = y0 .(7)x1  =  ... .xNÒîãäà èç îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè (êîððåêòíîñòè) çàäà÷èÊîøè (7) ñëåäóåò îäíîçíà÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü (êîððåêòíîñòü)çàäà÷è Êîøè (6), à èìåííî: ∀ ïîñòîÿííûõ xk , k = 1,...,N ∃!ðåøåíèå x = x (t ) çàäà÷è Êîøè (6). ñëó÷àå xk = 0, k = 1,...,N , òàêèì ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ x (t ) ≡ 0.Î÷åâèäíî, ÷òî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (6) îáðàçóþò ëèíåéíîåïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè N .Ïðèìåðû.

y0 −1y11d1) dt(ñì. Ÿ1,2).=y2y21 0 Ÿ2 ìû âûÿñíèëè, ÷òî ýòà ñèñòåìà èìååò äâàÏðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéëèíåéíîíåçàâèñèìûõ ðåøåíèÿ:y[ 1](t ) =y1[1]y2[1][2]y [2](t ) = yy1[2]2ïîñêîëüêó ïðè==os t,sin t− sin t,os tt = 0 âåêòîðûy0[1] 10[2]=è y0 =01ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîðû y [1] (t ), y [2] (t ) ìîæíî ïðèíÿòü çà áàçèñ âïðîñòðàíñòâå ðåøåíèé (åãî dim = 2), à çíà÷èò, ðåøåíèå çàäà÷èÊîøè äëÿ ýòîé ñèñòåìû ñ ïðîèçâîëüíûìè íà÷àëüíûìèóñëîâèÿìè y1 (0)y (0) = y (0) = y0 = yy10202Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéïðåäñòàâèìî òàê (ñì. Ÿ2):y (t ) =y1 (t )y2 (t )= y10 · y [1] (t ) + y20 · y [2] (t ).2) àññìîòðèì óðàâíåíèåx′′′− 4x + x + 6x = 0.′′′Íåïîñðåäñòâåííî íàõîäèì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ:x = e 2t ,x = e 3t .Ïîêàæåì, ÷òî îðìóëà(8)x (t ) = e −t ,x (t ) = C1 e −t + C2 e 2t + C3 e 3t ,ãäå Ci ∈ R 1 - ïðîèçâîëüíû, ïîçâîëÿåò íàéòè ðåøåíèå çàäà÷èÊîøè ñ ëþáûìè íà÷àëüíûìè äàííûìè (òî åñòü ýòà îðìóëàîïðåäåëÿåò îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (8), ñì.

Ÿ1). ñàìîì äåëå, òàê êàê ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ (8)îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíî íà÷àëüíûìè çíà÷åíèÿìè x1,2,3 , òîÏðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéíåîáõîäèìî, ÷òîáûx (0) = C1 + C2 + C3 = x1 ,x (0) = −C1 + 2C2 + 3C3 = x2 ,′′x (0) = C1 + 4C2 + 9C3 = x3 .Òàê êàê det 6= 0 ⇒ C1,2,3 íàõîäÿòñÿ!′3) Íàêîíåö, åùå ðàç âñïîìíèì óðàâíåíèåx′= axèç Ÿ1.Ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿîäíîðîäíî, à îáùåå ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå (ñì.

Ÿ1)x = C · e at ,ãäå C - ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.åøåíèå çàäà÷è Êîøè òàêîâî:x (t ) = x1 · e at , x (0) = x1 .Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéÂåðíåìñÿ âíîâü ê çàäà÷å Êîøè (7). Ïóñòü {y [k ] (t ), k = 1,...,N } ñèñòåìà èç N ëèíåéíîíåçàâèñèìûõ ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (1).Ñîñòàâèì ìàòðèöóY (t ) = (y [1] (t ), ..., y [N ] (t )).Î÷åâèäíî, ÷òî detY (t ) 6= 0 ∀t ∈ R 1 , â òîì ÷èñëå è ïðè t = 0:detY (0) 6= 0, ãäåY (0) = (y0[1] , ..., y0[N ] ) = Y0 - ìàòðèöà, ñîñòàâëåííàÿ èç Nëèíåéíîíåçàâèñèìûõ íà÷àëüíûõ âåêòîðîâ.Òàê êàêd [k ]y (t ) = Ay [k ] (t ), k = 1,...,N,dtòî ýòè N âåêòîðíûõ ñèñòåì ìîæíî îáúåäèíèòü â îäíóìàòðè÷íóþ ñèñòåìó (ñì.

Характеристики

Список файлов лекций