1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Òîãäàd||y (t)||2 − M+ ||y (t)||2 ≤ 0.dtÀ åñëè óìíîæèòü åãî íà e −M+ t , òî ïîëó÷èì:d −M+ t{e· ||y (t)||2 } ≤ 0,dtÒî åñòü||y (t)||2 ≤ e M+ t ||y (0)||2 ≤ e |M+ |·t ||y0 ||2 ≤ e |M+ |T ||y0 ||2Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè(3)ïðè 0 ≤ t < T .Ïóñòü òåïåðü −T < t ≤ 0. Òîãäà, ñäåëàâ â çàäà÷å (2) çàìåíûíåçàâèñèìîé ïåðåìåííîéτ= −t ⇒ z(τ ) = y (−τ ) ⇒dzdy (−τ )=· (−1) = Ay (−τ )dτd(−τ )è çàâèñèìîé âåêòîðíîé ïåðåìåííîé Z (τ ) = y (−τ ), ïîëó÷àåì d000<τ <Tdτ Z (τ ) = −AZ (τ ),(2 )Z (0) = y0 .Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ, êîòîðûå ïðèâåëè ê íåðàâåíñòâó (3),èìååì||Z (τ )||2 = ||y (t)||2 ≤ e M− (τ ) ||z(0)||2 ≤≤ e |M− |(τ ) ||y0 ||2 = e −|M− |t ||y0 ||2 ≤ e |M− |T ||y0 || (4)ïðè −T < t ≤ 0.Çäåñü M− = λmax (−B) = −λmin (B).Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è ÊîøèÎáúåäèíÿÿ (3),(4), ïîëó÷àåì àïðèîðíóþ îöåíêó:||y (t)||2 ≤ e M·|t| ||y0 ||2 ≤ e M·t ||y0 ||2 ,(5)ãäå M = max(|M+ , |M− |).Òåïåðü ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ èçîïðåäåëåíèÿ êîððåêòíîñòè çàäà÷è Êîøè (2).Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè.Åñëè ó çàäà÷è Êîøè ∃ íåïðåðûâíîå è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå ðåøåíèå y = y (t), t ∈ R 1 , òî îíîîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïî çíà÷åíèþ âåêòîðà y (t) â òî÷êåt = 0, ò.å.
ïî íà÷àëüíûì óñëîâèÿì.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì îáðàòíîå: ∃ äâà ðåøåíèÿy = y I ,II (t) çàäà÷è (2), ïðè÷åì y I ,II (0) = y0 .Îáîçíà÷èìy (t) = y I (t) − y II (t).Òîãäà0y = Ay , t ∈ R 1 ,y (0) = 0.Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè(6) ñèëó àïðèîðíîé îöåíêè (5) ïîëó÷àåì:||y (t)||2 ≤ 0 ïðè t ∈ (−T , T ) ∀T > 0.Ñëåäîâàòåëüíî, y (t) ≡ 0 ïðè âñåõ t ∈ (−T , T ), ò.å.y I (t) ≡ y II (t) ∀t ∈ R 1 .II)  ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (2) ∃, ìûíàéäåì ôîðìóëó äëÿ ýòîãî ðåøåíèÿ.Èòàê, ïóñòü íà îòðåçêå [−T , T ], ãäå T > 0 - íåêîòîðàÿïîñòîÿííàÿ, ∃ íåïðåðûâíîå è íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìîåðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (2).0Èç ïîêîìïîíåíòíîé çàïèñè âåêòîðíîé ñèñòåìû y = Ay (ñì.0ôîðìóëó (9 ) èç 1)0yi =NXaij · yij , i=1,..., Nj=10ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèè yi (t) - íåïðåðûâíûå èíåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûå íà [−T , T ].Çíà÷èò, ìû ìîæåì ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü èñõîäíóþ ñèñòåìóÐàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè0y = Ay :(y ) = y = Ay = A · Ay = A2 y .0 0000È, ïîëàãàÿ t = 0, ïîëó÷èìy (0) = A2 y0 .00Íàïîìíèì, ÷òîy (0) = y0 ,0y (0) = Ay0 .Ïîâòîðÿÿ ýòè ðàññóæäåíèÿ ìíîãîêðàòíî, ìû ïðèéäåì êñëåäóþùåìó âûâîäó: åñëè íà îòðåçêå [−T , T ] ∃ íåïðåðûâíîå èíåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (2), òîíà ñàìîì äåëå ýòî ðåøåíèå áóäåò áåñêîíå÷íîäèôôåðåíöèðóåìûì, à ëþáàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ðåøåíèÿy = y (t) çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëûy (k) (t) = Ak y (t),ïðè÷åìy (k) (0) = Ak y0 .Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è ÊîøèÇäåñü k > 0 - ëþáîå öåëîå ÷èñëî.Èç ìàò.àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî y = y (t) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäåðÿäà Ìàêëîðåíà∞X tkttky (t) = y0 + A · y0 + ...
+ Ak y0 + ... =Ak y0 .1k!k!(7), (8)k=0è ðÿä (7) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [−T , T ], T > 0.Ïîñëåäíåå âåðíî, òàê êàê||tk k|t k |(|t| · ||A||)kA y0 || ≤· ||y0 || · ||A||k =||y0 || ≤k!k!k!(T · ||A||)k≤||y0 || → 0 ïðè k → ∞.k!∀T > 0 è y0 ∈ R N (èëè C N ).Çàìå÷àíèå 1. Íà ñàìîì äåëå ïðè îáîñíîâàíèè (7) òðåáóåòñÿîöåíèòü îñòàòî÷íûé ÷ëåí ôîðìóëû Òåéëîðà (Ñ.Ê. Ãîäóíîâ"Î.Ä.Ó. ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöåíòàìè, êðàåâûå çàäà÷è, 1994).Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è ÊîøèIII) Íà âòîðîì ýòàïå ìû ïîëó÷èëè òîëüêî ôîðìàëüíîå ðåøåíèåçàäà÷è Êîøè (7), òàê êàê(P0t k−1ky (t) = ∞k=1 (k−1)! A y0 = Ay (t),y (0) = A0 y0 = y0∀y0Ptk kÒàêèì îáðàçîì, y = y (t) (= ∞k=1 k! A y0 )íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìàÿ âåêòîð ôóíêöèÿ, ïðè÷åì0y (t) = Ay (t), t ∈ R 1 .Òàêèì îáðàçîì, èíòåðåñóþùåå íàñ ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (2)îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (8).
 ñèëó òåîðåìû åäèíñòâåííîñòèîíî îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî.IV) Äîêàæåì òåïåðü íåïðåðûâíóþ çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ (8)çàäà÷è Êîøè (2) îò íà÷àëüíûõ äàííûõ y0 ∈ R N (èëè C N ). ñàìîì äåëå, ïóñòü y = y I ,II = y I ,II (t) - ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè(2), îòâå÷àþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿìÐàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøèy I ,II (0) = y0I ,II .4 = 4(t) = y I (t) − y II (t),40 = 4(0) = y0I − y0II .Î÷åâèäíî, ÷òî 04 = A4, t ∈ R 1 ,4(0) = 40 .(9)Ðàññìàòðèâàÿ ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (9) íà ëþáîì èíòåðâàëå(−T , T ), T > 0, ìû äëÿ âåêòîð-ôóíêöèè 4 = 4(t) èìååì||4(t)||2 ≤ e M·|t| ||40 ||2 ≤ e M·T ||40 ||2 .(10)Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε, T ) > 0 òàêîå, ÷òî åñëè||40 || ≤ δ , òî ||4(t)|| ≤ ε íà (−T , T ), ïðè÷åì δ = e 0.5εM·T (ò.å.δ = δ(ε, T )), ÷òî è íóæíî.Ðàññìîòðèì âíîâü ïðèìåð 2 (ôîðìóëà (8)) èç 1:0y = Ay , y0 −1ãäå y = 1 , A =.y21 0Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè(11)Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ýòîé ñèñòåìûâîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (8).Çàìåòèì, ÷òî ïðè k = 0, 1, ...I2 , åñëè k = 2m, m - ÷åòíîå èëè 0,−I2 , åñëè k = 2m, m - íå÷åòíîå,Ak = A, åñëè k = 2m + 1, m - ÷åòíîå èëè 0,−A, åñëè k = 2m, m - íå÷åòíîå.Òîãäày = y (t) =∞ kXtk=0m t 2mm=0 (−1) (2m)!Pm t 2m+1− ∞m=0 (−1) (2m+1)!P∞=k!tt2t3Ak y0 = {I2 + A − I2 − A + ...}y0 ==costsin t1−2!3!m t 2m+1m=0 (−1) (2m+1)!P∞m t 2mm=0 (−1) (2m)!P∞!y0 =−sintcost · y10− sint · y2y0 ==costsint · y10 −cost · y20Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè= y10cost−sint+ y20.costsint yÇäåñü y0 = 10 - âåêòîð íà÷àëüíûõ äàííûõ.y20Çàìåòèì òàêæå, ÷òî âåêòîðû cost−sint[1][2]y =,y =sintcostóäîâëåòâîðÿþò âåêòîðíîé ñèñòåìå (11).3.
Ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííûìèêîýèöèåíòàìè è îäíîãî óðàâíåíèÿ ïðîèçâîëüíîãîïîðÿäêà. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé èîïðåäåëèòåëü åå ìàòðèöû ïðåäûäóùåì ïàðàãðàå óñòàíîâëåíî, ÷òî çàäà÷à Êîøèy ′ = Ay , t ∈ R ;y (0) = y0 , y0 ∈ R N (C N )èìååò åäèíñòâåííîå íåïðåðûâíîå èíåïðåðûâíî-äèåðåíöèðóåìîå ðåøåíèåîïðåäåëÿåòñÿ òàê:y = y (t ) =∞ kXtk =0(1)y = y (t ), êîòîðîå∞ kXt kkA y0 = (A ) · y0 .k!k!k =0(2)Òàê êàê ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿíà÷àëüíûì âåêòîðîì y0 , òî, ñëåäîâàòåëüíî, ìû èìååìîäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó âåêòîðàìè y (t ), t ∈ R 1 è y0 .Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé 2 ìû óæå íåîäíîêðàòíî èñïîëüçîâàëè òîò àêò, ÷òî′àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà äâóõ ðåøåíèé ñèñòåìû y = Ay ñíîâàÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì. ñàìîì äåëå, ïóñòü y = y [1],[2] (t ) äâà ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè(1), îòâå÷àþùèå ñëåäóþùèì íà÷àëüíûì äàííûì:y [1],[2] (0) = y0[1],[2] .Òîãäà{αy [1] (t ) + β y [2] (t )} = αA · y [1] (t ) + β A · y [2] (t ) =′= A{α · y [1] (t ) + β y [2] (t )},òî åñòü âåêòîðóíêöèÿ z = z (t ) = α · y [1] (t ) + β · y [2] (t ), ãäåα, β ∈ R 1 (èëè C 1 ) íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå, åñòü ñíîâàðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìèz (0) = α · y0[1] + β · y0[2] = z0 .Òàêèì îáðàçîì, âñå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1) îáðàçóþòëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî L.Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéËåãêî âèäåòü, ÷òî â ñèëó òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè (2)ðàçìåðíîñòü ýòîãî ïðîñòðàíñòâà ðàâíà N (òî åñòü ðàâíàðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà R N (èëè C N ) ïðîñòðàíñòâàíà÷àëüíûõ âåêòîðîâ y0 ). ñàìîì äåëå, âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ íà÷àëüíûõ âåêòîðîâ y0îáðàçóþò N -ìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî (R N èëè C N ).
Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî:1)∃ òàêèå N âåêòîðîây0[k ] , k = 1,...,Níå ðàâíûõ íóëþ è òàêèõ, ÷òî èç ðàâåíñòâàNXk =1[k ]αk y0=0⇒αk = 0,k = 1,...,N;2) Êàêèå áû N + 1 âåêòîðîâ èç ïðîñòðàíñòâà âîçìîæíûõçíà÷åíèé y0 ìû íå âûáðàëè, îíè âñåãäà îêàæóòñÿ ëèíåéíîçàâèñèìûìè, òî åñòü âñåãäà ∃ íå âñå ðàâíûå íóëþ ñêàëÿðûÏðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéβk , k = 1,...,N +1, òàêèå, ÷òîN +1X[k ]βk y0= 0.k =1Îòñþäà íåòðóäíî çàêëþ÷èòü, ÷òî è ðåøåíèå çàäà÷è Êîøèy = y (t ) ïðè âñåõ t ∈ R 1 îáðàçóþò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâîðàçìåðíîñòè N .Äåéñòâèòåëüíî, ó çàäà÷è Êîøè (1) ∃ N ëèíåéíîíåçàâèñèìûõðåøåíèé y = y [k ] (t ), k = 1,...,N , îòâå÷àþùèå N[k ]ëèíåéíîíåçàâèñèìûì íà÷àëüíûì âåêòîðàì y0 , k = 1,...,N .Äîïóñòèì ïðîòèâíîå: ∃αk , α21 + ...
+ α2N 6= 0, ÷òî õîòÿ áû âîäíîé òî÷êå t = t ∗NXαk · y [k ] (t ∗ ) = 0.k =1Òîãäà äëÿ âåêòîðóíêöèèz = z (t ) =NXk =1αk · y [k ] (t ),Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéÿâëÿþùåéñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè ′z = Az , t ∈ R 1 ;z (t ∗ ) = 0,âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå:òî åñòü è ïðèz (t ) ≡ 0,t=0z (0) =NXk =1[k ]αk · y0=0⇒ ïðîòèâîðå÷èå.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàêèå áû N + 1 ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (1)ìû íè âçÿëè, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ∃ βk , k = 1,...,N +1, íå âñåðàâíûå íóëþ è òàêèå, ÷òî:N +1Xk =1[k ]βk · y0=0⇒Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé⇒ βi = 0, i = 1,...,N +1.Òîãäà â ñèëó òåîðåìû åäèíñòâåííîñòèz (t ) =N +1Xk =1βk · y [k ] (t ) ≡ 0∀t ∈ R 1 .Èòàê, âñå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1) îáðàçóþò N - ìåðíîåëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.Òåïåðü â êà÷åñòâå âàæíîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì îäíî óðàâíåíèåïîðÿäêà N ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè (ñì. 1):Lx = x (N ) + a1 x (N −1) + ...
+ aN −1 x′+ aN x = 0.(3)Îáîçíà÷èìy1 = x , y2 = y1 = x , ..., yN = yN −1 = x (N −1) .′′′Òîãäà, â ñèëó ñîîòíîøåíèé (3),(4) ìîæíî âûïèñàòü òàêóþ(4)Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéëèíåéíóþ ñèñòåìó ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöåíòàìè:y1′ = y2y1′ = y3...y = yN N′ −1yN = −a1 yN − a2 yN −1 − ... − aN −1 y2 − aN y1 .(5)Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðåøåíèÿ x = x (t ) óðàâíåíèÿ (3)ìîæíî ïîñòðîèòü N -ìåðíûé âåêòîð y (ñì. (4)):yxx′y1 .. = y (t ) = . = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
