Главная » Просмотр файлов » 1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930

1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 4

Файл №826746 1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (2018- Слайды Ткачев) 4 страница1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746) страница 42021-01-26СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Òîãäàd||y (t)||2 − M+ ||y (t)||2 ≤ 0.dtÀ åñëè óìíîæèòü åãî íà e −M+ t , òî ïîëó÷èì:d −M+ t{e· ||y (t)||2 } ≤ 0,dtÒî åñòü||y (t)||2 ≤ e M+ t ||y (0)||2 ≤ e |M+ |·t ||y0 ||2 ≤ e |M+ |T ||y0 ||2Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè(3)ïðè 0 ≤ t < T .Ïóñòü òåïåðü −T < t ≤ 0. Òîãäà, ñäåëàâ â çàäà÷å (2) çàìåíûíåçàâèñèìîé ïåðåìåííîéτ= −t ⇒ z(τ ) = y (−τ ) ⇒dzdy (−τ )=· (−1) = Ay (−τ )dτd(−τ )è çàâèñèìîé âåêòîðíîé ïåðåìåííîé Z (τ ) = y (−τ ), ïîëó÷àåì d000<τ <Tdτ Z (τ ) = −AZ (τ ),(2 )Z (0) = y0 .Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ, êîòîðûå ïðèâåëè ê íåðàâåíñòâó (3),èìååì||Z (τ )||2 = ||y (t)||2 ≤ e M− (τ ) ||z(0)||2 ≤≤ e |M− |(τ ) ||y0 ||2 = e −|M− |t ||y0 ||2 ≤ e |M− |T ||y0 || (4)ïðè −T < t ≤ 0.Çäåñü M− = λmax (−B) = −λmin (B).Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è ÊîøèÎáúåäèíÿÿ (3),(4), ïîëó÷àåì àïðèîðíóþ îöåíêó:||y (t)||2 ≤ e M·|t| ||y0 ||2 ≤ e M·t ||y0 ||2 ,(5)ãäå M = max(|M+ , |M− |).Òåïåðü ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ èçîïðåäåëåíèÿ êîððåêòíîñòè çàäà÷è Êîøè (2).Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè.Åñëè ó çàäà÷è Êîøè ∃ íåïðåðûâíîå è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå ðåøåíèå y = y (t), t ∈ R 1 , òî îíîîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïî çíà÷åíèþ âåêòîðà y (t) â òî÷êåt = 0, ò.å.

ïî íà÷àëüíûì óñëîâèÿì.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì îáðàòíîå: ∃ äâà ðåøåíèÿy = y I ,II (t) çàäà÷è (2), ïðè÷åì y I ,II (0) = y0 .Îáîçíà÷èìy (t) = y I (t) − y II (t).Òîãäà0y = Ay , t ∈ R 1 ,y (0) = 0.Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè(6) ñèëó àïðèîðíîé îöåíêè (5) ïîëó÷àåì:||y (t)||2 ≤ 0 ïðè t ∈ (−T , T ) ∀T > 0.Ñëåäîâàòåëüíî, y (t) ≡ 0 ïðè âñåõ t ∈ (−T , T ), ò.å.y I (t) ≡ y II (t) ∀t ∈ R 1 .II)  ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (2) ∃, ìûíàéäåì ôîðìóëó äëÿ ýòîãî ðåøåíèÿ.Èòàê, ïóñòü íà îòðåçêå [−T , T ], ãäå T > 0 - íåêîòîðàÿïîñòîÿííàÿ, ∃ íåïðåðûâíîå è íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìîåðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (2).0Èç ïîêîìïîíåíòíîé çàïèñè âåêòîðíîé ñèñòåìû y = Ay (ñì.0ôîðìóëó (9 ) èç Ÿ1)0yi =NXaij · yij , i=1,..., Nj=10ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèè yi (t) - íåïðåðûâíûå èíåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûå íà [−T , T ].Çíà÷èò, ìû ìîæåì ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü èñõîäíóþ ñèñòåìóÐàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè0y = Ay :(y ) = y = Ay = A · Ay = A2 y .0 0000È, ïîëàãàÿ t = 0, ïîëó÷èìy (0) = A2 y0 .00Íàïîìíèì, ÷òîy (0) = y0 ,0y (0) = Ay0 .Ïîâòîðÿÿ ýòè ðàññóæäåíèÿ ìíîãîêðàòíî, ìû ïðèéäåì êñëåäóþùåìó âûâîäó: åñëè íà îòðåçêå [−T , T ] ∃ íåïðåðûâíîå èíåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (2), òîíà ñàìîì äåëå ýòî ðåøåíèå áóäåò áåñêîíå÷íîäèôôåðåíöèðóåìûì, à ëþáàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ðåøåíèÿy = y (t) çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëûy (k) (t) = Ak y (t),ïðè÷åìy (k) (0) = Ak y0 .Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è ÊîøèÇäåñü k > 0 - ëþáîå öåëîå ÷èñëî.Èç ìàò.àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî y = y (t) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäåðÿäà Ìàêëîðåíà∞X tkttky (t) = y0 + A · y0 + ...

+ Ak y0 + ... =Ak y0 .1k!k!(7), (8)k=0è ðÿä (7) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [−T , T ], T > 0.Ïîñëåäíåå âåðíî, òàê êàê||tk k|t k |(|t| · ||A||)kA y0 || ≤· ||y0 || · ||A||k =||y0 || ≤k!k!k!(T · ||A||)k≤||y0 || → 0 ïðè k → ∞.k!∀T > 0 è y0 ∈ R N (èëè C N ).Çàìå÷àíèå 1. Íà ñàìîì äåëå ïðè îáîñíîâàíèè (7) òðåáóåòñÿîöåíèòü îñòàòî÷íûé ÷ëåí ôîðìóëû Òåéëîðà (Ñ.Ê. Ãîäóíîâ"Î.Ä.Ó. ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöåíòàìè, êðàåâûå çàäà÷è, 1994).Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è ÊîøèIII) Íà âòîðîì ýòàïå ìû ïîëó÷èëè òîëüêî ôîðìàëüíîå ðåøåíèåçàäà÷è Êîøè (7), òàê êàê(P0t k−1ky (t) = ∞k=1 (k−1)! A y0 = Ay (t),y (0) = A0 y0 = y0∀y0Ptk kÒàêèì îáðàçîì, y = y (t) (= ∞k=1 k! A y0 )íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìàÿ âåêòîð ôóíêöèÿ, ïðè÷åì0y (t) = Ay (t), t ∈ R 1 .Òàêèì îáðàçîì, èíòåðåñóþùåå íàñ ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (2)îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (8).

 ñèëó òåîðåìû åäèíñòâåííîñòèîíî îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî.IV) Äîêàæåì òåïåðü íåïðåðûâíóþ çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ (8)çàäà÷è Êîøè (2) îò íà÷àëüíûõ äàííûõ y0 ∈ R N (èëè C N ). ñàìîì äåëå, ïóñòü y = y I ,II = y I ,II (t) - ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè(2), îòâå÷àþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿìÐàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøèy I ,II (0) = y0I ,II .4 = 4(t) = y I (t) − y II (t),40 = 4(0) = y0I − y0II .Î÷åâèäíî, ÷òî 04 = A4, t ∈ R 1 ,4(0) = 40 .(9)Ðàññìàòðèâàÿ ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (9) íà ëþáîì èíòåðâàëå(−T , T ), T > 0, ìû äëÿ âåêòîð-ôóíêöèè 4 = 4(t) èìååì||4(t)||2 ≤ e M·|t| ||40 ||2 ≤ e M·T ||40 ||2 .(10)Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε, T ) > 0 òàêîå, ÷òî åñëè||40 || ≤ δ , òî ||4(t)|| ≤ ε íà (−T , T ), ïðè÷åì δ = e 0.5εM·T (ò.å.δ = δ(ε, T )), ÷òî è íóæíî.Ðàññìîòðèì âíîâü ïðèìåð 2 (ôîðìóëà (8)) èç Ÿ1:0y = Ay , y0 −1ãäå y = 1 , A =.y21 0Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè(11)Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ýòîé ñèñòåìûâîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (8).Çàìåòèì, ÷òî ïðè k = 0, 1, ...I2 , åñëè k = 2m, m - ÷åòíîå èëè 0,−I2 , åñëè k = 2m, m - íå÷åòíîå,Ak = A, åñëè k = 2m + 1, m - ÷åòíîå èëè 0,−A, åñëè k = 2m, m - íå÷åòíîå.Òîãäày = y (t) =∞ kXtk=0m t 2mm=0 (−1) (2m)!Pm t 2m+1− ∞m=0 (−1) (2m+1)!P∞=k!tt2t3Ak y0 = {I2 + A − I2 − A + ...}y0 ==costsin t1−2!3!m t 2m+1m=0 (−1) (2m+1)!P∞m t 2mm=0 (−1) (2m)!P∞!y0 =−sintcost · y10− sint · y2y0 ==costsint · y10 −cost · y20Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè= y10cost−sint+ y20.costsint yÇäåñü y0 = 10 - âåêòîð íà÷àëüíûõ äàííûõ.y20Çàìåòèì òàêæå, ÷òî âåêòîðû cost−sint[1][2]y =,y =sintcostóäîâëåòâîðÿþò âåêòîðíîé ñèñòåìå (11).Ÿ3.

Ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííûìèêîýèöèåíòàìè è îäíîãî óðàâíåíèÿ ïðîèçâîëüíîãîïîðÿäêà. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé èîïðåäåëèòåëü åå ìàòðèöû ïðåäûäóùåì ïàðàãðàå óñòàíîâëåíî, ÷òî çàäà÷à Êîøèy ′ = Ay , t ∈ R ;y (0) = y0 , y0 ∈ R N (C N )èìååò åäèíñòâåííîå íåïðåðûâíîå èíåïðåðûâíî-äèåðåíöèðóåìîå ðåøåíèåîïðåäåëÿåòñÿ òàê:y = y (t ) =∞ kXtk =0(1)y = y (t ), êîòîðîå∞ kXt kkA y0 = (A ) · y0 .k!k!k =0(2)Òàê êàê ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿíà÷àëüíûì âåêòîðîì y0 , òî, ñëåäîâàòåëüíî, ìû èìååìîäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó âåêòîðàìè y (t ), t ∈ R 1 è y0 .Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíè頟2 ìû óæå íåîäíîêðàòíî èñïîëüçîâàëè òîò àêò, ÷òî′àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà äâóõ ðåøåíèé ñèñòåìû y = Ay ñíîâàÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì. ñàìîì äåëå, ïóñòü y = y [1],[2] (t ) äâà ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè(1), îòâå÷àþùèå ñëåäóþùèì íà÷àëüíûì äàííûì:y [1],[2] (0) = y0[1],[2] .Òîãäà{αy [1] (t ) + β y [2] (t )} = αA · y [1] (t ) + β A · y [2] (t ) =′= A{α · y [1] (t ) + β y [2] (t )},òî åñòü âåêòîðóíêöèÿ z = z (t ) = α · y [1] (t ) + β · y [2] (t ), ãäåα, β ∈ R 1 (èëè C 1 ) íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå, åñòü ñíîâàðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìèz (0) = α · y0[1] + β · y0[2] = z0 .Òàêèì îáðàçîì, âñå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1) îáðàçóþòëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî L.Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéËåãêî âèäåòü, ÷òî â ñèëó òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè (Ÿ2)ðàçìåðíîñòü ýòîãî ïðîñòðàíñòâà ðàâíà N (òî åñòü ðàâíàðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà R N (èëè C N ) ïðîñòðàíñòâàíà÷àëüíûõ âåêòîðîâ y0 ). ñàìîì äåëå, âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ íà÷àëüíûõ âåêòîðîâ y0îáðàçóþò N -ìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî (R N èëè C N ).

Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî:1)∃ òàêèå N âåêòîðîây0[k ] , k = 1,...,Níå ðàâíûõ íóëþ è òàêèõ, ÷òî èç ðàâåíñòâàNXk =1[k ]αk y0=0⇒αk = 0,k = 1,...,N;2) Êàêèå áû N + 1 âåêòîðîâ èç ïðîñòðàíñòâà âîçìîæíûõçíà÷åíèé y0 ìû íå âûáðàëè, îíè âñåãäà îêàæóòñÿ ëèíåéíîçàâèñèìûìè, òî åñòü âñåãäà ∃ íå âñå ðàâíûå íóëþ ñêàëÿðûÏðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéβk , k = 1,...,N +1, òàêèå, ÷òîN +1X[k ]βk y0= 0.k =1Îòñþäà íåòðóäíî çàêëþ÷èòü, ÷òî è ðåøåíèå çàäà÷è Êîøèy = y (t ) ïðè âñåõ t ∈ R 1 îáðàçóþò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâîðàçìåðíîñòè N .Äåéñòâèòåëüíî, ó çàäà÷è Êîøè (1) ∃ N ëèíåéíîíåçàâèñèìûõðåøåíèé y = y [k ] (t ), k = 1,...,N , îòâå÷àþùèå N[k ]ëèíåéíîíåçàâèñèìûì íà÷àëüíûì âåêòîðàì y0 , k = 1,...,N .Äîïóñòèì ïðîòèâíîå: ∃αk , α21 + ...

+ α2N 6= 0, ÷òî õîòÿ áû âîäíîé òî÷êå t = t ∗NXαk · y [k ] (t ∗ ) = 0.k =1Òîãäà äëÿ âåêòîðóíêöèèz = z (t ) =NXk =1αk · y [k ] (t ),Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéÿâëÿþùåéñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè ′z = Az , t ∈ R 1 ;z (t ∗ ) = 0,âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå:òî åñòü è ïðèz (t ) ≡ 0,t=0z (0) =NXk =1[k ]αk · y0=0⇒ ïðîòèâîðå÷èå.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàêèå áû N + 1 ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (1)ìû íè âçÿëè, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ∃ βk , k = 1,...,N +1, íå âñåðàâíûå íóëþ è òàêèå, ÷òî:N +1Xk =1[k ]βk · y0=0⇒Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé⇒ βi = 0, i = 1,...,N +1.Òîãäà â ñèëó òåîðåìû åäèíñòâåííîñòèz (t ) =N +1Xk =1βk · y [k ] (t ) ≡ 0∀t ∈ R 1 .Èòàê, âñå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1) îáðàçóþò N - ìåðíîåëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.Òåïåðü â êà÷åñòâå âàæíîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì îäíî óðàâíåíèåïîðÿäêà N ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè (ñì. Ÿ1):Lx = x (N ) + a1 x (N −1) + ...

+ aN −1 x′+ aN x = 0.(3)Îáîçíà÷èìy1 = x , y2 = y1 = x , ..., yN = yN −1 = x (N −1) .′′′Òîãäà, â ñèëó ñîîòíîøåíèé (3),(4) ìîæíî âûïèñàòü òàêóþ(4)Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéëèíåéíóþ ñèñòåìó ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöåíòàìè:y1′ = y2y1′ = y3...y = yN N′ −1yN = −a1 yN − a2 yN −1 − ... − aN −1 y2 − aN y1 .(5)Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðåøåíèÿ x = x (t ) óðàâíåíèÿ (3)ìîæíî ïîñòðîèòü N -ìåðíûé âåêòîð y (ñì. (4)):yxx′y1 ..  = y (t ) =  .  =  .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
5,03 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее