Главная » Просмотр файлов » 1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930

1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 8

Файл №826746 1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (2018- Слайды Ткачев) 8 страница1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746) страница 82021-01-26СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Äîêàçàòü, ÷òî||Z tf (s)ds|| ≤ |0Z t||f (s)||ds|.0Çäåñü f = f (s) - íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [−T, T ],T < ∞, âåêòîð - ôóíêöèÿ.2. Äîêàçàòü, ÷òîeT M − 1e|t|·||A|| − 1≤||A||Mïðè |t| ≤ T , ||A|| ≤ M .Äîêàçàòü, ÷òî Y (A) = etA íåïðåðûâíà ïî A.3. Ïóñòü y = y(t, µ) - ðåøåíèå ñèñòåìû(y = A(µ)y + f (t, µ),y(0, µ) = y0(µ).t ∈ [−T, T ], µ ∈ [−L, L],Ïðåäïîëîæèì, ÷òî1) f (t, µ) íåïðåðûâíà è íåïðåðûâíî - äèôôåðåíöèðóåìà ïî µ â Ω̄,2) A(µ) - íåïðåðûâíî - äèôôåðåíöèðóåìà íà[−L, L],3) y0(µ) - íåïðåðûâíî - äèôôåðåíöèðóåìàíà [−L, L].Äîêàçàòü, ÷òî∂y(t, µ) - íåïðåðûâíîZ(t, µ) = ∂µöèðóåìà ïî t, µ â Ω̄.- äèôôåðåí-Óêàçàíèå.Äîêàçàòü, ÷òî Z = Z(t, µ) óäîâëåòâîðÿåò çàäà÷å Êîøè: 0 Z = A(µ)Z + ∂f + dA(µ) y,∂µdµ Z(0, µ) = dy0(µ)dµ(ñèñòåìå óðàâíåíèé â âàðèàöèÿõ).Ÿ9.

Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìèÐàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè ñëåäóþùåãî âèäà: 0y (t) = A(t)y (t) + f (t), t ∈ [−T , T ], 0 < t < ∞;y (0) = y 0 ∈ R N (èëè C N ).(1)ÇäåñüA(t) = aij (t) , i, j = 1,...,N - ìàòðèöà ñ íåïðåðûâíûìèýëåìåíòàìèaij(t), t ∈ [−T , T ],f1 (t)f (t) =  ... , fi (t) íåïðåðûâíû íà [−T , T ];f (t) Ny1 (t)y10 ..  ..

y (t) =  . , y0 =  . .yN (t)yN 0⇒ ∃M, N > 0, òàêèå ÷òî||A(t)|| ≤ M,||f (t)|| ≤ Níà [−T , T ].Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.Ïóñòü (1) èìååò íåïðåðûâíîå è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå ðåøåíèå y = y (t). Ïîëàãàÿ 0 ≤ t ≤ T ,ïîëó÷èìdy (t), y (t) = By (t), y (t) + 2Re(f , y ),dtB = A(t) + A∗ (t) = B ∗ .Òàê êàê||B|| =pλmax (B ∗ B) = max{|λmin (B)|, |λmax (B)|}(ñìîòðè óïðàæíåíèå 1 Ÿ8), ||B|| ≤ 2||A|| (ñìîòðè óïðàæíåíèå 2Ÿ9) è2Re(f , y ) ≤ 2|(f , y )| ≤ 2||f || · ||y || ≤ ||f ||2 + ||y ||2 ⇒d||y (t)||2 ≤ ||B|| · ||y (t)||2 + ||f ||2 + ||y ||2 ≤dt≤ (2M + 1)||y (t)||2 |||f (t)||2 ≤ C1 (M)||y (t)||2 + N 2 .Ëèíåéíûé äèôô.

óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.Óìíîæàÿ îáå ÷àñòè íà e −C1 t è èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåì:||y (t)||2 ≤ e C1 t ||y0 ||2 + N 2e C1 t − 1,C1èëè||y (t)||2 ≤ e C1 (M)T ||y0 ||2 + N 2e C1 (M)T − 1, 0 ≤ t ≤ T.C1 (M)(2)Ïðèìåíÿÿ çàìåíó τ = −t (ñì. Ÿ2), ïîëó÷èì àíàëîãè÷íóþîöåíêó è ïðè −T ≤ t ≤ 0.Èòàê, ïðè âñåõ t ∈ [−T , T ]||y (t)||2 ≤ e C1 t ||y0 ||2 + N 2≤ e C1 (M)T ||y0 ||2 + N 2e C1 t − 1≤C1e C1 (M)T − 1, 0 ≤ t ≤ T.C1 (M) ñëó÷àå çàäà÷è Êîøè 0y (t) = A(t)y (t) + f (t), t ∈ [−T , T ],y (t0 ) = y 0, t0 ∈ (−T , T )(3)0(1 )Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.îöåíêà (3) ïåðåïèøåòñÿ òàê:||y (t)||2 ≤ e 2C1 (M)T ||y0 ||2 + N 2e 2C1 (M)T − 1,C1 (M)0− T ≤ t ≤ T . (3 )Òàê êàê√0a2 + b 2 ≤ a + b , òî èç (3), (3 ) ⇒s1e C1 (M)·|t| − 1≤||y (t)|| ≤ e 2 C1 (M)·|t| ||y0 || + NC1 (M)≤1e 2 C1 T ||y0 ||s+Nèe C1 T − 1C1s||y (t)|| ≤ e C1 T ||y0 || + N(4)e 2C1 T − 1.C1Ñ ïîìîùüþ ýòèõ îöåíîê ïîëó÷èì òåîðåìó åäèíñòâåííîñòè:Ëèíåéíûé äèôô.

óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.Ïóñòü åñòü äâà ðåøåíèÿ y I ,II (t) ⇒ 4(t) = y I (t) − y II (t) è04 (t) = A(t)4(t),4(0) = 0.t ∈ [−T , T ],(5) ñèëó (4) äëÿ (5) ïîëó÷àåì:||4(t)|| ≤1e 2 C1 Ts·0+0e C1 T − 1= 0.C1Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó Êîøè (1) ïðè f (t) = 0.0y (t) = A(t)y (t), t ∈ [−T , T ];y (0) = y 0 ∈ C N (èëè R N ).0(1 )Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî çàäà÷à Êîøè ðàçðåøèìà, òî01) âñå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1 ) îáðàçóþò ëèíåéíîåïðîñòðàíñòâî;2) åãî ðàçìåðíîñòü ðàâíà N ;Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.03) ðåøèâ N ðàç çàäà÷ó Êîøè (1 ) äëÿ N ëèíåéíî - íåçàâèñèìûõy0 , ìû ïîñòðîèì N ëèíåéíî - íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé çàäà÷è0Êîøè (1 ).Ïóñòü y [k] (t), k = 1,...,N - ñèñòåìà ëèíåéíî - íåçàâèñèìûõ0ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (1 ), ïðè ýòîì:(0y [k] (t) = A(t)y [k] (t), t ∈ [−T , T ],[k]y [k] (0) = y0 ,ãäåy1k (t)y [k] (t) =  ...  ,y1k 0 (t)[k]y0 (t) =  ...

 .yN k (t)yN k 0 (t)Ñîñòàâèì ìàòðèöó Y (t): Y (t) = yij (t) , i, j = 1,...N .Êàê è â ñëó÷àå ïîñòîÿííûõ êîýôôèöèåíòîâ, ìîæíî óòâåðæäàòü,÷òîdetY (0) = 0 ⇒ detY (t) ≡ 0, t ∈ [−T , T ], èdetY (0) 6= 0 ⇒ detY (t) 6= 0,t ∈ [−T , T ].Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.Î÷åâèäíî, ÷òî Y (t) ìîæíî íàçâàòü ôóíäàìåíòàëüíûì0ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè (1 ).0Ëþáîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1 ) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç Y (t) òàê:y (t) = Y (t)C =NXCk y [k] (t),k=1 C1 ..

ãäå C =  . , C = Y −1 (0)y0 , òî åñòücNy (t) = Y (t) · Y −1 (0)y0 .(6)0Ñàìà ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (1 )Y (t) - ðåøåíèå ñëåäóþùåé çàäà÷è Êîøè:0Y (t) = A(t)Y (t), t ∈ [−T , T ],Y (0) = Z , detZ 6= 0.(7)Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.Êàê è äëÿ ïîñòîÿííûõ êîýôôèöèåíòîâ ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà,ñâÿçûâàþùàÿ detY (t) è detY (0) (ñì. Ÿ3):NXdakk (t) · detY (t) ={detY (t)} =dtk=1= Tr A(t) · detY (t).R− 0t Tr A(s) dsÓìíîæàÿ ïîñëåäíåå íà e, ïîëó÷àåì:d − R0t Tr A(s) ds{edetY (t)} = 0, òî åñòüdtRtTr A(s) ds0detY (t) = eY (0),(8)ôîðìóëó Ëèóâèëëÿ.Âåðíåìñÿ ê ôîðìóëå (6).  ñèëó (4)1||y (t)|| ≤ e 2 C1 (M)|t| ||y0 ||,òî åñòü1||Y (t) · Y −1 (0)y 0|| ≤ e 2 C1 (M)|t| ||y0 ||Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.è1||Y (t)Y −1 (0)y0 ||≤ e 2 C1 (M)|t| .||y0 ||||y0 ||6=0||Y (t) · Y −1 (0)|| = sup(9)Èñïîëüçóÿ Y (t), ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè(1).0Óìíîæèì y = A(t)y + f (t) ñëåâà íà Y −1 (t).

 èòîãå ïîëó÷èì0{Y −1 y } = Y −1 f , òî åñòüy (t) = Y (t) · Y−1(0)y0 +ZtY (t) · Y −1 (s)f (s)ds.0Ïîñêîëüêó(10)1||Y (t) · Y −1 (s)|| ≤ e 2 C1 (M)·|t−s|ñì. (9) , òî èç (10) ñëåäóåò îöåíêà||y (t)|| ≤1e 2 C1 (M)·|t| ||y0 ||tZ1e 2 C1 (M)·|t−s| ||f (s)||ds ≤+0Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.≤1e 2 C1 (M)·|t| ||y0 ||1e 2 C1 (M)·|t| − 1+ 2N,C1 (M)åùå îäèí âàðèàíò àïðèîðíîé îöåíêè çàäà÷è Êîøè (1).Ñëó÷àé îäíîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà ñêîýôôèöèåíòàìè, çàâèñÿùèìè îò t , t ∈ [−T , T ]:0 Lx = x (N) + a1 (t)x (N−1) + ... + aN−1 (t)x ++aN (t) = F (t), t ∈ [−T , T ],0x(0) = α1 , x (0) = α2 , ... x (N−1) (0) = αN ,(11)ãäå ai (t), i = 1,...,N íåïðåðûâíû íà [−T , T ].Ëèíåéíûé äèôô.

óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.Ñâåäåì (11) ê (1):x(t) x 0 (t) 0dy = dt  = Ay (t) + f (t), t ∈ [−T , T ];...(N−1)00x(t)(1 ) α1 .. y (0) = y0 =  .  ;αN01 0 ...00 00 1 ...0  .. ..A=, f =  . .. 0  00 0 ...1 F (t)−aN. . . −a1Èç òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷èÊîøè (1) ïîëó÷àåì ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèåçàäà÷è (11):Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.Åñëè ai (t), i = 1,...,N , f (t) - íåïðåðûâíûå ôóíêöèè íà [−T , T ],òî äëÿ ëþáûõ êîíñòàíò αi , i = 1,...,N , âñåãäà ñóùåñòâóåò íà[−T , T ] íåïðåðûâíîå è N ðàç íåïðåðûâíî - äèôôèðåíöèðóåìîåðåøåíèå x = x(t), óäîâëåòâîðÿþùåå óðàâíåíèþ Lx = F (t) èíà÷àëüíûì óñëîâèÿì.Ðåøåíèå x = x(t) çàäà÷è Êîøè (11) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿíà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè.Ïðè F (t) ≡ 0 ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè00(1 )Φ(t) = y [1] (t), ... , y [N] (t) =x1...xN0 x0...xN  1=....x1(N−1) .

. .xN(N−1)Ïðè ýòîì äëÿ ëþáîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (11)x(t) =NXk=1ck xk (t).Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.Çàìåòèì, ÷òî îïðåäåëèòåëü ÂðîíñêîãîdetΦ(t) 6= 0, ïðè÷åìdetΦ(t) = detΦ(0) · exp{−Z0ta1 (s)ds}.(12)Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (11) ïðè F (t) 6= 0 ìîæíî ïîëó÷àòü ñïîìîùüþ ôîðìóëû (10).Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.Ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1).Ïóñòü ìíîæåñòâî D = (−T , T ) × {||y − y0 || < K } - îáëàñòü âR × R N , K - ïîñòîÿííàÿ.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü ñèñòåìû (1) (âåêòîðA(t)y (t) + f (t)) îïðåäåëåíà â D .Ñõåìà ðàññóæäåíèé.1. Ïîñòðîåíèå ε - ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (1).2.

Ñóùåñòâîâàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé,ñõîäÿùåéñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è (1).Èòàê, ïåðâûé ýòàï.Îïðåäåëåíèå 1.Íåïðåðûâíàÿ âåêòîð - ôóíêöèÿ ϕ(t), îïðåäåëåííàÿ íàèíòåðâàëå I = (-T,T), íàçûâàåòñÿ ε - ïðèáëèæåííûì ðåøåíèåìçàäà÷è Êîøè (1), åñëè1) t, ϕ(t) ∈ D , åñëè t ∈ I;2) ϕ ∈ C 1 − T , T , çà èñêëþ÷åíèåì, âîçìîæíî, êîíå÷íîãî÷èñëà òî÷åê S íà I , â êîòîðûõ ϕ(t) èìååò ðàçðûâû ïåðâîãîðîäà.03) ||ϕ (t) − A(t)ϕ(t) − f (t)|| < ε, åñëè t ∈ I \S .Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå 2), òî ãîâîðÿò, ÷òî âåêòîð - ôóíêöèÿϕ(t) èìååò êóñî÷íî - íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ íà èíòåðâàëåI , îáîçíà÷àÿ ýòîò ôàêò ñëåäóþùèì îáðàçîì: ϕ ∈ Cp1 (I ).Îáîçíà÷èì:M = max kA(t)y + f (t)k,|t|≤Tα = min(T ,ky − y0 k ≤ K ,(13)K).MÏðåäëîæåíèå 1.Äëÿ ëþáîãî ε > 0 íà èíòåðâàëå |t| ≤ α ñóùåñòâóåò ε ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1) òàêîå, ÷òî φ(0) = y0 .ÄîêàçàòåëüñòâîÏóñòü ε > 0.

Ïîñòðîèì íà [0, α] - ε - ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå(äëÿ îïðåäëåííîñòè ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðàâàÿ ïîëîâèíà îòðåçêà[−α, α]).Òàê êàê âåêòîð A(t)y + f (t) íåïðåðûâåí íà D , òî îíðàâíîìåðíî íåïðåðûâåí íà D (òåîðåìà Êàíòîðà),Ëèíåéíûé äèôô. óð - èÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôô.ñëåäîâàòåëüíî, ∀ε > 0 ∃δε > 0 òàêîå, ÷òîkA(t)y + f (t) − A(t̃)ỹ − f (t̃)k ≤ ε, åñëè |t − t̃| ≤ δε ,(14)ky − ỹ k ≤ δε , (t, y ) ∈ D, (t̃, ỹ ) ∈ D.Ðàçäåëèì îòðåçîê [o, α] íà n ÷àñòåé òî÷êàìè:0 < t1 < ... < tn = α,δε).MÈç òî÷êè (0, y0 ) ïðîâåäåì íàïðàâî ïðÿìóþ ñ óãëîâûìèêîýôôèöåíòàìè{A(0)y0 + f (0)}max |tk − tk−1 | ≤ min(δε ,(15)äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïëîñêîñòüþ t = t1 â òî÷êå (t1 , y 1 ).Ïðîäîëæàÿ ïðîöåññ, ïîñòðîèì ëîìàíóþ ëèíèþ, êîòîðàÿïåðåñåêàåòñÿ ñ ïëîñêîñòüþ t = α, íå âûõîäÿ çà ãðàíèöó îáëàñòèD , ñì.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
5,03 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее