1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 5
Текст из файла (страница 5)
, .. yNóäîâëåòâîðÿþùèé ñèñòåìå (5).x N −1Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéÎáðàòíî, åñëè íàì èçâåñòíî êàêîå-ëèáî ðåøåíèå ñèñòåìû (5): y= y (t ) = y1.. ,.yNòî, îáîçíà÷àÿ ïåðâóþ êîìïîíåíòó y1 âåêòîðà ÷åðåç x , ìû èçïåðâûõ N − 1 óðàâíåíèé ñèñòåìû (5) íàéäåì ïîñëåäîâàòåëüíî:y2 (t ) = x (t ), ..., yN (t ) = x N −1 (t ).′Ïîñëåäíåå æå óðàâíåíèå ñèñòåìû (5) ïåðåïèøåì òàê:x (N ) (t ) + a1 x (N −1) (t ) + ... + aN x (t ) = 0,òî åñòü y1 = y1 (t )(= x (t )) óäîâëåòâîðÿåò (3).Èòàê, óðàâíåíèå (3) è ñèñòåìà (5) ýêâèâàëåíòíû.Ñèñòåìó (5) çàïèøåì â âåêòîðíîì âèäåy′= AyÏðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéñ ìàòðèöåé A:0 0A= 0 0−aN1000−aN −10 ...1 ......0 ...0 ......0010− a200 .0 1 − a1Äëÿ óðàâíåíèÿ (3) ïîñòàâèì çàäà÷ó Êîøè (ñì.
1):Lx = 0, t ∈ R 1 ;x (0) = x1 , x ′ (0) = x2 ,... , x (N −1) (0) = xN ,(6)ãäå xk , k = 1,...,N - íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå.Çàìå÷àíèå 1. Êàê è â ñëó÷àå çàäà÷è Êîøè (2) èç 2, ìûïîëàãàåì, íå íàðóøàÿ îáùíîñòè, ÷òî íà÷àëüíûå óñëîâèÿ â (6)ïîñòàâëåíû ïðè t = 0.Ïîíÿòíî, ÷òî çàäà÷à Êîøè (6) ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å Êîøè äëÿÏðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéñèñòåìû (5)Çäåñüy0y ′ = Ay , t ∈ R 1 ,y (0) = y0 .(7)x1 = ...
.xNÒîãäà èç îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè (êîððåêòíîñòè) çàäà÷èÊîøè (7) ñëåäóåò îäíîçíà÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü (êîððåêòíîñòü)çàäà÷è Êîøè (6), à èìåííî: ∀ ïîñòîÿííûõ xk , k = 1,...,N ∃!ðåøåíèå x = x (t ) çàäà÷è Êîøè (6). ñëó÷àå xk = 0, k = 1,...,N , òàêèì ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ x (t ) ≡ 0.Î÷åâèäíî, ÷òî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (6) îáðàçóþò ëèíåéíîåïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè N .Ïðèìåðû. y0 −1y11d1) dt(ñì. 1,2).=y2y21 0 2 ìû âûÿñíèëè, ÷òî ýòà ñèñòåìà èìååò äâàÏðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéëèíåéíîíåçàâèñèìûõ ðåøåíèÿ:y[ 1](t ) =y1[1]y2[1][2]y [2](t ) = yy1[2]2ïîñêîëüêó ïðè==os t,sin t− sin t,os tt = 0 âåêòîðûy0[1] 10[2]=è y0 =01ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîðû y [1] (t ), y [2] (t ) ìîæíî ïðèíÿòü çà áàçèñ âïðîñòðàíñòâå ðåøåíèé (åãî dim = 2), à çíà÷èò, ðåøåíèå çàäà÷èÊîøè äëÿ ýòîé ñèñòåìû ñ ïðîèçâîëüíûìè íà÷àëüíûìèóñëîâèÿìè y1 (0)y (0) = y (0) = y0 = yy10202Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéïðåäñòàâèìî òàê (ñì.
2):y (t ) =y1 (t )y2 (t )= y10 · y [1] (t ) + y20 · y [2] (t ).2) àññìîòðèì óðàâíåíèåx′′′− 4x + x + 6x = 0.′′′Íåïîñðåäñòâåííî íàõîäèì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ:x = e 2t ,x = e 3t .Ïîêàæåì, ÷òî îðìóëà(8)x (t ) = e −t ,x (t ) = C1 e −t + C2 e 2t + C3 e 3t ,ãäå Ci ∈ R 1 - ïðîèçâîëüíû, ïîçâîëÿåò íàéòè ðåøåíèå çàäà÷èÊîøè ñ ëþáûìè íà÷àëüíûìè äàííûìè (òî åñòü ýòà îðìóëàîïðåäåëÿåò îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (8), ñì. 1). ñàìîì äåëå, òàê êàê ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ (8)îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíî íà÷àëüíûìè çíà÷åíèÿìè x1,2,3 , òîÏðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéíåîáõîäèìî, ÷òîáûx (0) = C1 + C2 + C3 = x1 ,x (0) = −C1 + 2C2 + 3C3 = x2 ,′′x (0) = C1 + 4C2 + 9C3 = x3 .Òàê êàê det 6= 0 ⇒ C1,2,3 íàõîäÿòñÿ!′3) Íàêîíåö, åùå ðàç âñïîìíèì óðàâíåíèåx′= axèç 1.Ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿîäíîðîäíî, à îáùåå ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå (ñì.
1)x = C · e at ,ãäå C - ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.åøåíèå çàäà÷è Êîøè òàêîâî:x (t ) = x1 · e at , x (0) = x1 .Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéÂåðíåìñÿ âíîâü ê çàäà÷å Êîøè (7). Ïóñòü {y [k ] (t ), k = 1,...,N } ñèñòåìà èç N ëèíåéíîíåçàâèñèìûõ ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (1).Ñîñòàâèì ìàòðèöóY (t ) = (y [1] (t ), ..., y [N ] (t )).Î÷åâèäíî, ÷òî detY (t ) 6= 0 ∀t ∈ R 1 , â òîì ÷èñëå è ïðè t = 0:detY (0) 6= 0, ãäåY (0) = (y0[1] , ..., y0[N ] ) = Y0 - ìàòðèöà, ñîñòàâëåííàÿ èç Nëèíåéíîíåçàâèñèìûõ íà÷àëüíûõ âåêòîðîâ.Òàê êàêd [k ]y (t ) = Ay [k ] (t ), k = 1,...,N,dtòî ýòè N âåêòîðíûõ ñèñòåì ìîæíî îáúåäèíèòü â îäíóìàòðè÷íóþ ñèñòåìó (ñì. 1):Y (t ) = A · Y′è äëÿ íåå ïîñòàâèòü çàäà÷ó Êîøè: ′Y = AY ,Y (0) = Y0 ,t ∈ R1(9)Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéãäå Y0 - ïðîèçâîëüíàÿ íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà (õîòÿ,åñòåñòâåííî, çàäà÷ó Êîøè (9) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñ ëþáîéìàòðèöåé Y0 ).Îïðåäåëåíèå 1.
Ìàòðèöà Y (t ) íàçûâàåòñÿ óíäàìåíòàëüíîéìàòðèöåé ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (1).Äëÿ çàäà÷è Êîøè (9) èìååò ìåñòî îäíîçíà÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü(êîððåêòíîñòü, ñì. 2): äëÿ ëþáîé ìàòðèöû Y0 , detY0 6= 0∃Y (t ), ýëåìåíòû êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè èíåïðåðûâíîäèåðåíöèðóåìûìè óíêöèÿìè, îïðåäåëåííûìè∀t ∈ R , è òàêàÿ, ÷òîY (t ) = AY (t ), Y (0) = Y0 .′Ýòèìè óñëîâèÿìè Y (t ) îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî.Äîêàæåì ñëåäóþùóþ îðìóëó: íà ðåøåíèÿõ çàäà÷è Êîøè (9)âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå△(t ) = △0 · exp {Tr (A) · t },(10)Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéãäå △(t ) =detY (t ), △0 =detY0 ,Tr (A) =NXk =1akk- ñëåä ìàòðèöû A.Êñòàòè, èç (10) ñëåäóåò óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî ìàòðèöà Y (t ),ñîñòàâëåííàÿ èç N ëèíåéíîíåçàâèñèìûõ ðåøåíèé çàäà÷èÊîøè (7), íåâûðîæäåííàÿ.Âåðíåìñÿ ê (10).
Èìååì:y11 . . . y 1N .... .. NX′′′ △ (t ) =det yk 1 . . . yk N . .... k =1 .. yN 1 . . . yNNÒàê êàêykl′=NXj =1akj · yjl (t ), l = 1,...,N,òîÏðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéy11... .. . ′det yk 1 .. ....yN 1...y 1Ny11 .... .. NX′yk N = akj · det yj 1 .... j =1 .. yN 1yNN.........y 1N.. . yj N =.. . yNN= akk · detY (t ) = akk · △(t ).Ñëåäîâàòåëüíî,△ (t ) = △(t ) · Tr (A),′òî åñòü (èç 1)△(t ) = △(0) · e Tr (A)t = △0 · e Tr (A)t ,÷òî è òðåáîâàëîñü! çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî, ïîñêîëüêó âñå ðåøåíèÿ çàäà÷èÊîøè (7) îáðàçóþò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè N , òîëþáîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è - ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñòîëáöîâÏðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéìàòðèöûY (t ):y (t ) =ãäåCNXi =1Ci y [i ](t ) = Y (t ) · C ,- ïðîèçâîëüíûé âåêòîðC1. C = ..
.CN òî æå âðåìÿ ëåãêî âûðàçèòü âåêòîðy0 = Y (0)Còî åñòüC÷åðåçy0 := Y0 C ,C = Y0−1 · y0 .Ôîðìóëà (11) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáùåå ðåøåíèå ëèíåéíîé′ñèñòåìû Y = AY .(11)4. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòàÌû ââåëè ïîíÿòèå ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû ðåøåíèé çàäà÷èÊîøè äëÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé0y = Ay .Òåïåðü ïåðåíåñåì ýòî ïîíÿòèå íà ñëó÷àé îäíîãî óðàâíåíèÿâûñîêîãî ïîðÿäêà.Èòàê, âíîâü (ñì. 3, (6)):ãäåα1 , ..., αNLx = 0, t ∈ R 1 ;x (0) = α1 , ... , x (N−1) (0) = αN ,(1)- íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå.Çàäà÷à Êîøè (1) ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å Êîøè äëÿ ëèíåéíîéñèñòåìû ñïåöèàëüíîãî âèäà:0y = Ay , t ∈ R 1 ;y (0) = y0 ,(2)ãäå x(t)y1 (t)α1 x 0 (t) .. ..
y (t) = . = , y0 = . ,...yN (t)αN(N−1)x(t)Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòàA=ÍàéäåìN010001......00001001...000000−aN−aN−1..........−a2 −a1ëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (2):xk (t)y1k (t) 0 .. xk (t) [k]y (t) = . = ,...yN k (t)(N−1)xk(t)k = 1,...,N .Òîãäà ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (2)åñòåñòâåííî íàçâàòü òàêæå ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöåéÔóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòàðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (1):x1 (t).....Φ(t) = .(N−1)x1(t) . .
.xN (t)...(N−1).xN(3)(t)Åñòåñòâåííî, ÷òî äëÿ ìàòðèöû (3) ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà (10)èç 3:detΦ(t)òàê êàê= detΦ(0) · e Tr (A)·t = detΦ0 · e −a1 t ,(4)Tr (A) = −a1 .Ôîðìóëà (4) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ëèóâèëëÿ, à detΦ(t) îïðåäåëèòåëåì Âðîíñêîãî, èëè âðîíñêèàíîì, è îáîçíà÷àåòñÿîáû÷íî ÷åðåçW (t),òî åñòü (ñì. (4))W (t) = detΦ(t) = e −a1 t · W (0) = e −a1 t W0 .Âåðíåìñÿ ñíîâà ê çàäà÷å Êîøè äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû0y = Ay ,y (0) = y0t ∈ R 1;0y = Ay :(5)Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòàè îáñóäèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöûðåøåíèéY (t)çàäà÷è Êîøè (5).Íàïîìíèì, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (5) çàäàåòñÿ ôîðìóëîé(ñì. 2):∞ kXt kA ) · y0 ,y (t) = (k=0k!(6)ëèáî ôîðìóëîé (ñì.
3):y (t) = Y (t) · Y −1 (0) · y0 .ÏóñòüY (t)(5), òî åñòü(7)- ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ðåøåíèé çàäà÷è ÊîøèY (t)ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è Êîøèäëÿ ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ:0Y (t) = AY (t), t ∈ R 1Y (0) = Y0 , detY0 6= 0.(8)Òàê êàê (ñì. ôîðìóëó (10) èç 3):4(t) = detY (t) 6= 0,Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòàòî∃Y −1 (t).ÏîñêîëüêóY −1 (t) · Y (t) = IN ,òîddY −1dY(Y −1 · Y ) =Y + Y −1=0 ⇒dtdtdt⇒Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöàdY −1= −Y −1 · A.dtY −1 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåìçàäà÷è Êîøèñëåäóþùåãî âèäà:dY −1dtY−1= −Y −1 A,(0) = Y0−1 .Íàéäåì ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (8)[1],[2]íà÷àëüíûì äàííûì Y0.t ∈ R 1;Y [1],[2] (t),(9)îòâå÷àþùèådd(Y [1] )−1dY [2][(Y [1] )−1 Y [2] ] =· Y [2] + (Y [1] )−1 ·=0dtdtÔóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöàdtè ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòàâ ñèëó (8), (9).Ñëåäîâàòåëüíî,(Y [1] (t))−1 Y [2] (t) = B,ãäåBB = (Y0[1] )−1 Y0[2] ,- ïîñòîÿííàÿ ìàòðèöà, detB6= 0,òî åñòüY [2] (t) = Y [1] (t)B.(10)Ìû äîêàçàëè, ÷òî åñëè èçâåñòíà êàêàÿ-ëèáî ôóíäàìåíòàëüíàÿ[1]ìàòðèöà ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (5) Y (t), òî ëþáàÿ äðóãàÿ[2]ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (5) Y (t)ìîæåò áûòü íàéäåíà ïî ôîðìóëå (10).[2][1] −1 ÷àñòíîñòè, ïóñòü Y0 (t) = IN è B = (Y0 ) .
ÒîãäàY [2] (t) = Y [1] (t)(Y0[1] )−1 .Ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäè âñåõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ìàòðèö ìûâûäåëèëè òó, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè (8) ñíà÷àëüíûìè äàííûìèY (0) = IN .Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòàÊàê è â ñëó÷àå âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿ0y = Ay ,äëÿ çàäà÷èÊîøè (8) ìîæíî íàïèñàòü ôîðìóëó ðåøåíèÿ àíàëîãè÷íîôîðìóëå (6) (èáî (8) ñâîäèòñÿ ê (5))Y (t) = IN +t1!tkAIN + ... +k!Ak IN + ... =∞ kXtk=0k!Ak .(11)Íàïîìíèì, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (8) âûïèñàíî äëÿ ñëó÷àÿY (0) = IN .Ñðàâíèì òåïåðü ðÿä (11) ñ ðÿäîì Ìàêëîðåíà äëÿýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèèeate at :=∞ kXtk=0ãäåak!ak ,- íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.Íàçîâåì ïî àíàëîãèèY (t) = eAt=∞ kXtk=0k!Ak ,0(11 )Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòàìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòîé.Ïîëó÷èì îöåíêó íîðìû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûÒàê êàê||Ak || ≤ ||A||kè||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||0(11 ).(óïðàæíåíèå -äîêàçàòü!), ïîëó÷èì||Y (t)|| ≤∞X|t|kk=0k!||A||k = e |t|·||A|| .(12)Äîêàæåì òåïåðü, ÷òîe tA · A = Ae tA ,(13)êîòîðîå î÷åâèäíî, íî äàäèì äðóãîé âàðèàíò.d tAde tA(e A) =A = Ae tA A = A(e tA A)dtdtèdde tA(Ae tA ) = A= A · Ae tA = A(Ae tA ).dtdtÔóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòàÊðîìå òîãî, ïðèt=0èìååì:(e tA · A)t=0 = (Ae tA )t=0 = A.Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöûe tA AèAe tAóäîâëåòâîðÿþò îäíîé èòîé æå çàäà÷å Êîøè (8):0Y (t) = AY (t), t ∈ R 1 ;Y (0) = Y0 (= A).0(8 ) ñèëó òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè èññëåäóåìûå ìàòðèöûñîâïàäàþò.Äàëåå, èç ôîðìóëû (10) (ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
