Главная » Просмотр файлов » 1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930

1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 5

Файл №826746 1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (2018- Слайды Ткачев) 5 страница1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746) страница 52021-01-26СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

 , ..  yNóäîâëåòâîðÿþùèé ñèñòåìå (5).x N −1Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéÎáðàòíî, åñëè íàì èçâåñòíî êàêîå-ëèáî ðåøåíèå ñèñòåìû (5): y= y (t ) = y1..  ,.yNòî, îáîçíà÷àÿ ïåðâóþ êîìïîíåíòó y1 âåêòîðà ÷åðåç x , ìû èçïåðâûõ N − 1 óðàâíåíèé ñèñòåìû (5) íàéäåì ïîñëåäîâàòåëüíî:y2 (t ) = x (t ), ..., yN (t ) = x N −1 (t ).′Ïîñëåäíåå æå óðàâíåíèå ñèñòåìû (5) ïåðåïèøåì òàê:x (N ) (t ) + a1 x (N −1) (t ) + ... + aN x (t ) = 0,òî åñòü y1 = y1 (t )(= x (t )) óäîâëåòâîðÿåò (3).Èòàê, óðàâíåíèå (3) è ñèñòåìà (5) ýêâèâàëåíòíû.Ñèñòåìó (5) çàïèøåì â âåêòîðíîì âèäåy′= AyÏðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéñ ìàòðèöåé A:0 0A= 0 0−aN1000−aN −10 ...1 ......0 ...0 ......0010− a200 .0 1 − a1Äëÿ óðàâíåíèÿ (3) ïîñòàâèì çàäà÷ó Êîøè (ñì.

Ÿ1):Lx = 0, t ∈ R 1 ;x (0) = x1 , x ′ (0) = x2 ,... , x (N −1) (0) = xN ,(6)ãäå xk , k = 1,...,N - íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå.Çàìå÷àíèå 1. Êàê è â ñëó÷àå çàäà÷è Êîøè (2) èç Ÿ2, ìûïîëàãàåì, íå íàðóøàÿ îáùíîñòè, ÷òî íà÷àëüíûå óñëîâèÿ â (6)ïîñòàâëåíû ïðè t = 0.Ïîíÿòíî, ÷òî çàäà÷à Êîøè (6) ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å Êîøè äëÿÏðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéñèñòåìû (5)Çäåñüy0y ′ = Ay , t ∈ R 1 ,y (0) = y0 .(7)x1  =  ...

.xNÒîãäà èç îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè (êîððåêòíîñòè) çàäà÷èÊîøè (7) ñëåäóåò îäíîçíà÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü (êîððåêòíîñòü)çàäà÷è Êîøè (6), à èìåííî: ∀ ïîñòîÿííûõ xk , k = 1,...,N ∃!ðåøåíèå x = x (t ) çàäà÷è Êîøè (6). ñëó÷àå xk = 0, k = 1,...,N , òàêèì ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ x (t ) ≡ 0.Î÷åâèäíî, ÷òî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (6) îáðàçóþò ëèíåéíîåïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè N .Ïðèìåðû. y0 −1y11d1) dt(ñì. Ÿ1,2).=y2y21 0 Ÿ2 ìû âûÿñíèëè, ÷òî ýòà ñèñòåìà èìååò äâàÏðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéëèíåéíîíåçàâèñèìûõ ðåøåíèÿ:y[ 1](t ) =y1[1]y2[1][2]y [2](t ) = yy1[2]2ïîñêîëüêó ïðè==os t,sin t− sin t,os tt = 0 âåêòîðûy0[1] 10[2]=è y0 =01ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîðû y [1] (t ), y [2] (t ) ìîæíî ïðèíÿòü çà áàçèñ âïðîñòðàíñòâå ðåøåíèé (åãî dim = 2), à çíà÷èò, ðåøåíèå çàäà÷èÊîøè äëÿ ýòîé ñèñòåìû ñ ïðîèçâîëüíûìè íà÷àëüíûìèóñëîâèÿìè y1 (0)y (0) = y (0) = y0 = yy10202Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéïðåäñòàâèìî òàê (ñì.

Ÿ2):y (t ) =y1 (t )y2 (t )= y10 · y [1] (t ) + y20 · y [2] (t ).2) àññìîòðèì óðàâíåíèåx′′′− 4x + x + 6x = 0.′′′Íåïîñðåäñòâåííî íàõîäèì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ:x = e 2t ,x = e 3t .Ïîêàæåì, ÷òî îðìóëà(8)x (t ) = e −t ,x (t ) = C1 e −t + C2 e 2t + C3 e 3t ,ãäå Ci ∈ R 1 - ïðîèçâîëüíû, ïîçâîëÿåò íàéòè ðåøåíèå çàäà÷èÊîøè ñ ëþáûìè íà÷àëüíûìè äàííûìè (òî åñòü ýòà îðìóëàîïðåäåëÿåò îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (8), ñì. Ÿ1). ñàìîì äåëå, òàê êàê ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ (8)îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíî íà÷àëüíûìè çíà÷åíèÿìè x1,2,3 , òîÏðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéíåîáõîäèìî, ÷òîáûx (0) = C1 + C2 + C3 = x1 ,x (0) = −C1 + 2C2 + 3C3 = x2 ,′′x (0) = C1 + 4C2 + 9C3 = x3 .Òàê êàê det 6= 0 ⇒ C1,2,3 íàõîäÿòñÿ!′3) Íàêîíåö, åùå ðàç âñïîìíèì óðàâíåíèåx′= axèç Ÿ1.Ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿîäíîðîäíî, à îáùåå ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå (ñì.

Ÿ1)x = C · e at ,ãäå C - ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.åøåíèå çàäà÷è Êîøè òàêîâî:x (t ) = x1 · e at , x (0) = x1 .Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéÂåðíåìñÿ âíîâü ê çàäà÷å Êîøè (7). Ïóñòü {y [k ] (t ), k = 1,...,N } ñèñòåìà èç N ëèíåéíîíåçàâèñèìûõ ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (1).Ñîñòàâèì ìàòðèöóY (t ) = (y [1] (t ), ..., y [N ] (t )).Î÷åâèäíî, ÷òî detY (t ) 6= 0 ∀t ∈ R 1 , â òîì ÷èñëå è ïðè t = 0:detY (0) 6= 0, ãäåY (0) = (y0[1] , ..., y0[N ] ) = Y0 - ìàòðèöà, ñîñòàâëåííàÿ èç Nëèíåéíîíåçàâèñèìûõ íà÷àëüíûõ âåêòîðîâ.Òàê êàêd [k ]y (t ) = Ay [k ] (t ), k = 1,...,N,dtòî ýòè N âåêòîðíûõ ñèñòåì ìîæíî îáúåäèíèòü â îäíóìàòðè÷íóþ ñèñòåìó (ñì. Ÿ1):Y (t ) = A · Y′è äëÿ íåå ïîñòàâèòü çàäà÷ó Êîøè: ′Y = AY ,Y (0) = Y0 ,t ∈ R1(9)Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéãäå Y0 - ïðîèçâîëüíàÿ íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà (õîòÿ,åñòåñòâåííî, çàäà÷ó Êîøè (9) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñ ëþáîéìàòðèöåé Y0 ).Îïðåäåëåíèå 1.

Ìàòðèöà Y (t ) íàçûâàåòñÿ óíäàìåíòàëüíîéìàòðèöåé ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (1).Äëÿ çàäà÷è Êîøè (9) èìååò ìåñòî îäíîçíà÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü(êîððåêòíîñòü, ñì. Ÿ2): äëÿ ëþáîé ìàòðèöû Y0 , detY0 6= 0∃Y (t ), ýëåìåíòû êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè èíåïðåðûâíîäèåðåíöèðóåìûìè óíêöèÿìè, îïðåäåëåííûìè∀t ∈ R , è òàêàÿ, ÷òîY (t ) = AY (t ), Y (0) = Y0 .′Ýòèìè óñëîâèÿìè Y (t ) îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî.Äîêàæåì ñëåäóþùóþ îðìóëó: íà ðåøåíèÿõ çàäà÷è Êîøè (9)âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå△(t ) = △0 · exp {Tr (A) · t },(10)Ïðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéãäå △(t ) =detY (t ), △0 =detY0 ,Tr (A) =NXk =1akk- ñëåä ìàòðèöû A.Êñòàòè, èç (10) ñëåäóåò óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî ìàòðèöà Y (t ),ñîñòàâëåííàÿ èç N ëèíåéíîíåçàâèñèìûõ ðåøåíèé çàäà÷èÊîøè (7), íåâûðîæäåííàÿ.Âåðíåìñÿ ê (10).

Èìååì:y11 . . . y 1N ....  .. NX′′′ △ (t ) =det yk 1 . . . yk N . .... k =1 .. yN 1 . . . yNNÒàê êàêykl′=NXj =1akj · yjl (t ), l = 1,...,N,òîÏðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéy11... .. . ′det yk 1 .. ....yN 1...y 1Ny11 ....  .. NX′yk N  = akj · det  yj 1 ....  j =1 .. yN 1yNN.........y 1N.. . yj N =.. . yNN= akk · detY (t ) = akk · △(t ).Ñëåäîâàòåëüíî,△ (t ) = △(t ) · Tr (A),′òî åñòü (èç Ÿ1)△(t ) = △(0) · e Tr (A)t = △0 · e Tr (A)t ,÷òî è òðåáîâàëîñü! çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî, ïîñêîëüêó âñå ðåøåíèÿ çàäà÷èÊîøè (7) îáðàçóþò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè N , òîëþáîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è - ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñòîëáöîâÏðîñòðàíñòâî è óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèéìàòðèöûY (t ):y (t ) =ãäåCNXi =1Ci y [i ](t ) = Y (t ) · C ,- ïðîèçâîëüíûé âåêòîðC1. C = ..

 .CN òî æå âðåìÿ ëåãêî âûðàçèòü âåêòîðy0 = Y (0)Còî åñòüC÷åðåçy0 := Y0 C ,C = Y0−1 · y0 .Ôîðìóëà (11) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáùåå ðåøåíèå ëèíåéíîé′ñèñòåìû Y = AY .(11)Ÿ4. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòàÌû ââåëè ïîíÿòèå ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû ðåøåíèé çàäà÷èÊîøè äëÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé0y = Ay .Òåïåðü ïåðåíåñåì ýòî ïîíÿòèå íà ñëó÷àé îäíîãî óðàâíåíèÿâûñîêîãî ïîðÿäêà.Èòàê, âíîâü (ñì. Ÿ3, (6)):ãäåα1 , ..., αNLx = 0, t ∈ R 1 ;x (0) = α1 , ... , x (N−1) (0) = αN ,(1)- íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå.Çàäà÷à Êîøè (1) ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å Êîøè äëÿ ëèíåéíîéñèñòåìû ñïåöèàëüíîãî âèäà:0y = Ay , t ∈ R 1 ;y (0) = y0 ,(2)ãäå x(t)y1 (t)α1 x 0 (t)  ..   ..

y (t) =  .  =  , y0 =  .  ,...yN (t)αN(N−1)x(t)Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòàA=ÍàéäåìN010001......00001001...000000−aN−aN−1..........−a2 −a1ëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (2):xk (t)y1k (t) 0 ..   xk (t) [k]y (t) =  .  = ,...yN k (t)(N−1)xk(t)k = 1,...,N .Òîãäà ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (2)åñòåñòâåííî íàçâàòü òàêæå ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöåéÔóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòàðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (1):x1 (t).....Φ(t) = .(N−1)x1(t) . .

.xN (t)...(N−1).xN(3)(t)Åñòåñòâåííî, ÷òî äëÿ ìàòðèöû (3) ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà (10)èç Ÿ3:detΦ(t)òàê êàê= detΦ(0) · e Tr (A)·t = detΦ0 · e −a1 t ,(4)Tr (A) = −a1 .Ôîðìóëà (4) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ëèóâèëëÿ, à detΦ(t) îïðåäåëèòåëåì Âðîíñêîãî, èëè âðîíñêèàíîì, è îáîçíà÷àåòñÿîáû÷íî ÷åðåçW (t),òî åñòü (ñì. (4))W (t) = detΦ(t) = e −a1 t · W (0) = e −a1 t W0 .Âåðíåìñÿ ñíîâà ê çàäà÷å Êîøè äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû0y = Ay ,y (0) = y0t ∈ R 1;0y = Ay :(5)Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòàè îáñóäèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöûðåøåíèéY (t)çàäà÷è Êîøè (5).Íàïîìíèì, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (5) çàäàåòñÿ ôîðìóëîé(ñì. Ÿ2):∞ kXt kA ) · y0 ,y (t) = (k=0k!(6)ëèáî ôîðìóëîé (ñì.

Ÿ3):y (t) = Y (t) · Y −1 (0) · y0 .ÏóñòüY (t)(5), òî åñòü(7)- ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ðåøåíèé çàäà÷è ÊîøèY (t)ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è Êîøèäëÿ ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ:0Y (t) = AY (t), t ∈ R 1Y (0) = Y0 , detY0 6= 0.(8)Òàê êàê (ñì. ôîðìóëó (10) èç Ÿ3):4(t) = detY (t) 6= 0,Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòàòî∃Y −1 (t).ÏîñêîëüêóY −1 (t) · Y (t) = IN ,òîddY −1dY(Y −1 · Y ) =Y + Y −1=0 ⇒dtdtdt⇒Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöàdY −1= −Y −1 · A.dtY −1 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåìçàäà÷è Êîøèñëåäóþùåãî âèäà:dY −1dtY−1= −Y −1 A,(0) = Y0−1 .Íàéäåì ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (8)[1],[2]íà÷àëüíûì äàííûì Y0.t ∈ R 1;Y [1],[2] (t),(9)îòâå÷àþùèådd(Y [1] )−1dY [2][(Y [1] )−1 Y [2] ] =· Y [2] + (Y [1] )−1 ·=0dtdtÔóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöàdtè ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòàâ ñèëó (8), (9).Ñëåäîâàòåëüíî,(Y [1] (t))−1 Y [2] (t) = B,ãäåBB = (Y0[1] )−1 Y0[2] ,- ïîñòîÿííàÿ ìàòðèöà, detB6= 0,òî åñòüY [2] (t) = Y [1] (t)B.(10)Ìû äîêàçàëè, ÷òî åñëè èçâåñòíà êàêàÿ-ëèáî ôóíäàìåíòàëüíàÿ[1]ìàòðèöà ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (5) Y (t), òî ëþáàÿ äðóãàÿ[2]ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (5) Y (t)ìîæåò áûòü íàéäåíà ïî ôîðìóëå (10).[2][1] −1 ÷àñòíîñòè, ïóñòü Y0 (t) = IN è B = (Y0 ) .

ÒîãäàY [2] (t) = Y [1] (t)(Y0[1] )−1 .Ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäè âñåõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ìàòðèö ìûâûäåëèëè òó, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè (8) ñíà÷àëüíûìè äàííûìèY (0) = IN .Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòàÊàê è â ñëó÷àå âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿ0y = Ay ,äëÿ çàäà÷èÊîøè (8) ìîæíî íàïèñàòü ôîðìóëó ðåøåíèÿ àíàëîãè÷íîôîðìóëå (6) (èáî (8) ñâîäèòñÿ ê (5))Y (t) = IN +t1!tkAIN + ... +k!Ak IN + ... =∞ kXtk=0k!Ak .(11)Íàïîìíèì, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (8) âûïèñàíî äëÿ ñëó÷àÿY (0) = IN .Ñðàâíèì òåïåðü ðÿä (11) ñ ðÿäîì Ìàêëîðåíà äëÿýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèèeate at :=∞ kXtk=0ãäåak!ak ,- íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.Íàçîâåì ïî àíàëîãèèY (t) = eAt=∞ kXtk=0k!Ak ,0(11 )Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòàìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòîé.Ïîëó÷èì îöåíêó íîðìû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûÒàê êàê||Ak || ≤ ||A||kè||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||0(11 ).(óïðàæíåíèå -äîêàçàòü!), ïîëó÷èì||Y (t)|| ≤∞X|t|kk=0k!||A||k = e |t|·||A|| .(12)Äîêàæåì òåïåðü, ÷òîe tA · A = Ae tA ,(13)êîòîðîå î÷åâèäíî, íî äàäèì äðóãîé âàðèàíò.d tAde tA(e A) =A = Ae tA A = A(e tA A)dtdtèdde tA(Ae tA ) = A= A · Ae tA = A(Ae tA ).dtdtÔóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòàÊðîìå òîãî, ïðèt=0èìååì:(e tA · A)t=0 = (Ae tA )t=0 = A.Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöûe tA AèAe tAóäîâëåòâîðÿþò îäíîé èòîé æå çàäà÷å Êîøè (8):0Y (t) = AY (t), t ∈ R 1 ;Y (0) = Y0 (= A).0(8 ) ñèëó òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè èññëåäóåìûå ìàòðèöûñîâïàäàþò.Äàëåå, èç ôîðìóëû (10) (ñì.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
5,03 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее