Главная » Просмотр файлов » 1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930

1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 10

Файл №826746 1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (2018- Слайды Ткачев) 10 страница1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746) страница 102021-01-26СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

 = A(t)4y , 4y =  ... ,4fN4yN÷.ò.ä.Ëåììà Àäàìàðà. Òåîðåìà Ëèíäëåôà - ÏèêàðàÑëåäñòâèå 1.Ïóñòü êðîìå óñëîâèé ëåììû âûïîëíåíî åùå íåðàâåíñòâîkz − w k ≤ Nk ·ÒîãäàtZkZ4f (τ )dτ k = k0≤Z0t|t|k.k!tA(τ )4y (τ )dτ k ≤0|t|k+1kA(τ )k · k4y (τ )kdτ ≤ L · Nk ·.(k + 1)!Ïðèñòóïèì ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ.Îïðåäåëèì ñëåäóþùóþ áåñêîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüôóíêöèé, çàäàííûõ ïðè|t| ≤ T0 :y [0] (t) = 0,Rty [1] (t) = 0 f (τ , y [0] (τ ))dτ ,...Rty [k] (t) = 0 f (τ , y [k−1] (τ ))dτè ò.ä.Ëåììà Àäàìàðà. Òåîðåìà Ëèíäëåôà - ÏèêàðàÎ÷åâèäíî, ÷òîky [0] (t)k ≤ Rïðè|t| ≤ T0 .Ïðåäïîëîæèì, ÷òîky [k−1] (t)k ≤ RÒîãäà,ky[k]ïðè|t| ≤ T0 .kf (t, y [k−1] (t))k ≤ F(t)k ≤ Z0tèkf (τ , y [k−1] (τ ))kdτ ≤≤ F |t| ≤ FT0 ≤ FR≤ R.FÈòàê, äîêàçàíî, ÷òîky [k] (t)k ≤ Rky [k] (t)k ≤ F |t|ïðèè|t| ≤ T0 .Ëåììà Àäàìàðà.

Òåîðåìà Ëèíäëåôà - ÏèêàðàÏîêàæåì, ÷òî{y [k] (t)}íåïðåðûâíîé ôóíêöèèïîñëåäîâàòåëüíîñòüy = y (t)íà⇒ê íåêîòîðîé|t| ≤ T0 .Ðàññìîòðèì ðÿäkXy [i] (t) − y [i−1] (t) = y [k] (t).i=1Èòàê, ýòîò ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ⇔ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü{y [k] (t)} ⇒ y (t).Òàê êàêy[i+1]Z[i](t) − y (t) =tf (τ , y [i] (τ )) − f (τ , y [i−1] (τ )) dτ =0Z=tA(τ ) y [i] (τ ) − y [i−1] (τ ) dτ ,0òî èìååìky [1] (t) − y [0] (t)k = ky [1] (t)k ≤ F |t|,Ëåììà Àäàìàðà.

Òåîðåìà Ëèíäëåôà - Ïèêàðàky [2] (t) − y [1] (t)k ≤ FL|t|22,...ky [i+1] (t) − y [i] (t)k ≤ FLi|t|i+1.(i + 1)!|t| ≤ T0 :Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèky [i+1] (t) − y [i] (t)k ≤F Li |t|i F (LT0 )i≤ ·.L i!Li!Òàê êàê ðÿä∞XFk=1ñõîäèòñÿ, òî èL·F LT0(LT0 )k=(e− 1)!k!L{y [i] (t)} ⇒ y (t).Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ñîîòíîøåíèè[i]Zy (t) =0tf (τ , y [i−1] (τ ))dτ ,Ëåììà Àäàìàðà. Òåîðåìà Ëèíäëåôà - Ïèêàðàïîëó÷èìZty (t) =(3)f (τ , y (τ ))dτ .0ky [i] (t)k ≤ F |t| ≤ R , òî(3) ïî t , ïîëó÷àåì: 0y (t) = f (t, y )y (0) = 0Ïðè ýòîì, òàê êàêÄèôôåðåíöèðóÿèky (t)k ≤ R .Åäèíñòâåííîñòü.Äîêàçàòåëüñòâî âåäåì îò ïðîòèâíîãî: ïóñòü åñòü äâà ðåøåíèÿz(t)èw (t),óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì:kz(t)k, kw (t)k ≤ R,0z (t) = f (t, z(t)),Òîãäà, äëÿz(0) = w (0) = 0,0w (t) = f (t, w (t)).4y = z(t) − w (t)0(4y ) = A(t)4y (t)4y (0) = 0Ëåììà Àäàìàðà. Òåîðåìà Ëèíäëåôà - ÏèêàðàèkA(t)k ≤ L.Òåïåðü åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ñëåäóåò èç òåîðåìûåäèíñòâåííîñòè äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì.Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíàÒåîðåìà Ëèíäëåôà - ÏèêàðàÅñëè ïðàâàÿ ÷àñòü ñèñòåìû óðàâíåíèé (1) óäîâëåòâîðÿåòóñëîâèÿì 1), 2), òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1) äëÿ íååñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.Çàìå÷àíèå 3.Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòüðåøåíèå çàäà÷è Êîøè ñ ëþáîé çàäàííîé òî÷íîñòüþ:y (t) = y [k] (t) + y [k+1] (t) − y [k] (t)++ y [k+2] (t) − y [k+1] (t) + ...

⇒ky (t) − y [k] (t)k ≤ ky [k+1] (t) − y [k] (t)k++ ky [k+2] (t) − y [k+1] (t)k + ... ≤Ëåììà Àäàìàðà. Òåîðåìà Ëèíäëåôà - Ïèêàðà≤F·Lk T0k+1Lk+1 T0k+2++ ... .(k + 1)!(k + 2)!(4)Çàìå÷àíèå 5.Äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ äîñòàòî÷íî ëèøüóñëîâèÿ 1). Îäíàêî äëÿ åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ 1)íåäîñòàòî÷íî: òðåáóþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ íàf (t, y )(íàïðèìåð óñëîâèÿ 2)).Âîîáùå ãîâîðÿ, óñëîâèå 2) ìîæíî íåñêîëüêî îñëàáèòü, íîâîîáùå áåç äîïîëíèòåüíûõ óñëîâèé îáîéòèñü íåëüçÿ.Ïðèìåð 1.N = 1,y ≥ t 2,ïðè |y | < t 2 ,f (t, y ) =−2t ïðè y ≤ −t 2 . 2tïðèy2ty (0) = 0Ëåììà Àäàìàðà. Òåîðåìà Ëèíäëåôà - Ïèêàðà2y=tf(t,y) = 2tyf(t,y) = _tyf(t,y) = _t0f(t,y) = -2t2y=-tÐèñ.

3Ëåììà Àäàìàðà. Òåîðåìà Ëèíäëåôà - ÏèêàðàËåãêî âèäåòü, ÷òîf (t, y ) íåïðåðûâíà âñþäó, â òîì ÷èñëåt = 0, y = 0.0Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ y (t) = f (t, y ) äàåòñÿ ôîðìóëîé: 200 t + C (C ≥ 0) ïðè y ≥ t 2 ,0000y (t) =C t 2 (|C | ≤ 1) ïðè |y | < t 2 ,000000−t 2 + C (C ≤ 0) ïðè y ≤ −t 2 .è âòî÷êåÒåïåðü î÷åâèäíî, ÷òî ó çàäà÷è Êîøè (1) áåñêîíå÷íî ìíîãî ýòîì0000y (t) = C t 2 (|C | ≤ 1).ñëó÷àå fy ñóùåñòâóåò ëèøü ïðè |y | =6 t 2! 0 ïðè y ≥ t 2 ,2ïðè |y | < t 2 ,fy = t0 ïðè y ≤ −t 2 .ðåøåíèé:Ÿ11.

Îáñóæäåíèå óòâåðæäåíèé ëîêàëüíîé òåîðåìûñóùåñòâîâàíèÿ. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿðåøåíèÿ â öåëîì. Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé. Òåîðåìà îïîêèäàíèè êîìïàêòàÄîêàçàëè òåîðåìó îá îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è Êîøè0y = f (t, y ),y (0) = 0,(1)ïðè íåêîòîðûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ïðàâîé ÷àñòèf (t, y ).Íàïîìíèì, ÷òî:1) f (t, y ) îïðåäåëåíàè íåïðåðûâíà âΩ̄ = {(t, y ) |t| ≤ T , ky k ≤ R}, ïðè ýòîì kf (t, y )k ≤ F â Ω̄.2) Êîýôôèöèåíòû ìàòðèöû fy (t, y ) îïðåäåëåíû è íåïðåðûâíûâ Ω̄ è kfy (t, y )k ≤ L.Òåîðåìà îá îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è Êîøè (1).Ïóñòü T0 = min{T , RF }. Òîãäà ïðè |t| ≤ T0 ñóùåñòâóåòíåïðåðûâíî - äèôôåðåíöèðóåìàÿ y (t) òàêàÿ, ÷òî âûïîëíåíî (1)Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé.

Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàèky (t)k ≤ F |t| ≤ FT0 ≤ R.Âåêòîð - ôóíêöèÿ y (t) îïðåäåëåíà óñëîâèÿìè 1), 2) îäíîçíà÷íî.Ïðèìåð 1 (N = 1).0y = 1 + t 2 + y 2 , y (0) = 0.Äëÿ ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû íóæíî çíàòü T , R . Ïóñòü T = 2,R = 5. Òîãäà |f (t, y )| ≤ 30, òî åñòü F = 30. Ïðè ýòîìT0 = min{2, 16 } = 16 .Èòàê, â òåîðåìå óòâåðæäàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ ïðè|t| ≤ 16 .Ïðåäïîëîæåíèå 2) âûïîëíåíî:|fy | ≤ 10 (= L).Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî ñèëüíîå îãðàíè÷åíèå íà äëèíó îòðåçêàìû ïîëó÷èëè ïîòîìó, ÷òî â ñàìîì íà÷àëå âûáðàëè íå î÷åíü6,áîëüøèå T , R . Ïóñòü T = 7, R = 10.

Òîãäà F = 150 è T0 = 25òî åñòü äëèíà îòðåçêà ïî t , íà êîòîðîì îïðåäåëåíî ðåøåíèåy (t) åùå ìåíüøå, ÷åì â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå.Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé. Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàÍà ñàìîì äåëå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè è íå ìîæåò áûòüîïðåäåëåíî ïðè âñåõ |t| < ∞.Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü t ≥ 0. Òîãäà000y = 1 + t 2 + y 2 , òî åñòü y ≥ 1 + y 2 , èëè {arctg y } ≥ 1.Îòñþäàarctg y (t) ≥ t, òî åñòü y (t) ≥ tg t.Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåðâàë ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ íå ìîæåòñîäåðæàòü îòðåçîê [0, π2 ], òàê êàê y (t) íà íåì íå ìîæåò áûòüîãðàíè÷åííûì, à ñëåäîâàòåëüíî, è íåïðåðûâíûì.

Ýòîò ïðèìåðïîêàçûâàåò, ÷òî äàæå åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü "õîðîøàÿ ôóíêöèÿ",íå âñåãäà ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøèîïðåäåëåíî ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ t .Òåì íå ìåíåå, ìîæíî óñòàíîâèòü íåêîòîðûå äîñòàòî÷íûåóñëîâèÿ íà f (t, y ) è íà íà÷àëüíûå äàííûå äîïîëíèòåëüíûå ê 1),2), êîòîðûå áû îáåñïå÷èâàëè ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ y = y (t)çàäà÷è Êîøè (1) ïðè ëþáûõ t ≥ 0. äàëüíåéøåì ðàññìàòðèâàþòñÿ ëèøü ÷àñòíûå ñëó÷àè çàäà÷èÏðîäîëæåíèå ðåøåíèé. Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàÊîøè (1), à èìåííî:0t > 0,y = f (y ),y (0) = y0 .0(1 )≡ Àâòîíîìíûå ñèñòåìû.Êðèòåðèé ïðèíàäëåæèò À.Ì. Ëÿïóíîâó.Èñïîëüçóþòñÿ âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèèH(y ) = H(y1 , ...

, yN ):Ë.1) Ôóíêöèÿ H(y ) îïðåäåëåíà ïðè ky k ≤ R è ÿâëÿåòñÿ âíóòðèè íà ãðàíèöå ýòîãî øàðà íåïðåðûâíîé è èìåþùåé íåïðåðûâíûå÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå∂H, j = 1,...,N .∂yjË.2) H(y ) ≥ 0 ïðè ky k ≤ R , ïðè÷åì H(0) = 0 è H(y ) > 0 ïðè0 < ky k < R .Ë.3) Íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ J(y ):J(y ) = −NXi=1fi (y )∂H∂iiÏðîäîëæåíèå ðåøåíèé.

Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ J(y ) ≥ 0 ïðè ky k ≤ R .0Èíîãäà âìåñòî Ë.3 ðàññìàòðèâàþò åãî óñèëåíèå (óñëîâèå Ë.3 ):0Ë.3 ) Íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ J(y ), îïðåäåëåííàÿ â óñëîâèè Ë.3)â äîïîëíåíèå ê íåðàâåíñòâóJ(y ) ≥ 0 ïðè ky k ≤ Róäîâëåòâîðÿåò åùå óñëîâèþ J(y ) > 0 ïðè 0 < ky k ≤ R .Áåç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è0Êîøè (1 ) â öåëîì, òî åñòü ïðè âñåõ T ≥ 0 (ñì.

Ãîäóíîâ ñòð.145-150).Òåîðåìà 1.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò H(y ) òàêàÿ, ÷òî âûïîëíåíûË.1), Ë.2), Ë.3).  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî âûáðàòü òàêîå ρ0(0 < ρ0 < R ), ÷òî åñëè ky0 k ≤ ρ0 , òî ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ y = y (t), îïðåäåëåííàÿ ïðèëþáîì t ≥ 0, óäîâëåòâîðÿþùàÿ íåðàâåíñòâó ky (t)k ≤ R è0òàêàÿ, ÷òî y (0) = y0 , y = f (y )(ìû, åñòåñòâåííî, ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü F (y )óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1), 2), îáåñïå÷èâàþùèõÏðîäîëæåíèå ðåøåíèé.

Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ).0Åñëè æå ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ñïðàâäåëèâî åùå è Ë.3 ), òîy (t) → 0 ïðè t → ∞.Ðàçúÿñíèì, êàêîâ ñìûñë ôóíêöèè J(y ).Ïóñòü íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå ïî t îïðåäåëåíî ðåøåíèå y (t)0óðàâíåíèÿ y = f (y ).Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ϕ(t) = H y (t) è âû÷èñëèì åå0ïðîèçâîäíóþ ϕ (t).N X ∂H dyidy (t)=ϕ (t) = H y (t) =dt∂yidt0i=1=NX∂Hi=1òî åñòü− J y (t)∂yifi = −J y (t) , ïðîèçâîäíàÿ ïî t îò H(y ) âäîëü0ðåøåíèÿ y (t) çàäà÷è Êîøè (1 ).Òîãäà, åñëè J(y ) ≥ 0, òî ñ ðîñòîì t ϕ(t) íå âîçðàñòàåò.Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé. Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàÌîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ H(y ) ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿäëÿ îöåíêè íîðìû âåêòîðà y è ïîýòîìó íåâîçðàñòàíèå H(y )ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ðåøåíèå y (t)îãðàíè÷åíî.Íàïîìíèì, ÷òî â ïðèâåäåííîì âûøå ïðèìåðå 0y = 1 + t 2 + y 2,y (0) = y0èìåííî íåîãðàíè÷åííîå âîçðàñòàíèå y = y (t) íà êîíå÷íîìèíòåðâàëå áûëî ïðè÷èíîé òîãî, ÷òî y (t) íåëüçÿ áûëîîïðåäåëèòü ïðè âñåõ t .Ïðèìåð 2.0y1 = −y2 − y13 ,0y2 = y1 − y23 ,0(Óäîâëåòâîðÿåò Ë.1), Ë.2), Ë.3), Ë.3 !)H(y ) = y12 + y22 = ky k2 ,Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé.

Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàJ(y ) = 2(y14 + y24 ).Î÷åâèäíî, ÷òî óñëîâèÿ ëîêàëüíîé òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ(óñëîâèÿ 1), 2) ) âûïîëíåíû ïðè ëþáîì R > 0.Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè ñóùåñòâóåò ïðè âñåõ t ≥ 0 è ëþáûõíà÷àëüíûõ äàííûõ.Ïðèìåð 3.Äëÿ ñèñòåìû0y1 = −y2 ,0y2 = y1H(y ) = y12 + y22 . Òîãäà J(y ) = 0. Óñëîâèÿ 1), 2) âûïîëíåíû ïðè0ëþáîì R > 0, óñëîâèÿ Ë.1), Ë.2), Ë.3) âûïîëíåíû (íî íå Ë.3 ).Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ â öåëîì ïî t ñïðàâåäëèâà, íîóòâåðæäàòü, ÷òî ïðè t → ∞ âñå ðåøåíèÿ → 0 ìû íå ìîæåì.Îïðåäåëåíèå 1.H(y ) - ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà.Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé. Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòà.Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè0y = f (x, y ) â G - îáëàñòè â R N ,(2)Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé.

Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòày (x0 ) = y0 ,(x0 , y0 ) ∈ G .(3)Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ f (x, y ) íåïðåðûâíà â îáëàñòè G .Îïðåäåëåíèå 2.G - îáëàñòü åäèíñòâåííîñòè äëÿ óðàâíåíèÿ (2), åñëè äâà ëþáûõðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2) (èõ ãðàôèêè ïðèíàäëåæàò îáëàñòè G !),îïðåäåëåííûå íà ïðîìåæóòêå < a, b > è ñîâïàäàþùèå ïðèíåêîòîðîì x0 ∈< a, b >, ñîâïàäàþò íà âñåì ïðîìåæóòêå< a, b >.Äàæå ïðè ýòîì íåëüçÿ óòâåðæäàòü, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè(2), (3) åäèíñòâåííî, òàê êàê ðåøåíèÿ ìîãóò îòëè÷àòüñÿîáëàñòÿìè îïðåäåëåíèÿ.Ïðèìåð 4.0y =yy (0) = 1.(4)Òîãäà e x : (−1, 1) → R + è e x : (−2, 2) → R + - ðåøåíèÿ çàäà÷èÊîøè (4).Ïîëíîå æå ðåøåíèå y (x) = e x îïðåäåëåíî ïðè âñåõ x ∈ R .Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé. Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàÎïðåäåëåíèå 3.Ðåøåíèå ϕ : < a, b >→ R n ïðîäîëæèìî âïðàâî çà òî÷êó b , åñëèñóùåñòâóåò ðåøåíèåψ : < a1 , b1 >→ R n , b1 > b , ñóæåíèå êîòîðîãî íà < a, b >ñîâïàäàåò ñ ϕ (ψ - ïðîäîëæåíèå ðåøåíèÿ ϕ âïðàâî).Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèå ðåøåíèÿ âëåâî.ÑïðàâåäëèâàÒåîðåìà 2.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðåøåíèå ϕ : [a, b) → R n ïðîäîëæàëîñü âïðàâî,íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàë êîíå÷íûé ïðåäåë:∃ lim ϕ(x) = η,x→b−0(b, η) ∈ G .Äîêàçàòåëüñòâî.1.Íåîáõîäèìîñòü ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ 2.2.Äîñòàòî÷íîñòü.Ïóñòü ϕ1 : (α, β) → R n , b ∈ (α, β) - ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2) ñíà÷àëüíûìè äàííûìè (b, η), òî åñòü ϕ1 (b) = η . ñèëó òåîðåìû Ïåàíî ñóùåñòâóåò ðåøåíèå ñôîðìóëèðîâàííîéçàäà÷è Êîøè.Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
5,03 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее