1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Áîëååòîãî, èç ýòèõ íåðàâåíñòâ, êàê áûëî ïîêàçàíî, ñëåäóåò, ÷òîK y (t) ≥ β > 0.Ïî ñëåäñòâèþ 1 íà ýòîì îòðåçêåF y (t) ≥ γ(β) > 0,÷òî ïðèâîäèò ê íåðàâåíñòâàì:dK y (t) = F y (t) ≥ γ(β) > 0,dtK y (t) ≥ β + γ(β)(t − t1 ) ïðè t1 ≤ t ≤ t2 .Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì Ëÿïóíîâà è ×åòàåâàÏåðåõîäèì ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû ×åòàåâà.Îò ïðîòèâíîãî. Äîïóñòèì, ÷òî åñòü óñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâó.Ïðè ýòîì äëÿ íåêîòîðîãîε(0< ε < R)ñóùåñòâóåòδ > 0,òàêîå÷òî ëþáîå y (t)ky (0)k < δ < R- ðåøåíèå ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè èç øàðàïðè âñåõ òàêèõt≤t<∞ky (t)k < ε < R .ìîæíî ïðîäîëæèòü íà èíòåðâàë 0ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîèßñíî, ÷òî âäîëü ýòîãî ðåøåíèÿK y (t) ≤maxky k≤RK (y )îãðàíè÷åíî ñâåðõó.Âûáåðåì y (t), âûõîäÿùåå ïðè t = 0 èç íà÷àëüíîé òî÷êèy (0) = y [δ] òàêîé, ÷òî K (y [δ] ) ≥ 0, 0 < ky [δ] k < δ . Ïðè ýòîìF (y [δ] ) > 0.Èç íåïðåðûâíîñòè y (t) è F y (t) âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèåîòðåçêà 0 ≤ t ≤ t1 òàêîãî, ÷òî âî âñåõ åãî òî÷êàõ 1F y (t) ≥ F (y [δ] ) > 0.2Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì Ëÿïóíîâà è ×åòàåâàÍà ýòîì îòðåçêå 1dK y (t) = F y (t) ≥ F (y [δ] ) > 0,dt2 11K y (t) ≥ K y (0) + F (y [δ] )t ≥ F (y [δ] ).22 ÷àñòíîñòè, t1K y (t1 ) ≥ F (y [δ] ) ≡ β > 0.2t ≥ t1 ñïðàâåäëèâîK y (t) ≥ β + γ(β)(t − t1 ).Ñëåäîâàòåëüíî, K y (t) íå ìîæåò áûòü îãðàíè÷åííûìâñåé òðàåêòîðèè y (t) (0 ≤ t < ∞), ïðîòèâîðå÷èå.Ïî ñëåäñòâèþ 2, ïðèÒåîðåìà ×åòàåâà äîêàçàíà.âäîëüŸ22.

Êðèòåðèè óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòèÐàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå0y = f (y ),y0 (t) ≡ 0.f (0) = 0,Òåîðåìà Ëÿïóíîâà.Ïóñòüf (y )èìååò â îêðåñòíîñòè òî÷êèy =0íåïðåðûâíûåïåðâûå è âòîðûå ïðîèçâîäíûå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ∂f1∂y1A = fy (0) = ......∂fN∂y1...∂f1 ∂yN ∂fN∂yN.y =0Òîãäà, åñëè Reτj (A) < 0, j = 1,...,N , òî ðåøåíèå y0 (t) ≡ 0àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.

Åñëè æå åñòü õîòÿ áû îäíîñîáñòâåííîå çíà÷åíèå τj0 ñ Reτj0> 0,òî ðåøåíèåy0 (t) ≡ 0íåóñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó.Ýòà òåîðåìà - ñëåäñòâèå ñîîòâåòñòâóþùåé òåîðåìû Ëÿïóíîâàäëÿ ïî÷òè ëèíåéíûõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé0y = Ay + ϕ(y ),kϕ(y )k ≤ qky k1+ω ;Êðèòåðèè óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòèq, ω > 0,ky k ≤ Y .Ôîðìóëà Òåéëîðà0Nz}|{ X∂fjfj (y ) = fj (0) +(0)yk +∂ykk=1=NXAjk yk + ϕj (y ),NX12k,l=1a = ρy ,∂ 2 fj(a)yk yl =∂yk ∂yl0< ρ < 1.k=1ßñíî, ÷òî 2 X ∂ fj N|ϕj (y )| ≤ N max |yp |2 ≤ constky k2 .ky k≤Y ∂yk ∂yj p=1Òî åñòü ïðèky k ≤ Yf (y ) = Ay + ϕ(y ) èvuXu N|ϕj (y )|2 ≤ qky k2 .kϕ(y )k = tj=1Êðèòåðèè óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòèÑëåäîâàòåëüíî, ìû ìîæåì çàïèñàòü óðàâíåíèå0y = f (y )â âèäå0y = Ay + ϕ(y ),ãäåϕ(y )ïðèky k ≤ Yóäîâëåòâîðÿåò îöåíêåkϕ(y )k ≤ qky k2 .ω = 1.Ïðèìåð 1.0y1 = sin(y1 + y2 )0y2 = cos(y1 − y2 ).Òî÷êè ðàâíîâåñèÿy1 = a1y2 = a2⇒a1 + a2 = mπa1 − a2 = (n + 12 )πsin(y1+ y2 ) = 0cos(y1 − y2 ) = 0⇒⇒1a1 = ( m+n2 + 4 )πm−na2 = ( 2 − 14 )πÊðèòåðèè óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè(−1)m (−1)m(−1)n+1 (−1)nA=det(A − τ I )= τ 2 − τ [(−1)m + (−1)n ] + 2 · (−1)m+n = 0.Ïðè ðàçëè÷íûõn, m ýòî óðàâíåíèå è åãî êîðíè âûãëÿäÿò òàê:1 ) n - ÷åòíîå, m - ÷åòíîå ⇒τ 2 − 2τ + 2 = 0 ⇒ τ1 = 1 + i , τ2 = 1 − i .20 ) n - ÷åòíîå, m - íå÷åòíîå ⇒√τ2 − 2 = 0 ⇒ τ = ± 230 ) n -íå÷åòíîå, m - ÷åòíîå ⇒√τ2 − 2 = 0 ⇒ τ = ± 240 ) n, m - íå÷åòíûå ⇒τ 2 + 2τ + 2 = 0 ⇒ τ1 = −1 + i , τ2 = −1 − i .ßñíî, ÷òî òî÷êè ðàâíîâåñèÿ óñòîé÷èâû ⇔ n, m - íå÷åòíûå.0Ïðèìåð 2.ẋ = x 3 − y ,0 −1⇒A=10ẏ = x + y 3−λ −1A − λI =⇒ λ1,2 = ±i.1−λÊðèòåðèè óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòèÂîçüìåì â êà÷åñòâå ôóíêöèè ËÿïóíîâàK:K = x 2 + y 2.ÒîãäàdK= 2x(x 3 − y ) + 2y (x + y 3 ) = 2x 4 + 2y 4 .dtÑëåäîâàòåëüíî, â ñèëó òåîðåìû ×åòàåâà íóëåâîå ðåøåíèåñèñòåìû íåóñòîé÷èâî.Ïðèìåð 3.ẋ = y − x + xy ,ẏ = x − y − x 2 − y 3A − λI =A=−111−1⇒−1 − λ11−1 − λ⇒ λ1 = 0, λ2 = −2.Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà:1H = (x 2 + y 2 ).2Êðèòåðèè óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè ýòîì ñëó÷àådH= x(y − x + xy ) + y (x − y − x 2 − y 3 ) = −x 2 − y 2 − y 4 .dt ñèëó òåîðåìû Ëÿïóíîâà íóëåâîå ðåøåíèå óñòîé÷èâî.Ïðèìåð 4.ẋ = x − y − xy 2 ,⇒ẏ = 2x − y − y 3Çàìåíàλ1,2 = ±i.x = z1 ,y = z1 + z2ïðèâîäèò ñèñòåìó ê ñëåäóþùåìó âèäó:ÏîëîæèìÒîãäàż1 = −z2 − z1 (z1 + z2 ),ż2 = z1 − z2 (z1 + z2 )2 .H = z12 + z22 .dH= −2z12 (z1 + z2 )2 − 2z22 (z1 + z2 )2 =dtÊðèòåðèè óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè= −2(z1 + z2 )2 (z12 + z22 ).Ñëåäîâàòåëüíî, íóëåâîå ðåøåíèå óñòîé÷èâî. èñõîäíûõ ôóíêöèÿõx, yôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà:V = x 2 + (x − y )2 .Ïðèìåð 5.ẋ = −f1 (x) − f2 (y ),ẏ = f3 (x) − f4 (y )signfi (z)Ïóñòü= signz, i = 1, 2, 3, 4.H = F1 (x) + F2 (y ).ÒîãäàdH00= F1 (x) − f1 (x) − f2 (y ) + F2 (y ) f3 (x) − f4 (y ) .dtdVÏîòðåáóåì, ÷òîáû ôóíêöèÿ dt áûëà áû òàêîãî æå âèäà, ÷òî èV.00F1 (x) − f2 (y ) + F2 (y )f3 (x) = 0.Êðèòåðèè óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòèZF1 =0xZf3 (x)dx,F2 =0yf2 (y )dy . ýòîì ñëó÷àåZV =0xZf3 (x)dx +Èòàê, íóëåâîå ðåøåíèå óñòîé÷èâî.0yf2 (y )dy .Ãëàâà V.

Òåîðèÿ âîçìóùåíèé äâóìåðíûõ äåéñòâèòåëüíûõàâòîíîìíûõ ñèñòåìŸ23. Äâóìåðíûå ëèíåéíûå ñèñòåìû. Âîçìóùåíèÿäâóìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìûÐàññìîòðèì ëèíåéíóþ ñèñòåìó: 0y1 = ay1 + by2 ,0y2 = cy1 + dy2 ,(1)ãäå a, b, c, d - âåùåñòâåííûå ïîñòîÿííûå, ïðè÷åì a b = ad − bc 6= 0.∆=c d Ñëåäîâàòåëüíî, y = 0 - åäèíñòâåííàÿ îñîáàÿ òî÷êà ñèñòåìû (1),òî åñòü åäèíñòâåííàÿ òî÷êà, ãäå ïðàâûå ÷àñòè ñèñòåìû (1)îáðàùàþòñÿ â íóëü.Îáîçíà÷èì ìàòðèöó êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû (1) ÷åðåça b.A=c dÂîçìóùåíèÿ äâóìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìûÒîãäà ñèñòåìó (1) ìîæíî ïåðåïèñàòü:0y = Ay .(2)Èçâåñòíî, ÷òî ñóùåñòâóåò âåùåñòâåííàÿ ìàòðèöà T (detT 6= 0)òàêàÿ, ÷òî åñëè ñäåëàòü çàìåíóy = Tz,òî ñèñòåìà ïðåîáðàçóåòñÿ:0z = Jz,ãäå J èìååò îäíó èçôîðì:λ1) J =0λ2) J =0ñëåäóþùèõ äåéñòâèòåëüíûõ êàíîíè÷åñêèõ0,λ0,µλ 6= 0;µ < λ < 0 èëè 0 < µ < λ;(3)Âîçìóùåíèÿ äâóìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû3) J4) J5) J6) Jλ 0=, λ 6= 0, γ > 0;γ λ λ 0=, λ < 0 < µ;0 µ α β=, α 6= 0, β 6= 0;−βα0 β=, β 6= 0.−β 0 äàëüíåéøåì ìîæíî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ìàòðèöà A ñ ñàìîãîíà÷àëà èìååò îäíó èç ôîðì (3).Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:â îáùåì ñëó÷àå ðåøåíèå äâóìåðíîé ñèñòåìû0y1 = g1 (y1 , y2 ),0y2 = g2 (y1 , y2 )áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ÷åðåç ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) è ÷àñòî áóäåò óäîáíîðàññìàòðèâàòü ïîëÿðíûå ôóíêöèè ρ, ω , ñîîòâåòñòâóþùèå(4)Âîçìóùåíèÿ äâóìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìûðåøåíèþ ϕ:1ρ(t) = ϕ21 (t) + ϕ22 (t) 2 ,ω(t) = arctgϕ2 (t)ϕ1 (t)(5)(ôóíêöèè ρ, ω îòëè÷àþòñÿ îò ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò (r , θ) íàïëîñêîñòè òàê æå êàê êîîðäèíàòû ϕ1 , ϕ2 ðåøåíèÿ îòëè÷àþòñÿîò äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò y1 , y2 íà ïëîñêîñòè).Ðàññìîòðèì âñå âîçìîæíûå ñëó÷àè (3).1.

 ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà èìååò âèä 0y1 = λy1 ,(6)0y2 = λy2 .Òîãäàϕ1 (t) = c1 e λt ,ϕ2 (t) = c2 e λt- ðåøåíèå, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç òî÷êó (c1 , c2 ), c12 + c22 6= 0.Åñëè λ < 0, òî ρ(t) → 0 ïðè t → +∞, åñëè æå λ > 0, òîρ(t) → 0 ïðè t → −∞.Âîçìóùåíèÿ äâóìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìûÒðàåêòîðèÿ ðåøåíèÿ (ïðîåêöèÿ ðåøåíèÿ íà ïëîñêîñòü y ) îòêðûòàÿ ïîëóïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó (c1 , c2 ) ñêîíå÷íîé òî÷êîé (0, 0), ñì. Ðèñ. 1 è Ðèñ. 2.Ñòðåëêàìè óêàçàíî íàïðàâëåíèå ðîñòà t .y2y200y1y1Ðèñ. 1 Äèêðèòè÷åñêèé óçåëÐèñ. 2 Äèêðèòè÷åñêèé óçåëλ<0λ>0Ýòîò òèï îñîáîé òî÷êè íàçûâàåòñÿ äèêòðè÷åñêèì óçëîì(ïðàâèëüíûì óçëîì).Âîçìóùåíèÿ äâóìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìûÒàêèì îáðàçîì, íóëåâîå ðåøåíèå àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâîïðè λ < 0 è íåóñòîé÷èâî ïðè λ > 0.2. Ñèñòåìà èìååò âèä0y1 = λy1 ,0y2 = µy2 .è ðåøåíèå, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç òî÷êó (c1 , c2 ) 6= (0, 0) ïðè t = 0,èìååò âèäϕ1 (t) = c1 e λt ,ϕ2 (t) = c2 e µt .Ïðåäïîëîæèì, íàïðèìåð,÷òî µ < λ < 0.Òîãäà ϕ1 (t), ϕ2 (t) → 0 ïðè t → +∞.

Íóëåâîå ðåøåíèå â ýòîìñëó÷àå âíîâü àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.Åñëè æå 0 < µ < λ, òî íóëåâîå ðåøåíèå íåóñòîé÷èâî.Ïîâåäåíèå òðàåêòîðèé èçîáðàæåíî íà Ðèñ. 3 è Ðèñ. 4Âîçìóùåíèÿ äâóìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìûy2y20y1Ðèñ. 3 Óçåë, µ < λ < 00y1Ðèñ. 4 Óçåë, λ < µ < 0Ýòîò òèï îñîáîé òî÷êè - óçåë.Âîçìóùåíèÿ äâóìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû3. Ñèñòåìà èìååò âèä:0y1 = λy1 ,0y2 = γy1 + λy2 .Òîãäàϕ1 (t) = c1 e λt ,ϕ2 (t) = (c2 + c1 γt)e λt- ðåøåíèå, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç òî÷êó (c1 , c2 ) ïðè t = 0.Ïðè λ < 0 íóëåâîå ðåøåíèå àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî, ïðèλ > 0 íåóñòîé÷èâî. ýòîì ñëó÷àå íà÷àëî íàçûâàåòñÿ âûðîæäåííûì óçëîì.Ïîâåäåíèå òðàåêòîðèé - íà Ðèñ.

5 è Ðèñ. 6Âîçìóùåíèÿ äâóìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìûy2y200y1y1Ðèñ. 5 Âûðîæäåííûé óçåë,λ<0Ðèñ. 6 Âûðîæäåííûé óçåë,λ>0Âîçìóùåíèÿ äâóìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû4.  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà èìååò âèä:0y1 = λy1 ,0y2 = µy2(7)è ðåøåíèå (7) òàêîâî:ϕ1 (t) = c1 e λt ,ϕ2 (t) = c2 e µt ,ãäå λ < 0, µ > 0.Åñëè |λ| = µ, òî òðàåêòîðèè - ðàâíîáî÷íûå ãèïåðáîëû. îáùåì ñëó÷àå òðàåêòîðèè ïîäîáíû ýòèì ãèïåðáîëàì: ñì.Ðèñ. 7. Îñîáàÿ òî÷êà - ñåäëî.Âîçìóùåíèÿ äâóìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìûy20y1Ðèñ. 7 Ñåäëî, λ < 0 < µÂîçìóùåíèÿ äâóìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû5.0y1 = αy1 + βy,0y2 = −βy1 + αy2è ðåøåíèå, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç òî÷êó (c1 , c2 ) ïðè t = 0, èìååòâèä:ϕ1 (t) = e αt c1 cos(βt) + c2 sin(βt) , ϕ2 (t) = e αt − c1 sin(βt) + c2 cos(βt) .Åñëè ρ20 = c12 + c22 , òîϕ1 (t) = ρ0 e αt cos(βt − δ),ϕ2 (t) = ρ0 e αt sin(βt − δ),ãäå cos δ = ρc10 , sin δ =Ñëåäîâàòåëüíî,c2ρ0 .ρ = ce−αωβ,αδc = ρ0 e β ,çäåñü ρ(t) = ρ0 e αt , ω(t) = −βt + δ - ïîëÿðíûå ôóíêöèè.Òàêèì îáðàçîì, òðàåêòîðèÿ - ñïèðàëü, ñì.

Ðèñ. 8, Ðèñ. 9.Âîçìóùåíèÿ äâóìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìûy20Ðèñ. 8 Ôîêóñ, α < 0, β < 0Îñîáàÿ òî÷êà - ôîêóñ.y20y1Ðèñ. 9 Ôîêóñ, α > 0, β < 06. Ðàçíîâèäíîñòü ñëó÷àÿ 5, êîãäà α = 0.Âîçìóùåíèÿ äâóìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìûy1 ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèå:ϕ1 (t) = c1 cos(βt) + c2 sin(βt),ϕ2 (t) = −c1 sin(βt) + c2 cos(βt)èëè ρ(t) = ρ0 - îêðóæíîñòü ðàäèóñà ρ0 ñ öåíòðîì â íà÷àëåêîîðäèíàò, ñì. Ðèñ.

10, Ðèñ. 11.y2y200y1Ðèñ. 10 Öåíòð, β < 0y1Ðèñ. 11 Öåíòð, β > 0Âîçìóùåíèÿ äâóìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìûÑïðàâåäëèâà òåîðåìà.Òåîðåìà 1.Äëÿ òîãî, ÷òîáû íà÷àëî áûëî óñòîé÷èâî äëÿ ñèñòåìû (1),íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êîðíèäåéñòâèòåëüíîé ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ A èìåëèîòðèöàòåëüíûå èëè íóëåâûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè.Ðàññìîòðèì íåëèíåéíóþ äâóìåðíóþ äåéñòâèòåëüíóþàâòîíîìíóþ ñèñòåìó 0y1 = ay1 + by2 + f1 (y1 , y2 ),(8)0y2 = cy1 + dy2 + f2 (y1 , y2 ),ad − bc 6= 0, f1 , f2 - äåéñòâèòåëüíûå íåïðåðûâíûå ôóíêöèè,îïðåäåëåííûå â íåêîòîðîì êðóãå ñ öåíòðîì â íà÷àëå(y1 , y2 ) = (0, 0) ðàäèóñà r0 > 0.Ôóíêèè f1 , f2 íàçûâàþòñÿ âîçìóùåíèÿìè, è ñèñòåìà (8) âîçìóùåííàÿ ñèñòåìà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ëèíåéíîé ñèñòåìå (1).Èíòóèòèâíî ÿñíî, ÷òî åñëè âîçìóùåíèÿ f1 è f2 "ìàëû" âíåêîòîðîì ñìûñëå, òî ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ïîâåäåíèåòðàåêòîðèé âáëèçè íà÷àëà áóäåò âåñüìà ïîõîäèòü íà ïîâåäåíèåÂîçìóùåíèÿ äâóìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìûòðàåêòîðèé ñèñòåìû (1).

Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â îáùåì ýòî âåðíî,åñëè òîëüêî ôóíêöèè f1 , f2 óäîâëåòâîðÿþò íåêîòîðûììèíèìàëüíûì òðåáîâàíèÿì.Ïóñòüf2 = o(r ) ïðè r → +0.f1 = o(r ),(9)Ýòî óñëîâèå îáåñïå÷èâàåò áîëåå áûñòðîå ñòðåìëåíèå ê íóëþâîçìóùåíèé, ÷åì ëèíåéíûõ ÷ëåíîâ â ñèñòåìå (8). Êðîìå òîãî,óñëîâèå (9) è íåðàâåíñòâî ad − bc 6= 0 ãàðàíòèðóåò, ÷òî íà÷àëî- èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà äëÿ ñèñòåìû (8).Çàìåòèì, ÷òî èç óñëîâèé, íàëîæåííûõ íà ôóíêöèè f1 è f2 , íåñëåäóåò åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèé ñèñòåìû (8).Âàæíàÿ èäåÿ - èñïîëüçîâàíèå ïîëÿðíûõ óðàâíåíèé:y1 = r cos θ,y2 = r sin θÂîçìóùåíèÿ äâóìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû0rr = r 2 [a cos2 θ + (b + c) cos θ sin θ + d sin2 θ]++ r cos θF1 (r , θ) + r sin θF2 (r , θ),2 02r θ = r [c cos2 θ + (d − a) cos θ sin θ − b sin2 θ]++ r cos θF2 (r , θ) − r sin θF1 (r , θ),ãäå Fj (r , θ) = fj (r cos θ, r sin θ), j = 1, 2.Î÷åâèäíî, åñëè ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) - ðåøåíèå ñèñòåìû (8), òîïîëÿðíûå ôóíêöèè (ρ, ω) - ðåøåíèå ïîëÿðíûõ óðàâíåíèé.Îïðåäåëåíèå 1.Åñëè ñóùåñòâóåò δ , 0 < δ < r0 , òàêîå, ÷òî äëÿ êàæäîéèíòåãðàëüíîé êðèâîé ϕ1 (t), ϕ2 (t) ñèñòåìû (8), êîòîðàÿ èìååòõîòÿ áû îäíó òî÷êó â êðóãå 0 < r < δ , ðåøåíèå ñóùåñòâóåò íà t- ïîëóïðÿìîé, è åñëè ϕ1 (t), ϕ2 (t) → (0, 0) ïðè t → +∞ èëè−∞, òî íà÷àëî íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ïðèòÿæåíèÿ äëÿ ñèñòåìû(8).Âîçìóùåíèÿ äâóìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû ñëó÷àå ëèíåéíîé ñèñòåìû (1) óçëû è ôîêóñû - òî÷êèïðèòÿæåíèÿ, â òî âðåìÿ êàê ñåäëî è öåíòð íå ÿâëÿþòñÿòàêîâûìè.Îïðåäåëåíèå 2.Íà÷àëî - óçåë äëÿ ñèñòåìû (8), åñëè îíî - òî÷êà ïðèòÿæåíèÿ èâñå òðàåêòîðèè äîñòèãàþò íà÷àëà â îïðåäåëåííîì (îäíîì è òîìæå) íàïðàâëåíèè è äèêòðè÷åñêèé óçåë - íà÷àëî ÿâëÿåòñÿ óçëîì,è êàæäàÿ ïîëóïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî, êàñàåòñÿíåêîòîðîé òðàåêòîðèè.Íà÷àëî - ôîêóñ, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïðèòÿæåíèÿ, òàêîé,2÷òî |ω(t)| → +∞ ïðè t → +∞ èëè −∞, ãäå ω(t) = arctg( ϕϕ1 ) è(ϕ1 , ϕ2 ) - ëþáîå ðåøåíèå (8), êîòîðîå âõîäèò â îáëàñòü0 ≤ r < δ.Åñëè ñóùåñòâóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïåðèîäè÷åñêèõòðàåêòîðèé {Cn } ñèñòåìû (8), êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñîäåðæèòâíóòðè ñåáÿ âñå ñëåäóþùèå òðàåêòîðèè è íà÷àëî è òàêèõ, ÷òîCn ïðè n → ∞ ñòðåìèòñÿ ê íà÷àëó, òî íà÷àëî - öåíòð äëÿ (8).Âîçìóùåíèÿ äâóìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìûÒåîðåìà 2.Åñëè íà÷àëî - òî÷êà ïðèòÿæåíèÿ äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû (1), òîîíà ÿâëÿåòñÿ òàêîé æå òî÷êîé è äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû (8).Óòâåðæäåíèå ýòîé òåîðåìû, ïî ñóùåñòâó, ñëåäóåò èçóñòîé÷èâîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿ äëÿ ïîòè ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ,Ÿ20.Òåîðåìà 3.Åñëè íà÷àëî - ôîêóñ äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû (1), òî îíîÿâëÿåòñÿ òàêîé æå òî÷êîé äëÿ ñèñòåìû (8).Äîêàçàòåëüñòâî.Ïî òåîðåìå 2 íà÷àëî - òî÷êà ïðèòÿæåíèÿ äëÿ ñèñòåìû (8).Äàëåå,000r 2 θ = x1 x2 − x1 x2 = −βr 2 + o(r 2 ),r → 0.Íî r → 0 ïðè t → +∞ (â ñëó÷àå α < 0).Òàêèì îáðàçîì, ïðè t → +∞0θ = −β + o(1),Âîçìóùåíèÿ äâóìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìûè ïîýòîìó äëÿ êàæäîãî ðåøåíèÿ ϕ ñèñòåìû (8), íà÷èíàþùåãîñÿäîñòàòî÷íî áëèçêî îò íà÷àëà,ω(t) = −βt + o(t),òàê, ω(t)⇒ ω(t) → ±∞ ïðè t → +∞t → −β ïðè t → +∞â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêîå èç íåðàâåíñòâ β < 0 èëè β > 0,èìååò ìåñòî.Òåîðåìà äîêàçàíà.Ÿ24.

Характеристики

Список файлов лекций