Главная » Просмотр файлов » 1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930

1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 21

Файл №826746 1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (2018- Слайды Ткачев) 21 страница1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746) страница 212021-01-26СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Ýòà òðàåêòîðèÿ äîëæíà ñòðåìèòüñÿê íà÷àëó ñ ïðåäåëüíûì óãëîì êàñàíèÿ, èáî èç (8) èìååì0θ =òàê ÷òî(µ − λ)2sin 2θ+ o(1),θ = ω(t) ìîæåò îñòàâàòüñÿ âω(t) → 0 ïðè t → +∞.òîãäà, êîãäàr → 0,ñåêòîðåÓçëû è ñåäëà|θ| ≤ εòîëüêîÄëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ b) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîääîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ c) òåîðåìû 1, âíåñÿ â íåãî ëèøüíåáîëüøèå èçìåíåíèÿ.Ãëàâà VI.

Òåîðèÿ Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíà äâóìåðíûõàâòîíîìíûõ ñèñòåìŸ26. Ïðåäåëüíûå ìíîæåñòâà òðàåêòîðèé. ÒåîðåìàÏóàíêàðå - ÁåíäèêñîíàÏóñòü íà îãðàíè÷åííîì îòêðûòîì ìíîæåñòâå D ⊂ R 2ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà 0y1 = f1 (y1 , y2 ),0y2 = f2 (y1 , y2 ),(1)ïðè÷åì äåéñòâèòëüíûå ôóíêöèè f1 (y1 , y2 ),f2 (y1 , y2 ) íåïðåðûâíû. äàëüíåéøåì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî äëÿ êàæäîãîäåéñòâèòåëüíîãî t0 è òî÷êè (ξ, η) ∈ D ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîåðåøåíèå ϕ = ϕ(t, ξ, η) ñèñòåìû (1) ñ êîìïîíåíòàìè ϕ1 , ϕ2òàêîå, ÷òî ϕ1 (t0 , ξ, η) = ξ, ϕ2 (t0 , ξ, η) = η .Ìû ïîëüçóåìñÿ îáîçíà÷åíèåì ϕ(t, ξ, η), êîòîðîå íå ñîäåðæèòÿâíî t0 , èáî ðåøåíèå ñèñòåìû (1), ïðîõîäÿùåå ÷åðåç òî÷êó(ξ, η) è ðàññìàòðèâàåìîå êàê êðèâàÿ íà ïëîñêîñòè ïåðåìåííûõy1 , y2 , íå çàâèñèò îò t0 .

Åñëè ðåøåíèþ ϕ(t, ξ, η) ñîîòâåòñòâóåòÒåîðåìà Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíàt0 = 0, òî (äëÿ òîãî æå ϕ) ϕ(t − t0 , ξ, η) - ðåøåíèå, ïðîõîäÿùååïðè t = t0 ÷åðåç òî÷êó (ξ, η).Ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî ðåøåíèå ϕ(t, ξ, η) åäèíñòâåííîäîñòàòî÷íî, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàòü íåïðåðûâíîñòü ϕ ïîñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ (t, ξ, η) ïðè âñåõ t , äëÿ êîòîðûõâåêòîð - ôóíêöèÿ ϕ(t, ξ, η) îïðåäåëåíà, è äëÿ âñåõ ξ, η) ∈ D .Òî÷êà îáëàñòè D , â êîòîðîé îáå ôóíêöèè f1 è f2 îáðàùàþòñÿ âíóëü, íàçûâàåòñÿ îñîáîé òî÷êîé.Òî÷êà D , êîòîðàÿ íå ÿâëÿåòñÿ îñîáîé - ðåãóëÿðíàÿ òî÷êà.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî C + (èëè C − ) - ïîëóòðàåêòîðèÿ äëÿ ñèñòåìû(1), êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ðåøåíèå ϕ, îïðåäåëåííîå ïðè âñåõt ≥ t0 (èëè t ≤ t0 ) äëÿ íåêîòîðîãî t0 .Èíûìè ñëîâàìè, C + (èëè C − ) - ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê P(t)ìíîæåñòâà D ñ êîîðäèíàòàìè ϕ1 (t), ϕ2 (t) , ãäå t0 ≤ t < +∞(èëè −∞ < t ≤ t0 ).Òî÷êà Q - ïðåäåëüíàÿ òî÷êà äëÿ C + (èëè C − ), åñëè ñóùåñòâóåòïîñëåäîâàòåëáíîñòü {tn }, n = 1, 2, ...

ãäå tn → +∞ (èëètn → −∞) ïðè n → ∞, òàêàÿ, ÷òî Pn (t) → Q ïðè n → ∞.Ìíîæåñòâî âñåõ ïðåäåëüíûõ òî÷åê ïîëóòðàåêòîðèé C + (èëèÒåîðåìà Ïóàíêàðå - ÁåíäèêñîíàC − ) îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç L(C + ) (èëè L(C − )), è ýòè ìíîæåñòâàíàçûâàþòñÿ ïðåäåëüíûìè ìíîæåñòâàìè. SÅñëè C - ïîëíàÿòðàåêòîðèÿ, òî C = C + C − ,SL(C ) = L(C + ) L(C − ).ÑïðàâäåëèâàÒåîðåìà 1.Åñëè C + - ïîëîæèòåëüíàÿ ïîëóòðàåêòîðèÿ, ñîäåðæàùàÿñÿ âçàìêíóòîì ïîäìíîæåñòâå K ìíîæåñòâà D , òî L(C + ) - íåïóñòîå,çàìêíóòîå è ñâÿçíîå ìíîæåñòâî.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü C + îïðåäåëÿåòñÿ ðåøåíèåì ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) ïðè t ≥ t0 .Òîãäà áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî òî÷åêPn : (ϕ1 (t0 + tn ), ϕ2 (t0 + tn )), n = 1, 2, ..., tn → ∞, ñîäåðæèòñÿ âîãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå K , è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîäåðæèòïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùóþñÿ ê òî÷êå, ïðèíàäëåæàùåéK . Ïîýòîìó L(C + ) íå ïóñòî è L(C + ) ⊆ K .×òîáû äîêàçàòü, ÷òî L(C + ) çàìêíóòî, îáîçíà÷èì ÷åðåç Qïðåäåëüíóþ òî÷êó L(C + ).Òåîðåìà Ïóàíêàðå - ÁåíäèêñîíàÒîãäà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê Qn ∈ L(C + ),n = 1, 2, ...

òàêàÿ, ÷òîd(Qn , Q) → 0 ïðè n → ∞ (d - ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè).Äëÿ ëþáîãî Qn ñóùåñòâóåòtn > n òàêîå, ÷òîd (ϕ1 (tn ), ϕ2 (tn ) , Qn ) < n1 . Ïîýòîìó, êàêîâî áû íè áûëî ε > 0,ñóùåñòâóåò öåëîå ÷èñëî Nε òàêîå, ÷òîd (ϕ1 (tn ), ϕ2 (tn ) , Qn ) < 2ε äëÿ n > Nε.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî d (ϕ1 (tn ), ϕ2 (tn ) , Q < ε ïðè n > Nε èëè÷òî Q ∈ L(C + ), òàê êàêtn → ∞ ïðè n → ∞.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìíîæåñòâî L(C + ) íåñâÿçíî.Òîãäà ñóùåñòâóþè äâà íåïóñòûõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâàM, N òàêèõ, ÷òî[L(C + ) = MN.Òàê êàê M è N îãðàíè÷åíû, òî îíè äîëæíû íàõîäèòñÿ íàïîëîæèòåëüíîì ðàññòîÿíèè δ äðóã îò äðóãà. ñèëó òîãî, ÷òî òî÷êè ìíîæåñòâà M è N - ïðåäåëüíûå äëÿ C + ,ñóùåñòâóþò ñêîëü óãîäíî áîëüøèå t òàêèå, ÷òî d(P(t), M) < 2δÒåîðåìà Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíàè ñêîëü óãîäíî áîëüøèå t òàêèå, ÷òîd(P(t), M) > 2δ .Òàê êàê d(P, M) äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè P - íåïðåðûâíàÿôóíêöèÿ îò P , òî äîëæíà ñóùåñòâîâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{tn }, tn → ∞ (n → ∞) òàêàÿ, ÷òî d(P(tn ), M) = 2δ .Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {P(tn )} ñîäåðæèò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü,ïðè÷åì{P(tnk )} → Q ∈ L(C + ) ïðè nk → ∞.Ñëåäîâàòåëüíî, d(Q, M) = 2δ .

Íîδd(Q, N) ≥ d(N, M) − d(Q, M) = .2SÏðîòèâîðå÷èå, òàê êàê ïî ïðåäïîëîæåíèþ L(C + ) = M N .Òåîðåìà äîêàçàíà.Òåîðåìà 2.Ïóñòü C + - ïîëîæèòåëüíàÿ ïîëóòðàåêòîðèÿ, ñîäåðæàùàÿñÿ âçàìêíóòîì ïîäìíîæåñòâå K ìíîæåñòâà D , è ïðåäïîëîæèì, ÷òîìíîæåñòâî L(C + ) ñîäåðæèò ðåãóëÿðíóþ òî÷êó Q .Òîãäà òðàåêòîðèÿ CQ , ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó Q , ñóùåñòâóåòÒåîðåìà Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíàêàê ïîëíàÿ òðàåêòîðèÿ è CQ ⊆ L(C + ).Äîêàçàòåëüñòâî.Ïîëåçíî îáðàòèòüñÿ ê Ðèñ. 1.Q: j(0,x,h)Q: j(0,x,h)CQPnj(t,xn,hn)j(tn,x,h) = j(0,xn,hn)+CÐèñ. 1Ïóñòü òî÷êà Q èìååò êîîðäèíàòû (ξ, η) è ïóñòü òðàåêòîðèÿ C +ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ϕ(ϕ1 , ϕ2 ) äëÿ t ≥ t0 .

Èç îïðåäåëåíèÿòî÷êè Q ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {tn },tn → ∞ ïðè n → ∞ òàêàÿ, ÷òî òî÷êè Pn : ϕ(tn , ξ, η) îáëàäàþòòåì ñâîéñòâîì, ÷òî Pn → Q ïðè n → ∞.Äëÿ êðèâîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Pn , ìîæíî çàíîâîÒåîðåìà Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíàâûáðàòü ïàðàìåòð òàê, ÷òî Pn áóäåò çàäàâàòüñÿ êîìïîíåíòàìèâåêòîðà ϕ(0, ξn , ηn ), ãäå Pn : (ξn , ηn ).Òàêèì îáðàçîì, ϕ(t, ξn , ηn ) = ϕ(t + tn , ξ, η).ˆ η̂), ïðè÷åì òî÷êà QÒðàåêòîðèÿ CQ çàäàåòñÿ âåêòîðîì ϕ(0, ξ,îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîìˆ η̂).

Òàêèì îáðàçîì, åñëè Q̃ - òî÷êà CQ , òî åå êîîðäèíàòûϕ(0, ξ,ˆ η̂) äëÿ íåêîòîðîãî t̃ .ÿâëÿþòñÿ êîìïîíåíòàìè âåêòîðà ϕ(t̃, ξ,Èç íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ äàííûõ ñëåäóåò,ˆ η̂) ïðè n → ∞, òàê êàê Pn → Q . Íî÷òî ϕ(t̃, ξn , ηn ) → ϕ(t̃, ξ,ýòî òî æå ñàìîå, ÷òî è ñîîòíîøåíèåˆ η̂)ϕ(t̃ + tn , ξ, η) → ϕ(t̃, ξ,è îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Q̃ ∈ L(C + ), èáî t̃ + tn → ∞ ïðè n → ∞.Òàêèì îáðàçîì, CQ ⊆ L(C + ) ⊆ K è â ñèëó èçâåñòíûõñîîáðàæåíèé î ïðîäîëæåíèè (ñì.

Ÿ11) îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî CQ- ïîëíàÿ òðàåêòîðèÿ.Åñëè Q - ïðîèçâîëüíàÿ ðåãóëÿðíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà L(C + ), ãäåC + - ëþáàÿ ïîëóòðàåêòîðèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿìÒåîðåìà Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíàòåîðåìû 2, òî òðàåêòîðèÿ CQ , ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç Q , íàçûâàåòñÿïðåäåëüíîé òðàåêòîðèåé äëÿ C + .Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà 2 óòâåðæäàåò, ÷òî ìíîæåñòâî L(C + )ñîñòîèò èç îñîáûõ òî÷åê è ïðåäåëüíûõ òðàåêòîðèé.Ïåðåéäåì ê îïèñàíèþ ìíîæåñòâà L(C + ), ïðè óñëîâèè, ÷òî ýòîìíîæåñòâî ñîäåðæèò òîëüêî ðåãóëÿðíûå òî÷êè. Ïðè ýòîìïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èñõîäíàÿ ïîëóòðàåêòîðèÿ C + ñîäåðæèòñÿ âçàìêíóòîì ïîäìíîæåñòâå K ⊂ D .Èìååò ìåñòîÒåîðåìà 3 (Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíà).Ïóñòü C + - ïîëîæèòåëüíàÿ òðàåêòîðèÿ, ñîäåðæàùàÿñÿ âçàìêíóòîì ïîäìíîæåñòâå K ìíîæåñòâà D .

Åñëè ìíîæåñòâîL(C + ) ñîñòîèò òîëüêî èç ðåãóëÿðíûõ òî÷åê, òî ëèáî1) ïîëóòðàåêòîðèÿ C + (= L(C + )) ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîéòðàåêòîðèåé, ëèáî2) ìíîæåñòâî L(C + ) ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé òðàåêòîðèåé.Òåîðåìà Ïóàíêàðå - ÁåíäèêñîíàÅñëè èìååò ìåñòî ñëó÷àé 2), òî ïðåäåëüíàÿ òðàåêòîðèÿ L(C + )íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíûì öèêëîì.  ýòîì ñëó÷àåïîëóòðàåêòîðèÿ C + äåéñòâèòåëüíî "çàêðó÷èâàåòñÿ" îêîëîìíîæåñòâà L(C + ) â íåêîòîðîì ñìûñëå.

Ýòî áóäåò äîêàçàíî âñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ââåäåì âñïîìîãàòåëüíîå ïîíÿòèå.Îïðåäåëåíèå.Êîíå÷íûé çàìêíóòûé ñåãìåíò ïðÿìîé ëèíèè íà (y1 , y2 ) ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ òðàíñâåðñàëüþ îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè f ,åñëè êàæäàÿ òî÷êà l ðåãóëÿðíà è åñëè íàïðàâëåíèå,îïðåäåëÿåìîå ôóíêöèåé f â êàæäîé òî÷êå l , îòëè÷íî îòíàïðàâëåíèÿ l .Ñâîéñòâà òðàíñâåðñàëè, êîòîðûå ïîíàäîáÿòñÿ ïðèäîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3, ñôîðìóëèðîâàíû â ëåììàõ 1 è 2.Ëåììà 1.1. Êàæäàÿ ðåãóëÿðíàÿ òî÷êà (y1 , y2 ) ìíîæåñòâà D ÿâëÿåòñÿâíóòðåííåé òî÷êîé òðàíñâåðñàëè, êîòîðàÿ ìîæåò èìåòü ëþáîåÒåîðåìà Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíàíàïðàâëåíèå, èñêëþ÷àÿ íàïRðàâëåíèå âåêòîðà f (y1 , y2 ).2.

Êàæäàÿ òðàåêòîðèÿ, êîòîðàÿ âñòðå÷àåò òðàíñâåðñàëü,äîëæíà ïåðåñåêàòü åå, è âñå òàêèå òðàåêòîðèè ïåðåñåêàþò åå âîäíîì è òîì æå íàïðàâëåíèè.3. Ïóñòü P0 ∈ D - âíóòðåííÿÿ òî÷êà òðàíñâåðñàëè l . Äëÿëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò êðóã Cε ñ öåíòðîì â P0 òàêîé, ÷òîêàæäàÿ òðàåêòîðèÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âíóòðåííþþ òî÷êó Cεïðè t = 0, ïåðåñåêàåò l ïðè íåêîòîðîì t , |t| < ε.Äîêàçàòåëüñòâî.Óòâåðæäåíèÿ 1, 2 ñëåäóþò èç îïðåäåëåíèÿ òðàíñâåðñàëè è òîãîôàêòà, ÷òî f íåïðåðûâíà â òî÷êå (y1 , y2 ).Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ 3 ïîëîæèì, ÷òî òî÷êà P0èìååò êîîðäèíàòû (ξ0 , η0 ) è ÷òî òî÷êè òðàíñâåðñàëè lóäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ ax1 + bx2 + c = 0. Ñóùåñòâóåò êðóã ñöåíòðîì â P0 , êîòîðûé ñîäåðæèò òîëüêî åãóëÿðíûå òî÷êèôóíêöèè f .Ðåøåíèå ϕ, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç ïðîèâîëüíóþ ðåãóëÿðíóþ òî÷êó(ξ, η), ëåæàùóþ âáëèçè P0 ïðè t = 0, íåïðåðûâíî îòíîñèòåëüíîÒåîðåìà Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíàñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ (t, ξ, η) íà íåêîòîðîì îòêðûòîììíîæåñòâå, îêðóæàþùåì òî÷êó( 0 , ξ0 , η 0 ) .Ïóñòü L(t, ξ, η) = aϕ1 (t, ξ, η) + bϕ2 (t, ξ, η) + c , ãäå ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ).Òîãäà L(0, ξ0 , η0 ) = 0 è∂L∂t (0, ξ0 , η0 ) 6= 0.Ïîýòîìó, ïî òåîðåìå î íåÿâíîé ôóíêöèè, ñóùåñòâóåòíåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ t = t(ξ, η), îïðåäåëåííàÿ â íåêîòîðîìêðóãå C ñ öåíòðîì â òî÷êå (ξ0 , η0 ) è óäîâëåòâîðÿþùàÿñîîòíîøåíèÿì t(ξ0 , η0 ) = 0 è L(t(ξ, η), ξ, η) = 0.Êðîìå òîãî, òàê êàê ôóíêöèÿ t = t(ξ, η) íåïðåðûâíà â òî÷êå(ξ0 , η0 ), òî äëÿ êàæäîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò êðóã C ñ öåíòðîì âòî÷êå (ξ0 , η0 ) òàêîé, ÷òî |t(, ξ, η)| < ε âíóòðè C .Ïîýòîìó òðàåêòîðèÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó (ξ, η),ëåæàùóþ âíóòðè Cε ïðè t = 0, áóäåò ïåðåñåêàòü l ïðèt = t(ξ, η) è |t(ξ, η)| < ε.Òåîðåìà Ïóàíêàðå - ÁåíäèêñîíàËåììà 2.Åñëè êîíå÷íàÿ çàìêíóòàÿ äóãà A òðàåêòîðèè C âñòðå÷àåòòðàíñâåðñàëü l , òî îíà åå âñòðå÷àåò â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê,ïîðÿäîê êîòîðûõ íà äóãå A ñîâïàäàåò ñ èõ ïîðÿäêîì íà l .

ÅñëèC - ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ, òî îíà âñòðå÷àåò l òîëüêî âîäíîé òî÷êå.Äîêàçàòåëüñòâî.Åñëè ϕ - ðåøåíèå, ïðåäñòàâëÿþùååC , òî òî÷êè äóãè A èìåþòâèä P(t) : ϕ1 (t), ϕ2 (t) , t̃ ≤ t ≤ ˜t̃ äëÿ íåêîòîðûõ êîíå÷íûõ t̃ è˜t̃ .Åñëè äóãà A âñòðå÷àåò l â áåñêîíå÷íîì ÷èñëå ðàçëè÷íûõ òî÷åêPn = P(tn ), òî ðàçëè÷íûå tn áóäóò èìåòü ïðåäåëáíóþ òî÷êótildet íà èíòåðâàëå t̃ ≤ t ≤ ˜t̃ .Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüïîñëåäîâàòåëüíîñòè {tn }, òàêàÿ, ÷òî tn → t̂ , t → ∞.

Òîãäàt̂)Pn → Q = P(t̂), n → ∞. Íî ϕ(tnt )−ϕ(→fϕ(t̂),ϕ(t̂)ïðè12−t̂nn → ∞, è òàê êàê îòíîøåíèåϕ2 (tn )−ϕ2 (t̂)ϕ1 (tn −ϕ1 (t̂)ðàâíî ïîñòîÿííîìóÒåîðåìà Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíàíàêëîíó òðàíñâåðñàëè l , òî f èìååò òî æå íàïðàâëåíèå, êàê è l ,â òî÷êå Q , ÷òî ÿâëÿåòñÿ ïðîòèâîðå÷èåì.Èòàê, äóãà A äîëæíà âñòðå÷àòü l â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê.Ïóñòü òåïåðü P1 = P(t) è P2 = P(t2 ) - äâó ïîñëåäîâàòåëüíûåòî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ A ñ l , ãäå t1 < t2 , ñì. ðèñ. 2 è 3.y2P1y2P1QP2P3P2RP3Q0Ðèñ. 2y10Ðèñ. 3Òåîðåìà Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíày1Ïðåäïîëîæèì, ÷òî P1 îòëè÷íî îò P2 . Òîãäà êðèâàÿ J ,ñîñòîÿùàÿ èç îòêðûòîé äóãè J , èäóùåé îò P1 äî P2 è l , èäóùåé_îò P1 äî P2 è îáîçíà÷àåìîé ÷åðåç P1 P2 , è çàìêíóòîãîïðÿìîëèíåéíîãî èíòåðâàëà l , èäóùåãî îò P2 äî P1 ,îáîçíà÷àåìîãî P2 P1 - êðèâàÿ Æîðäàíà.Îíà, ñëåäîâàòåëüíî, ðàçäåëÿåò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè.Ïîýòîìó òî÷êè Q ∈ C äëÿ äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê t1 çíà÷åíèét < t1 è òî÷êè R ∈ C (t > t2 ) ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò J(ñì. ðèñ.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
5,03 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее