1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Òîãäà â ýòîé òî÷êåäëÿ íåêîòîðîãîs ≥ 0.ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîéf + sv = 0f = v + g , ãäå g = (g1 , g2 ), è,òî÷êå (1 + s)v = −g èëèÍî(1 + s)2 kv k2 = kg k2 .Äàëåå, kv k2 = (ay1 + by2 )2 + (cy1 + dy2 )2 , è åñëè y1 = r cos θ ,y2 = r sin θ, òî kv k2 = r 2 [(a cos θ + b sin θ)2 + (c cos θ + d sin θ)2 ].Òàê êàê ad − bc 6= 0, òî v = 0 òîëüêî â òî÷êå (0, 0).

Òàêèìîáðàçîì, âåêòîð v - íåïðåðûâåí è íå ðàâåí íóëþ ïðè r = 1.Ïîýòîìóm=kv k > 0,kv k ≥ mräëÿ âñåõ r > 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî m (1 + s) r ≤ kg k2 âêàæäîé òî÷êå (y1 , y2 ), â êîòîðîé f è v èìåþòà òàê êàê íîðìàkv kinfr =1îòíîñèòåëüíîrîäíîðîäíà, òî22 2Èíäåêñû îñîáûõ òî÷åêïðîòèâîïîëîæåííûå íàïðàâëåíèÿ.Çíà÷èò, ýòè òî÷êè íå ìîãóò áûòü ñêîëü óãîäíî áëèçêèìè êòî÷êå (0, 0), èáî èç òàêîãî ïðåäïîëîæåíèÿ ñëåäîâàëî áû, ÷òî0< m2 ≤ m2 (1 + s)2 ≤kg k2, à òàê êàêr2kg k = o(r )ïðèr → 0,òîýòî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîòèâîðå÷èå.Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íåêîòîðîãî äîñòàòî÷íî ìàëîãîα>0âåêòîðûf è v íå èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèé â êðóãå< r < α. Ïîëàãàÿ â ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíèÿõ s = 0, âèäèì,÷òî f íå ìîæåò îáðàùàòüñÿ â íóëü â êðóãå 0 < r < α. Òàêèìîáðàçîì, ïî ïðåäûäóùåé ëåììå, If (J) = Iv (J) äëÿ êàæäîéêðèâîé Æîðäàíà J â êðóãå 0 < r < α, îêðóæàþùåì òî÷êó(0, 0), è ýòî äîêàçûâàåò, ÷òî If (0) = Iv (0).0Òåîðåìà 6.Åñëèf = (f1 , f2 ) - âåêòîð, îïðåäåëåííûé ñèñòåìîé (1), òîIf (0) = −1 èëè +1 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÿâëÿåòñÿ ëè íà÷àëîñåäëîì äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû0y1 = ay1 + by2 ,0y2 = cy1 + dy2Èíäåêñû îñîáûõ òî÷åêèëè íåò.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïî òåîðåìå 5 äîñòàòî÷íî ïîäñ÷èòàòü èíäåêñ Iv (0).

Äëÿïîäñ÷åòà Iv (0) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí åäåíè÷íûé êðóã≤ θ ≤ 2π . Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëíîåèçìåíåíèå óãëà, êîòîðûé âåêòîð v îáðàçóåò ñ ïîëîæèòåëüíîé y1- ïîëóîñüþ, êîãäà êðèâàÿ J îáõîäèòñÿ îäèí ðàç âJ : y1 = cos θ, y2 = sin θ,0ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè, ðàâíîZ2πIv (J)d arctg=Jcy1 + dy2ay1 + by2,èëèIv (f ) =ad − bc×2πZ 2π×0(a cos θ + bsin θ)2dθ.+ (c cos θ + d sin θ)2Ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (2) íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíîñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõad − bc > 0,(a, b, c, d),ad − bc 6= 0. Åñëèad > 0 èëè ad < 0.èáîòî âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ:Èíäåêñû îñîáûõ òî÷åê(2)Åñëèad > 0,òî ïóñòüb, c → 0d →aèâ (2).

Òîãäà ïðàâàÿ÷àñòü (2), áóäó÷è öåëûì ÷èñëîì, îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé. Èòàê,Iv (f ) =12πZ2πdθ = 1.0ad ≤ 0, òî bc < 0, è åñëè ad óâåëè÷èâàåòñÿ òàê,ñòàíîâèòñÿ ad > 0, òî ìîæíî ïðèìåíèòü ïðåäûäóùååÅñëè÷òîðàññóæäåíèå, è ìû ïîëó÷èì òîò æå ðåçóëüòàò.ad − bc < 0, òî ïîäîáíîå ðàññóæäåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òîIv (J) = −1. Íî íåðàâåíñòâî ad − bc < 0 ÿâëÿåòñÿ êàê ðàçÅñëèóñëîâèåì, îòëè÷àþùèì ñåäëî îò äðóãèõ òèïîâ îñîáûõ òî÷åê,÷òî äîêàçûâàåò òåîðåìó.Ãëàâà VII.

Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãîïîðÿäêà. Çàäà÷à ÊîøèŸ29. Ïåðâûå èíòåãðàëû ñèñòåìû ÎÄÓ è ïðåäñòàâëåíèåîáùåãî ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ñ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à ÊîøèÔóíêöèÿΦ(y , t) = Φ(y1 , ..., yN , t)ÎÄÓ- ïåðâûé èíòåãðàë ñèñòåìû0y = f (y , t),åñëèΦ(y , t) 6≡ const , íî â òî æå âðåìÿ2) Φ(y , t) ïîñòîÿííà âäîëü ëþáîãî ðåøåíèÿ y = y (t) ñèñòåìû0y = f (y , t).Òî åñòü, ÷òîáû Φ(y , t) (ãäå Φ(y , t) - äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ0ôóíêöèÿ) áûëà ïåðâûì èíòåãðàëîì ñèñòåìû ÎÄÓ y = f (y , t)1)íåîáõîäèìî, ÷òîáûa)Φ2t +dNP(Φyi )2 6≡ 0;i=1b) dt Φ(y , t)=NPi=1Φyi fi (y , t) + Φt = 0,Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêàòî åñòü ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îòΦ(y , t)0y = f (y , t) ðàâíà íóëþ.1) Åñëè Φ(i) (y , t), i = 1, ..., kâ ñèëó ñèñòåìû- ïåðâûå èíòåãðàëû, òî ëþáàÿãëàäêàÿ ôóíêöèÿ îò íèõ ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì èíòåãðàëîì òîé æåñèñòåìû. ñàìîì äåëå, ïóñòüΦ∗t +NXΦ∗ (y , t) = F (Φ(1) , ..., Φ(k) ).Φ∗yi fi (y , t) =i=1kX(j)FΦ(j) Φt +j=1N+ÒîãäàXi=1fi (y , t) · {kX(j)FΦ(j) Φyi } =j=1kX(j)FΦ(j) {Φt +j=1+NX(j)fi (y , t)Φyi } = 0.i=1Áóäåì íàçûâàòü ïåðâûå èíòåãðàëûΦ(i) (y , t), i = 1, ..., kôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèûìè â íåêîòîðîéîáëàñòè ïåðåìåííûõ(y , t),åñëè â ýòîé îáëàñòè ìàòðèöà∂Φ(i)∂yj,i = 1, ..., k ,Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêàj = 0, ..., N , y0 = tïðèN≥1èìååò ðàíãk.Óæå èç îïðåäåëåíèÿ ÿñíî, ÷òî ÷èñëî íåçàâèñèìûõ ïåðâûõèíòåãðàëîâ≤ N + 1.Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òîNX ∂Φ(i)∂Φ(i)∂Φ(i)==−fj (y , t),∂y0∂t∂yjj=1ìû âèäèì, ÷òî ðàíã ìàòðèöû íà ñàìîì äåëåÎêàçûâàåòñÿ, ÷òî ó ñèñòåìûñóùåñòâóåòN0y = f (y , t)íåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ.2) Ïóñòü Φ(i) (y , t),i = 1, ..., Níåçàâèñèìûå ïåðâûå èíòåãðàëûè ïóñòü â íåêîòîðîé îáëàñòè ïåðåìåííûõdet≤ N.äåéñòâèòåëüíî∂Φ(i)∂yj(y , t)!6= 0,i = 1, ..., N; j = 1, ..., N.Φ(N+1) (y , t) - êàêîé-ëèáîy = f (y , t), òî åñòüÏóñòü01)Φ(N++tNXj=1åùå ïåðâûé èíòåãðàë ñèñòåìû1)Φ(N+fj (y , t) = 0.yjÓðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêàÒàê êàê det(1)∂Φ(i)∂yj6= 0,òî ïî òåîðåìå î íåÿâíîé ôóíêöèè(N)yj = Yj (Φ , ..., Φ , t) (ïî êðàéíåé ìåðå â îêðåñòíîñòè(i)íåêîòîðîé òî÷êè (y0 , t0 ), êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèå Φ0 ).Ãëàäêîñòü Φ(i) (y , t) îáåñïå÷èâàåò ãëàäêîñòü âñåõYj (Φ(1) , ..., Φ(N) , t).Äàëåå,Φ(N+1) (y , t) = Φ(N+1) [Y , t] = H(Φ(1) , ..., Φ(N) , t)è01)= Φ(N++tNX1)fj (y , t) · Φ(N+=yjj=1= Ht +NX(k)HΦ(k) [ΦtNX(k)fj Φyj ] = Ht = 0,j=1k=1òî åñòü+H = G (Φ(1) , ..., Φ(N) ).Èòàê, åñëè íàì óäàëîñü ïîñòðîèòüíåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâN ôóíêöèîíàëüíî0Φ(i) (y , t) ñèñòåìû y = f (y , t),Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêàòî ëþáîé äðóãîé èíòåãðàë áóäåò äîïóñêàòü ïðåäñòàâëåíèåΦ = F (Φ(1) , ..., Φ(N) ).Êðàòêî ðàññêàæåì, êàê ó ñèñòåìû0y = f (y , t)ìîæíî íàéòèNíåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ.Ïóñòüy (t, y0 ) - ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè0y = f (y , t)ñ íåïðåðûâíî - äèôôåðåíöèðóåìîéy (t0 ) = y0j = 1, ..., N âåêòîð - ôóíêöèåé f .

ÒîãäàY (t) =èìååò detY (t)ïîyj∂yj(t, y0 )∂yi06= 0. ñàìîì äåëå,ddtèëè∂yj∂yi0=NX∂fj ∂yk,∂yk ∂yi0k=10Y (t) = fy (y , t)Y (t).Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêàÎòñþäà, ïî ôîðìóëå Îñòðîãðàäñêîãî - Ëèóâèëëÿ, ìàòðèöàïðîèçâîäíûõZdetY (t)t= expTr fy (y (τ , y0 ), τ ) dτdetY (t0 ).t0ÍîY (t0 ) = INè, ñëåäîâàòåëüíî, detY (t)Èòàê, ðåøåíèåy = y (t, y0 )6= 0.ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî -äèôôåðåíöèðóåìûì ïî âñåì ïåðåìåííûì, ïðè÷åì detY (t)â îêðåñòíîñòè(y0 , t0 ).Òîãäà ïî òåîðåìå î íåÿâíîé ôóíêöèè ñëåäóåò, ÷òîíåïðåðûâíî - äèôôåðåíöèðóåìà ïîðåøåíèÿ óðàâíåíèÿy0 (t, y )6= 00y = f (t, y ),(t, y )y0 = y0 (t, y )âäîëü ëþáîãîà çíà÷èò çíà÷åíèå âåêòîðàÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííûì, òî åñòüdyj (t, y (t)) = 0.dt 0Èíûìè ñëîâàìè,0y = f (y , t),àyi0 (t, y ) ÿâëÿþòñÿ ïåðâûìè èíòåãðàëàìè äëÿ∂yj∂yjìàòðèöû Y = ( ∂y ) è Z = ( ∂y0 ) òàêîâû, ÷òîii0Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêàYZ = IN , òî åñòü detZ 6= 0.

Çíà÷èò, ïåðâûå èíòåãðàëûΦ(i) = yi0 (t, y ) ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûìè.Ïðèìåð 1.0dudv−vdu + udv== dt ⇒= dt−vuv 2 + u2u = −v0v =uΦ(1) = u 2 + v 2 , Φ(2) = t + arctg vu- ïåðâûå èíòåãðàëû. Èëè,ïîñëå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè0u = −v0v =uu(t0 ) = u0 ,v (t0 ) = v0Φ̂(1) = u cos(t0 − t) − v sin(t0 − t),Φ̂(2) = u sin(t0 − t) + v cos(t0 − t).Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå îäíîðîäíîå óðàâíåíèåut +NXj=1fj (y , t)∂udu=0 ⇒= 0,∂yjdt(1)Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêàãäåy = y (t)- ðåøåíèå0y = f (y , t).Ëþáîå ðåøåíèå (1)ïðåäñòàâèìî â âèäåu = F (Φ(1) , ..., Φ(N) ),ãäåΦ(i) , i = 1, ..., N- êàêàÿ-ëèáî ñèñòåìà ôóíêöèàíàëüíîíåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ óðàâíåíèÿÑèñòåìà0y = f (y , t)0y = f (y , t).íàçûâàåòñÿ ñîïóòñòâóþùåéÈíòåãðàëüíûå êðèâûåýòîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ õàðàêòåðèñòèêàìèóðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà.(õàðàêòåðèñòè÷åñêîé) ñèñòåìîé ÎÄÓ.y = y (t)duÂäîëü õàðàêòåðèñòèêè dt = 0, òî åñòü u = const .Ðåøåíèå u = u(y , t) óðàâíåíèÿ (1), óäîâëåòâîðÿþùåå ïðèóñëîâèþu(y , t0 ) = ϕ(y ),t = t0íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè(ϕ(y ) - íà÷àëüíîå çíà÷åíèå).Ïîñòðîèì ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòèãèïåðïëîñêîñòèt = t0 .Ïîñêîëüêódet!∂Φ(i)(y , t) 6= 0∂yjÓðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêàâ íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè t0 , y0 , òî ïðèíåÿâíîé ôóíêöèè èìååì ïðåäñòàâëåíèåyj = Yj (Φ̄(1) , ..., Φ̄(N) ),ãäåt = t0ïî òåîðåìå îΦ̄(i) = Φ(i) (y , t0 ).ÎïðåäåëèìF (Φ(1) , ..., Φ(N) ) == ϕ Y1 (Φ(1) , ..., Φ(N) ), ..., YN (Φ(1) , ..., Φ(N) ) .Òîãäàu = F Φ(1) (y , t), ..., Φ(N) (y , t) == ϕ Y1 (Φ(1) , ..., Φ(N) ), ..., YN (Φ(1) , ..., Φ(N) )åñòü èñêîìîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè, ïðè÷åìu(y , t0 ) = ϕ Y1 (Φ̄(1) , ..., Φ̄(N) ), ...,YN (Φ̄(1) , ..., Φ̄(N) ) = ϕ(y ).Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêàuèíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿy = f(y,t)yj(y)0tu = const = j(y*)y*= y0(y,t)Ðèñ.

1Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêàÏðèìåð 2.ut + uy = 0dyÑîïóòñòâóþùàÿ ñèñòåìà ÎÄÓ dt = 1 ⇒ y − t = constΦ(y , t) = y − t - ïåðâûé èíòåãðàë, à y = t + const -⇒u t=0 = ϕ(y ).Òîãäà Φ̄ = Φ(y , 0) = y , u = ϕ(Φ̄) = ϕ(y − t) è u = ϕ(t). ⇒y =t1) Åñëè ϕ(t) 6≡ const , òîãäà ðåøåíèé íåò;2) Åñëè ϕ(t) ≡ ϕ0 - ïîñòîÿííà, òî u = f (y − t), f (0) = ϕ0 õàðàêòåðèñòèêè. Ïóñòüðåøåíèé áåñêîíå÷íî ìíîãî.Ïðèìåð 3.yut − (t + 1)uy = 0u(y , 0) = y= − t+y 1y 2 + (t + 1)2 = constdydtΦ(y , t) = y 2 + (t + 1)2 , u = f y 2 + (t + 1)2.⇒Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêàt00y = r 0- 1y=- r-1-1ytÐèñ.

Характеристики

Список файлов лекций