1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 22
Текст из файла (страница 22)
2 è 3).Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ëåæàò ëè òî÷êèR âíóòðè J èëè âíå J .Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìååò ìåñòî ïåðâûé ñëó÷àé (ðèñ. 2); âòîðîéðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.Òîãäà äëÿ òîãî, ÷òîáû òðàåêòîðèÿ C áëûà âíå J ïðè t > t2 Cäîëæíà ïåðåñåêàòü J ._Íî îíà íå ìîæåò ïåðåñåêàòü äóãó P1 P2 â ñèëó åäèíñòâåííîñòè èíå ìîæåò ïåðåñå÷ü èíòåðâàë P2 P1 â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè.Ñëåäîâàòåëüíî, òðàåêòîðèÿ C îñòàåòñÿ âíóòðè J äëÿ t > t2 .Òåîðåìà Ïóàíêàðå - ÁåíäèêñîíàÒàêèì îáðàçîì, áëèæàéøåå ïåðåñå÷åíèå P3 (ïîñëå P2 )òðàåêòîðèè C ñ òðàíñâåðñàëüþ l íàõîäèòñÿ âíóòðè J è îòëè÷íîîò P2 .Èòàê, òî÷êà P2 ëåæèò ìåæäó P1 è P3 íà òðàíñâåðñàëè l .
ÅñëèP1 ñîâïàäàåò ñ P2 , òî òðàåêòîðèÿ C , î÷åâèäíî, ïåðèîäè÷åñêàÿ.Åñëè P1 îòëè÷àåòñÿ îò P2 , òî òðàåêòîðèÿ íåïåðèîäè÷åñêàÿ.Òîãäà äóãà òðàåêòîðèè C , èäóùàÿ îò R , äîëæíà âåðíóòüñÿ ê Q ,à çíà÷èò, ïåðåñå÷ü J .Íî, êàê è ïðåæäå, ýòîãî ïðîèçîéòè íå ìîæåò. Èòàê, P1 è P2ñîâïàäàþò è C - ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ.Ëåììà 2 äîêàçàíà.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíà òåïåðüïîëó÷àåòñÿ ïðè ïîìîùè ñëåäóþùèõ äâóõ äîïîëíèòåëüíûõëåìì.Ëåììà 3.Åñëè ïîëóòðàåêòîðèÿ C + è ïðåäåëüíîå ìíîæåñòâî L(C + )èìåþò îáùóþ òî÷êó, òî C + - ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ.Òåîðåìà Ïóàíêàðå - ÁåíäèêñîíàÄîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü P1 = P(t1 ) - òî÷êà C + , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ òàêæå òî÷êîéL(C + ).
Ýòà òî÷êà ðåãëóðíàÿ è, ñëåäîâàòåëíî, ìîæåò áûòü âçÿòàêàê âíóòðåííÿÿ òî÷êà íåêîòîðîé òðàíñâåðñàëè l . Òàê êàêP1 ∈ L(C + ), òî êàæäûé êðóã Γ ñ öåíòðîì â òî÷êå P1 äîëæåíñîäåðæàòü âíóòðè ñåáÿ òî÷êó Q = P(t̂), t̂ > t1 + 2.Åñëè Γ - êðóã äëÿ ε = 1 â óòâåðæäåíèè 3) ëåììû 1, òîñóùåñòâóåò òî÷êà P̃ = P(t̃) íà C + , ãäå |t̃ − t| < 1 òàêàÿ, ÷òîP̃ ∈ l .Ïóñòü P̃ îòëè÷àåòñÿ îò P1 .Òîãäà, ïî ëåììå 2, äóãà P1 P̃ ïîëóòðàåêòîðèè C + ïåðåñåêàåò l âêîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê.Äàëåå, ïîñëåäîâàòåëüíûå ïåðåñå÷åíèÿ C + ñ l îáðàçóþòìîíîòîííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, êîòîðàÿ óäàëÿåòñÿ îò òî÷êèP1 . Òàêèì îáðàçîì, P1 íå ìîæåò áûòü ïðåäåëüíîé òî÷êîé äëÿïîëóòðàåêòîðèè C + , à çíà÷èò, P1 ∈/ L(C + ).+Èòàê, C âñòðå÷àåò l òîëüêî â P1 , à ñëåäîâàòåëüíî C + ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ.Òåîðåìà Ïóàíêàðå - ÁåíäèêñîíàÇàìå÷àíèå 1.Ýòè æå ñîîáðàæåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî òðàíñâåðñàëü íå ìîæåòâñòðå÷àòü ìíîæåñòâî L(C + ) áîëåå ÷åì â îäíîé òî÷êå.Ëåììà 4.Åñëè ìíîæåñòâî L(C + ) ñîäåðæèò ïåðèîäè÷ñåêóþ òðàåêòîðèþ,òîîíî ñîâïàäàåò ñ íåé.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü C0 - ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ, ñîäåðæàùàÿñÿ âîìíîæåñòâå L(C + ).
Òîãäà â ñèëó ñâÿçíîñòè L(C + ) òðàåêòîðèÿ C0ñîäåðæèò ïðåäåëüíóþ òî÷êó Q0 ìíîæåñòâà L(C + ) - C0 .Ïóñòü l - òðàíñâåðñàëü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç Q0 . Êàæäûé êðóã ñöåíòðîì â òî÷êå Q0 ñîäåðæèò òî÷êó Q ìíîæåñòâà L(C + ) - C0 èäëÿ òî÷åê Q , äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê Q0 òðàåêòîðèÿ CQ ,ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç Q , áóäåò ïåðåñåêàòü l â ñîîòâåòñòâèè ñóòâåðæäåíèåì 3) ëåììû 1.Ïî òåîðåìå 2 èç íàñòîÿçåãî ïàðàãðàôà òðàåêòîðèÿ CQ ïðåäåëüíàÿ òðàåêòîðèÿ îíà îòëè÷àåòñÿ îò C0 , òàê êàêCQ ∈ L(C + ) - C0 .Òåîðåìà Ïóàíêàðå - ÁåíäèêñîíàÑëåäîâàòåëüíî, òðàíñâåðñàëü l ñîäåðæèò äâå ðàçëè÷íûå òî÷êèìíîæåñòâà L(C + ), ÷òî íåâîçìîæíî â ñèëó çàìå÷àíèÿ 1.Òàêèì îáðàçîì, C0 = L(C + ) è ëåììà äîêàçàíà.Ïåðåéäåì òåïåðü ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû Ïóàíêàðå Áåíäèêñîíà.ßñíî, ÷òî åñëè C + - ïåðèîäè÷åñêàÿ ïîëóòðàåêòîðèÿ, òîC + = L(C + ).
Ïîýòîìó ïðåäïîëîæèì, ÷òî C + íåïåðèîäè÷åñêàÿ ïîëóòðàåêòîðèÿ.Òàê êàê L(C + ) íå ïóñòî è ñîñòîèò òîëüêî èç ðåãóëÿðíûõ òî÷åê,òî ñóùåñòâóåò, ïî òåîðåìå 2, ïðåäåëüíàÿ òðàåêòîðèÿC0 ⊂ L(C + ).Òåïåðü èç âêëþ÷åíèÿ C0 ⊂ K ñëåäóåò, ÷òî ïîëóòðàåêòîðèÿ C0+èìååò ïðåäåëüíóþ òî÷êó P0 è P0 ∈ L(C + ), òàê êàê ìíîæåñòâîL(C + ) çàìêíóòî.Åñëè l - òðàíñâåðñàëü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç P0 , òî ïîñêîëüêó P0 èC0+ ñîäåðæàòñÿ â L(C + ), òðàíñâåðñàëü l íå ìîæåò âñòðåòèòüL(C + ) íè â îäíîé òî÷êå, êðîìå P0 (ñì. çàìå÷àíèå 1).Òåîðåìà Ïóàíêàðå - ÁåíäèêñîíàÒàê êàê P0 - ïðåäåëüíàÿ òî÷êà äëÿ C0+ , òî òðàíñâåðñàëü läîëæíà âñòðåòèòü C0+ â íåêîòîðîé òî÷êå, êîòîðàÿ äîëæíàñîâïàäàòü ñ P0 , è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ C0+ è L(C0+ ) P0 - îáùàÿòî÷êà.Ïî ëåììå 4, C0+ , à çíà÷èò è C0 - ïåðèîäè÷åñêèå òðàåêòîðèè;îòñþäà ñëåäóåò, ïî ëåììå 4, ÷òî C0 = L(C0+ ).Òåîðåìà Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíà äîêàçàíà.Ñëåäñòâèå 1.Åñëè C + - ïîëóòðàåêòîðèÿ,ñîäåðæàùàÿñÿ â êîìïàêòíîììíîæåñòâå K , â êîòîðîì f íå èìååò îñîáûõ òî÷åê, òî Kñîäåðæèò ïåðèîäè÷åñêóþ òðàåêòîðèþ.27.
Ïðåäåëüíûå ìíîæåñòâà ñ îñîáûìè òî÷êàìèÑëåäóþùèé ðåçóëüòàò äàåò êëàññèôèêàöèþ ïîâåäåíèÿìíîæåñòâàL(C + ),â ñëó÷àå êîãäà îíî ñîäåðæèò òîëüêîêîíå÷íîå ÷èñëî îñîáûõ òî÷åê.Òåîðåìà 1.ÏóñòüC+- ïîëóòðàåêòîðèÿ, ñîäåðæàùàÿñÿ â çàìêíóòîìïîäìíîæåñòâåKìíîæåñòâàD,è ïðåäïîëîæèì, ÷òîDñîäåðæèò òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî îñîáûõ òî÷åê.
Òîãäàñïðàâåäëèâî îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé:1) Ïðåäåëüíîå ìíîæåñòâîL(C + )ñîñòîèò èç îäíîéåäèíñòâåííîé òî÷êè, îñîáîé äëÿ ôóíêöèèïîëóòðàåêòîðèÿC+ïðèáëèæàåòñÿ ïðè2) Ïðåäåëüíîå ìíîæåñòâîf , ê êîòîðîét → ∞.L(C + )ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîéL(C + )ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëàòðàåêòîðèåé.3) Ïðåäåëüíîå ìíîæåñòâîîñîáûõ òî÷åê ôóíêöèèfè ìíîæåñòâà òðàåêòîðèé, êàæäàÿ èçêîòîðûõ ñòðåìèòñÿ ê îäíîé èç ýòèõ îñîáûõ òî÷åê ïðèt → ±∞.Ïðåäåëüíûå ìíîæåñòâà ñ îñîáûìè òî÷êàìèÄîêàçàòåëüñòâî.ÌíîæåñòâîL(C + )ìîæåò ñîäåðæàòü ñàìîå áîëüøåå êîíå÷íîå÷èñëî îñîáûõ òî÷åêf.ðåãóëÿðíûõ òî÷åêèáî ìíîæåñòâîL(C + ) ñîâñåì íå ñîäåðæèòL(C + ) åñòü ïðîñòî îäíà îñîáàÿ òî÷êà,Åñëèf , òîL(C + ) ñâÿçíî.Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëóòðàåêòîðèÿC + äîëæíà ñòðåìèòüñÿ ê ýòîé òî÷êå ïðè t → ∞.Åñëè ìíîæåñòâî L(C + ) èìååò ðåãóëÿðíûå òî÷êè, òî îíî ñîñòîèòèç îñîáûõ òî÷åê è ìíîæåñòâà ïðåäåëüíûõ òðàåêòîðèé.
ÏóñòüC0- ïðåäåëüíàÿ òðàåêòîðèÿ.  ñèëó ñîîáðàæåíèé, èñïîëüçîâàííûõïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíà, îíà íåìîæåò èìåòü ðåãóëÿðíûõ ïðåäåëüíûõ òî÷åê, åñëèC0íåÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé òðàåêòîðèåé. Òàêèì îáðàçîì, èëèC0-ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ è â ýòîì ñëó÷àå, ïî ëåììå 4,L(C + ) = C0 ,èëèC0íå èìååò ðåãóëÿðíûõ ïðåäåëüíûõ òî÷åê.Ñëåäîâàòåëüíî, ëèáîL(C + )- ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ, ëèáîâñå òðàåêòîðèè, ñîäåðæàùèåñÿ âL(C + ),íå ïåðèîäè÷åñêèå èèìåþò ñâîèìè ïðåäåëüíûìè òî÷êàìè òîëüêî îñîáûå òî÷êèÏðåäïîëîæèì, ÷òî èìååò ìåñòî ïîñëåäíèé ñëó÷àé è ïóñòüòðàåêòîðèÿ, ñîäåðæàùàÿñÿ âL(C + ).f.C0 -Ïðåäåëüíûå ìíîæåñòâà ñ îñîáûìè òî÷êàìèÈç äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ 1) ñëåäóåò, ÷òî êàæäîå èçL+ (C0 )ôóíêöèè fL− (C0 )ìíîæåñòâèòî÷êè(ðàâåíñòâîñîñòîèò òîëüêî èç îäíîé îñîáîéL+ (C0 ) = L− (C0 )íå èñêëþ÷àåòñÿ).Ñëåäñòâèå 1.ÅñëèC+- ïîëóòðàåêòîðèÿ, ñîäåðæàùàÿñÿ â çàìêíóòîìK ⊂ D,òî÷êó P̃ (èL(C + )ìíîæåñòâåè ìíîæåñòâîîñîáóþðåãóëÿðíûå òî÷êè), òî ïðåäåëüíàÿòðàåêòîðèÿ ñòðåìèòñÿ êP̃Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òîñîäåðæèò òîëüêî îäíót → +∞ è t → −∞.ìíîæåñòâî L(C + ) ñîäåðæèòïðèòî÷êó P ,C + - ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ, òîL(C + ) = C + , è ìíîæåñòâî L(C + ) ïîëíîñòüþ èçâåñòíî.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîëóòðàåêòîðèÿ C + íå ïåðèîäè÷íà, è ïóñòül - òðàíñâåðñàëü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç P .Òîãäà, êàê â ëåììå 3, C + äîëæíà âñòðå÷àòü l â áåñêîíå÷íîì÷èñëå òî÷åê, êîòîðûå ñõîäÿòñÿ ìîíîòîííî íà l ê P .Åñëè P1 = P(t1 ) - ëþáàÿ òî÷êà íà l , òî îáîçíà÷èì ÷åðåç Pn ,n = 2, 3, ...
ïîñëåäîâàòåëüíûå ïåðåñå÷åíèÿ C + ñ l äëÿ t > t1 .ðåãóëÿðíóþ äëÿf.Åñëè_Òîãäà êðèâàÿJn ,ñîñòîÿùàÿ èç äóãèPn P n+1íàC+èÏðåäåëüíûå ìíîæåñòâà ñ îñîáûìè òî÷êàìèïðÿìîëèíåéíîãî èíòåðâàëàPn+1 Pníà l , åñòü êðèâàÿ Æîðäàíà,êîòîðàÿ èìååò âíóòðåííîñòü In è âíåøíîñòüEn ,ñì. Ðèñ. 1 è 2.y2y2Pn+1Pn+2Pn+2Pn+1PnPnP0Ðèñ. 1P0y1y1Ðèñ.
2Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÷òîP3 ∈ I1èëèP 3 ∈ E1 . ïåðâîì ñëó÷àå In+1In+1 ⊃ In , n = 1, 2, ...⊂ In , n = 1, 2, ...,à âî âòîðîì ñëó÷àåÏðåäåëüíûå ìíîæåñòâà ñ îñîáûìè òî÷êàìèP ∈ I1 , è, ïîñêîëüêó íè îäíà òî÷êà L(C + ) íåìîæåò ïðèíàäëåæàòü E1 , L(C + ) ⊂ I1 è àíàëîãè÷íî L(C + ) ⊂ Inäëÿ âñåõ n.Åñëè P3 ∈ E1 , òî En ⊃ L(C + ) äëÿ âñåõ n.∞∞TSÏîëîæèì I =I n â ïåðâîì ñëó÷àå, à âî âòîðîì I =In .ÅñëèP3 ∈ I1 ,òîn=1n=1Ëåììà 1.L(C + ) = J.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðåäïîëîæèì, ÷òîI =∞Tn=1I n;àíàëîãè÷íû. Î÷åâèäíî, ÷òîâñåõn,åñëè∞SI =n=1L(C + ) ⊆ I ,In ,èáîòàê êàê íè îäíà âíóòðåííÿÿ òî÷êàIòî ðàññóæäåíèÿL(C + ) ⊂ Inäëÿíå ìîæåòL(C + ). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàæäàÿ òî÷êàãðàíèöû ìíîæåñòâà I ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé äëÿ C + .Èòàê, L(C + ) = J .∞T ñëó÷àå I =I n ïîëóòðàåêòîðèÿ C + ñîäåðæèòñÿ âîïðèíàäëåæàòün=1Ïðåäåëüíûå ìíîæåñòâà ñ îñîáûìè òî÷êàìèâíåøíîñòè ìíîæåñòâà I , à â ñëó÷àåC+I =∞Sn=1Inïîëóòðàåêòîðèÿðàñïîëîæåíà âíóòðè I .Òåîðåìà 2.L(C + ) ñîäåðæèò ðåãóëÿðíóþòî÷êó è ïóñòü ïîëóòðàåêòîðèÿ C + è L(C + ) íå èìåþò îáùèõòî÷åê, òî åñòü C + 6= L(C + ).Åñëè C + ëåæèò âíå (èçíóòðè) ìíîæåñòâà I , òî ïîëóòðàåêòîðèÿCp+ , ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ ðåãóëÿðíóþ òî÷êó P ,äîñòàòî÷íî áëèçêóþ ê L(C + ) è ëåæàùóþ âíå (âíóòðè) I , èìååòL(C + ) ñâîèì ïðåäåëüíûì ìíîæåñòâîì.
Êðîìå òîãî,ïîëóòðàåêòîðèÿ Cp+ çàêðó÷èâàåòñÿ âîêðóã L(C + ) â òîì ñìûñëå,Ïóñòü ïðåäåëüíîå ìíîæåñòâî÷òî òðàíñâåðñàëü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ ðåãóëÿðíóþòî÷êóL(C + ),ïåðåñåêàåòCp+äëÿ áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ìîìåíòîââðåìåíè.Çàìå÷àíèå 1.ÌíîæåñòâîL(C + )ìîæåò ñîäåðæàòü îñîáûå òî÷êè è, òàêèìîáðàçîì, íå îáÿàíà áûòü ïåðèîäè÷åñêîé òðàåêòîðèåé.Ïðåäåëüíûå ìíîæåñòâà ñ îñîáûìè òî÷êàìèÄîêàçàòåëüñòâî.Ïðåäïëîæèì, ÷òî ïîëóòðàåêòîðèÿC+ëåæèò âíå I , ñì. Ðèñ. 3y2PnPn+1Pn+2PQ0L(C+)y1C+Ðèñ. 3Ïðåäåëüíûå ìíîæåñòâà ñ îñîáûìè òî÷êàìèÅñëèQ- ðåãóëÿðíàÿ òî÷êàïðîõîäÿùàÿ ÷åðåçQ,L(C + )èl- òðàíñâåðñàëü,òî, ñîãëàñíî ïðåäûäóùèì ðàññóæäåíèÿì,ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âëîæåííûõ äðóã â äðóãàçàìêíóòûõ ìíîæåñòâ{I n }òàêàÿ, ÷òî ãðàíèöàI =n=1L(C + ).Åñëè òî÷êàíåêîòîðîãîPInäîñòàòî÷íî áëèçêà êL(C + ),òî∞TPInåñòüëåæèò âíóòðèCp+Pn+2 Pn+1è âíå In+1 .
Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëóòðàåêòîðèÿèëè îñòàåòñÿ â In \In+1 , èëè ïåðåñåêàåò l íà èíòåðâàëåè ïåðåõîäèò â In+1 .  ïåðâîì ñëó÷àå L(Cp+ ) ïðèíàäëåæèò òàêæåìíîæåñòâó In \In+1 .N äîñòàòî÷íî âåëèêî, òî åñòü åñëè òî÷êàÅñëèPäîñòàòî÷íîáëèçêà ê L(C + ), òî íå ñóùåñòâóåò îñîáûõ òî÷åê ôóíêöèè íàìíîæåñòâå In \IN , n > N , èáî îñîáûå òî÷êè èçîëèðîâàíû.Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî L(Cp+ ) íå ñîäåðæèò îñîáûõ òî÷åê è,ïî òåîðåìå Ïóàíêàðå - Áåíäèêñîíà,L(Cp+ )ÿâëÿåòñÿïåðèîäè÷åñêîé òðàåêòîðèåé.Ïðåäåëüíûå ìíîæåñòâà ñ îñîáûìè òî÷êàìèÎäíàêî â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå (ñëåäñòâèå 1 èç òåîðåìû 4)áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî êàæäàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿñîäåðæèò âíóòðè ñåáÿ õîòÿ áû îäíó îñîáóþ òî÷êó.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
