1611689230-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (826746), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Ïðàâèëüíûå óçëû è ïðàâèëüíûå îêóñû. ÖåíòðûÕîòÿ òî÷êà ïðèòÿæåíèÿ ëèíåíîé ñèñòåìû ïåðåõîäèò â òî÷êóïðèòÿæåíèÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû, â îáùåì ñëó÷àå íåâåðíî, ÷òîóçåë ïåðåõîäèò â óçåë. ñëåäóþùåì ïðèìåðå ïðàâèëüíûé (äèêòðè÷åñêèé) óçåë äëÿëèíåéíîé ñèñòåìû ïåðåõîäèò â îêóñ äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû.àññìîòðèì ñèñòåìó:y2 ,yy′y1 1 .y2 = −y2 +ln(y12 +y22 ) 2′y1= −y1 −1ln( 12 + 22 ) 2(1)Î÷åâèäíî, ÷òî ñèñòåìà (1) óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèÿì êñèñòåìå (8) â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàå.Ïîëÿðíûå óðàâíåíèÿ äëÿ (1):′θ =1ln r,r′= −r .Ñëåäîâàòåëüíî,r= ρ(t ) = e −tïðè íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé >0èÏðàâèëüíûå óçëû è ïðàâèëüíûå îêóñû. Öåíòðû′′θ = ω (t ) =1ln ⇒−t= ω(t0 ) + ln(t0 − ln ).Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ω(t ) → −∞ω(t ) = − ln(t − ln ) + k ,ãäå kïðè t→ +∞è íà÷àëî -îêóñ äëÿ ñèñòåìû (1), õîòÿ äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìû′y1′y2= −y1 ,= −y2íà÷àëî - äèêèòðè÷åñêèé óçåë.Çíà÷èò, äëÿ òîãî, ÷òîáû óçåë äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû ïåðåõîäèëâ óçåë äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû íåîáõîäèìî íà óíêöèè f1 , f2(îáîçíà÷åíèÿ 23) íàëîæèòü äîïîëíèòåëüíûå òðåáîâàíèÿ.Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè f1(ε > 0),= O (r 1+ε ),f2= O (r 1+ε ),r→0òî ñîðìóëèðîâàííîå ñâîéñòâî ñîõðàÿíåòñÿ.Ýòîò ðåçóëüòàò - ÷àñòíûé ñëó÷àé îäíîãî ðåçóëüòàòà, êîòîðûéèìååò ìåñòî äëÿ îêóñà (ñì.
íèæå ñëåäñòâèå 1).àññìîòðèì êàíîíè÷åñêóþ îðìó äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû âñëó÷àå, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùàÿ ëèíåéíàÿ ñèñòåìà èìååò âÏðàâèëüíûå óçëû è ïðàâèëüíûå îêóñû. Öåíòðûíà÷àëå îêóñ:′y1′y2= αy1 + β y2 + f1 (y1 , y2 ),= −β y1 + αy2 + f2 (y1 , y2 ).(α 6= 0, β 6= 0)(2)Äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû′y1′y2= αy1 + β y2 ,= −β y1 + αy2(3)ïîëÿðíûå óðàâíåíèÿ òàêîâû:′= αr ,θ = −β.r′α < 0, β < 0, òî r = ρ(t ) → 0 èθ = ω(t ) → +∞ ïðè t → +∞.αÄàëåå, ρ0 e β - ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à çíà÷èòω + αβ ln ρ = äëÿ íåêîòîðîé êîíñòàíòû .Åñëè, íàïðèìåð,È íàîîáîðîò: äëÿ ëþáîé ïîñòîÿííîé ñóùåñòâóåò òàêîåðåøåíèå ñèñòåìû (3), ÷òîω+βln ρ = .αÏðàâèëüíûå óçëû è ïðàâèëüíûå îêóñû. ÖåíòðûÎïðåäåëåíèå 1.Åñëèα ± i β (α 6= 0)- õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà ìàòðèöûêîýèöèåíòîâ íåëèíåéíîé ñèñòåìûabd,òî íà÷àëî - ïðàâèëüíûé îêóñ, êîãäà îíî - òî÷êà ïðèòÿæåíèÿ,ïðè÷åì äëÿ êàæäîãî ðåøåíèÿ, ñòðåìÿùåãîñÿ ê íà÷àëó ïðèt→ +∞(èëè t→ −∞) ω +βα ln ρ→ïðè t→ +∞(èëèè êîãäà äëÿ ëþáîé ïîñòîÿííîé ñóùåñòâóåò ðåøåíèåíåëèíåéíîé ñèñòåìû, äëÿ êîòîðîãî(èëè t→ −∞).Åñëèβ = 0,ω+βα ln ρ→ïðè t−∞),→ +∞òî ýòî ñâîäèòñÿ ê îïðåäåëåíèþäèêòðè÷åñêîãî óçëà.Ñëåäóþùèé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî îêóñ äëÿ ëèíåéíîéñèñòåìû (êîòîðûé, êîíå÷íî, ïðàâèëüíûé!) ìîæåò íå ïåðåõîäèòüâ ïðàâèëüíûé îêóñ äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû.Ïðàâèëüíûå óçëû è ïðàâèëüíûå îêóñû.
Öåíòðûàññìîòðèì ñèñòåìóy1 ,yy′y2 1 .y2 = −y2 − y2 +ln(y12 +y22 ) 2′y1= − y1 + y2 +1ln( 12 + 22 ) 2(4)′Ïîëÿðíîå óðàâíåíèå (4), ñîäåðæàùåå r , èìååò âèär′r= −1 +1ln r.Ñëåäîâàòåëüíî,ρe t =Çíà÷èò,ρe t → 0ρ0,ln ρ − 1ïðè tρ0- íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.→ +∞,òàê êàêρ→0ïðè t→ +∞,÷òîïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî íà÷àëî - ïðàâèëüíûé îêóñ äëÿíåëèíåéíîé ñèñòåìû.Ñëåäóþùèé ïðèìåð äàåò äîñòàòî÷íîå óñëîâèå, êîòîðîå íóíîíàëîæèòü íà f1 , f2 , ÷òîáû ïðàâèëüíûé îêóñ äëÿ ëèíåéíîéñèñòåìû îñòàâàëñÿ òàêîâûì è äëÿ íåëèíåéíîì ñèñòåìû.Ïðàâèëüíûå óçëû è ïðàâèëüíûå îêóñû. ÖåíòðûÒåîðåìà 1.Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèåãäå1|fi (y1 , y2 )| ≤ ψ (x12 + x22 ) 2 ,ψ = ψ(r ) - íåïðåðûâíàÿ íóêöèÿ,≤ r ≤ r0 è òàêàÿ, ÷òî ïðèèíòåðâàëå 0i= 1, 2,(5)îïðåäåëåííàÿ íàr→0ψ(r ) = o (r )èZ0r0 ψ(r )r2dr(6)< ∞.(7)Òîãäà, åñëè íà÷àëî - îêóñ (èëè äèêòðè÷åñêèé óçåë) äëÿëèíåéíîé ñèñòåìû, òî îíî - ïðàâèëüíûé îêóñ (èëèäèêòðè÷åñêèé óçåë) äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû.Äîêàçàòåëüñòâî.Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ëèíåéíàÿ èíåëèíåéíàÿ ñèñòåìû çàïèñàíû â êàíîíè÷åñêèõ îðìàõ èβ ≤ 0.α < 0,Ïðàâèëüíûå óçëû è ïðàâèëüíûå îêóñû.
ÖåíòðûÏîëàãàÿ â (2) y1rrr= r os θy2= r sin θ ,ïîëó÷àåì:= αr 2 + r os θ · f1 (r os θ, r sin θ) + r sin θ · f2 (r os θ, r sin θ),θ = −β r 2 + r os θ · f2 (r os θ, r sin θ) − r sin θ · f1 (r os θ, r sin θ).′2 ′(8)Èìååìrr′= αr 2 + o (r 2 ),r→ 0.Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ êàæäîãî ðåøåíèÿ, ñòðåìÿùåãîñÿ ê íóëþïðè t→ +0(à òàêèì ñâîéñòâîì îáëàäàåò ëþáîå ðåøåíèå,êîòîðîå íà÷èíàåòñÿ äîñòàòî÷íî áëèçêî îò íóëÿ)′ρ <0ïðèäîñòàòî÷íî áîëüøèõ t .= ρ(t ) - ìîíîòîííàÿóíêöèÿ t ⇒ ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ óíêöèÿ t = g (r ), êîòîðàÿâáëèçè r = 0 ìîíîòîííà, ñêàæåì, äëÿ 0 < r ≤ r1 .Åñëè θ = ω(t ) - ðåøåíèå âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (8), òîîïðåäåëèì ω̃ : ω̃(r ) = ω g (r ) , 0 < r ≤ r1 .Òîãäà θ = ω̃(r ) - ðåøåíèå ñëåäóþùåãî óðàâíåíèÿ (îðìàëüíîåÏîýòîìó åñëè t äîñòàòî÷íî âåëèêî, òî rÏðàâèëüíûå óçëû è ïðàâèëüíûå îêóñû.
Öåíòðûäåëåíèå â ñèñòåìå (8)):dθ= F (r , θ),dr(9)ãäå( , θ) =F r( , θ) =F2 (r , θ) =F1 ros θ fros θα−β + F1 (r , θ),α r + F2 (r , θ)2 (r os θ, r sin θ)−f1 (r os θ, r sin θ) +(10)sin θ frsin θα1 (r os θ, r sin θ),(f2 r osθ, r sin θ).(11)Óðàâíåíèå (5) ìîæíî ïåðåïèñàòü:dθdr+β1= F̃ (r , θ),αr(12)ãäå( , θ) =F̃ rβ F2 (r , θ) + rF1 (r , θ) .αr r + F2 (r , θ)Èç (5), (6), (11) ñëåäóåò, ÷òî ïðè 0íåðàâåíñòâî|F̃ (r , θ)| ≤ 4< r ≤ r2(13)ñïðàâåäëèâî|α| + |β| ψ(r ).2α2r(14)Ïðàâèëüíûå óçëû è ïðàâèëüíûå îêóñû.
Öåíòðû ñèëó (14) è ïðåäïîëîæåíèÿ (7) èíòåãðàëZ0r̃F̃r, ω̃(r ) drr̃= min(r1 , r2 )ñõîäèòñÿ.Ïîýòîìó èç (12) ïîëó÷àåì, ÷òîω̃(r ) +ββln r → ω̃(r ) +ln r̃ −ααÈç îïðåäåëåíèÿ óíêöèèt→ +∞,ω̃Zr̃F̃r0èìååì, ÷òî, ω̃(r ) drω(t ) +ïðè rβα ln ρ(t ) - íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.→ 0.→ ,Íàîáîðîò, ïóñòü - äåéñòâèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ è ðàññìîòðèìóðàâíåíèåΦ(r ) = +Z0r( , Φ(s ) −F̃ sβln s )ds .α(15) ñèëó (14) è (7) ìîæíî ïîñòðîèòü ñõîäÿùóþñÿïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, êîòîðàÿ ïðèâîäèò ê ñóùåñòâîâàíèþðåøåíèÿΦóðàâíåíèÿ (15).Ïðàâèëüíûå óçëû è ïðàâèëüíûå îêóñû. ÖåíòðûÏóñòüω̃(r ) = Φ(r ) −Òîãäà â ñèëó (15)βln r .αθ = ω̃(r ) - ðåøåíèåω̃(r ) +βln r → αóðàâíåíèÿ (12) è ÿñíî, ÷òîïðè r→ 0.= ρ(t ) ïåðâîãîρ(t ) → 0 ïðè t → +∞, èρ(t ), ω(t ) îïðåäåëÿåò ðåøåíèåÑîîòâåòñòâåííî ñóùåñòâóåò ðåùåíèå róðàâíåíèÿ ñèñòåìû (8) òàêîå, ÷òîåñëèω(t ) = ω̃ ρ(t ) ,òî ïàðàñèñòåìû (8), äëÿ êîòîðîãîω(t ) +βln ρ(t ) → αïðè t→ +∞.Òåîðåìà äîêàçàíà.Ñëåäñòâèå 1.Çàêëþ÷åíèå òåîðåìû 1 ñïðàâåäëèâû, åñëè óñëîâèÿ (5) - (7)çàìåíèòü òàêèìè:f1= O (r 1+ε ),f2= O (r 1+ε ),r→ 0 (”O ”- î áîëüøîå).Ïðàâèëüíûå óçëû è ïðàâèëüíûå îêóñû.
ÖåíòðûÄîêàçàòåëüñòâî.Äîñòàòî÷íî â òåîðåìå 1 âûáðàòüψ(r )òàêîé:ψ(r ) = Cr 1+ε ,ãäåC - òàêàÿ ïîñòîÿííàÿ, ÷òî|f1 | ≤ Cr 1+ε ,|f2 | ≤ Cr 1+ε .Èññëåäóåì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà íà÷àëî - öåíòð äëÿ ëèíåéíîéñèñòåìû. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì îäèí ïðèìåð:′y1= y2 − y1√2y1+ y22 ,′y2= y1 − y2√2y1+ y22 .(16)Ïîëÿðíûå óðàâíåíèÿ:= −r 2 ,θ = 1.r′′åøåíèå ýòé ñèñòåìû, ïðîõîäÿùåå ïðè t(r0 , θ0 ),ãäå r06= 0,=0÷åðåç òî÷êóèìååò âèäρ(t ) = (t +1 −1r0) ,ω(t ) = t + θ0Ïðàâèëüíûå óçëû è ïðàâèëüíûå îêóñû. Öåíòðûè ïîýòîìóρ(t ) → 0èω(t ) → +∞ïðè t→ +∞.Ñëåäîâàòåëüíî, íà÷àëî - îêóñ äëÿ (16), õîòÿ äëÿñîîòâåòñòâóþùåé ëèíåéíîé ñèñòåìû îíî ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì. äåéñòâèòåëüíîñòè íåëèíåéíàÿ ñèñòåìà ìîæåò áûòü íàìíîãîáîëåå ñëîæíîé, ïðè÷åì íà÷àëî âñå åùå îñòàåòñÿ öåíòðîì.′y1= −y2 + y1 (y12 + y22 ) sinπ1( 12 + 22 ) 2πy y′22y2 = y1 + y2 (y1 + y2 ) sin1 .(y12 +y22 ) 2÷åðåç êàæäóþ òî÷êó(1 , 2 ) 6= (0, 0)ïðè t=0,(17)ïðîõîäèòåäèíñòâåííîå ðåøåíèå.Ïîëÿðíûå óðàâíåíèÿ= r 3 sin πr ,θ = 1.r′′1òðàåêòîðèè,n , n = 1, 2...
- ïåðèîäè÷åñêèå1ïðåäñòàâëÿåìûå ðåøåíèÿìè ρ(t ) = , θ(t ) = t + θ0 , θ0 nÎêðóæíîñòè r=ïîñòîÿííàÿ.Ïðàâèëüíûå óçëû è ïðàâèëüíûå îêóñû. ÖåíòðûÄàëåå,rrr′′′> 0, r > 1,< 0, 21m < r <> 0, 2m1+1 < r <12 −1 ,12 .mmÏîýòîìó íèêàêàÿ òðàåêòîðèÿ, êðîìå rm= 1, 2, ...1n , íå ìîæåò áûòü=ïåðèîäè÷åñêîé è êàæäàÿ íåïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ îñòàåòñÿïîëíîñòüþ âíóòðè îäíîé èç îáëàñòåé: r12 +1m<r <12 ,mmÒàê êàê óíêöèè> 1,12= 1, 2, ...ρèωìîíîòîííû ïðè t1m < r < 2m−1 ,→ +∞ (θ → +∞),òîýòè íåïåðèîäè÷åñêèå òðàåêòîðèè ëèáî äîëæíû ñòðåìèòüñÿ êîêðóæíîñòè rρ(t ) → +∞=1nïðè rïðè t> 1.→ +∞èëè t→ −∞,ëèáî æåÈòàê, íà÷àëî äëÿ ñèñòåìû (17) - öåíòð.Ïðèìåðû (16), (17) èñ÷åðïûâàþò âîçìîæíîñòè äëÿ íåëèíåéíîéñèñòåìû, êîãäà íà÷àëî - öåíòð äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû.Ïðàâèëüíûå óçëû è ïðàâèëüíûå îêóñû.
ÖåíòðûÒåîðåìà 2.Åñëè íà÷àëî - öåíòð äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû, òî îíî ÿâëÿåòñÿëèáî öåíòðîì, ëèáî îêóñîì äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû.Äîêàçàòåëüñòâî.è′y1′y2= β y2 + f1 (y1 , y2 ),= −β y1 + f2 (y1 , y2 )′y1′y2Ïðåäïîëîæèì, ÷òî= β y2 ,= −β y1β < 0;- íåëèíåéíàÿ ñèñòåìà(18)- ëèíåéíàÿ ñèñòåìà.â ïðîòèâíì ñëó÷àå t èðîëÿìè.−tìåíÿþòñÿÏîëÿðíûå óðàâíåíèÿ äëÿ (18):′= o (r ),θ = −β + o (1),r′r→ 0.Èç (19) ñëåäóåò, ÷òî ïîëÿðíûå óíêöèè r(19)= ρ(t ), θ = ω(t )ε > 0 è ρ0 > 0óäîâëåòâîðÿþò äëÿ ëþáûõ äîñòàòî÷íî ìàëûõÏðàâèëüíûå óçëû è ïðàâèëüíûå îêóñû. Öåíòðûïðè t>0íåðàâåíñòâàìρ0 e −εt < ρ(t ),Ïîýòîìóρ>0′ω > 0.> 0 è ω - ìîíîòîííàÿ= h(θ) è îïðåäåëèìρ̃(θ) = ρ h(θ) .ïðè âñåõ êîíå÷íûõ tóíêöèÿ t . Ñëåäîâàòåëüíî, tÒîãäàdr= F (r , θ),(20)θos θ · f1 (r os θ, r sin θ) + sin θ · f2 (r os θ, r sin θ).F (r , θ) =−β + (os θr )f2 (r os θ, r sin θ) − (sin θr )f1 (r os θ, r sin θ)dÍàîáîðîò, åñëè r= ρ̃(θ)- ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (20),íà÷èíàþùååñÿ äîñòàòî÷íî áëèçêî îò íà÷àëà, òî ïîëÿðíîåóðàâíåíèå äëÿθθ = ω(t ), êîòîðîåρ(t ) = ρ̃ ω(t ) , òî ïàðà ρ(t ), ω(t )áóäåò äàâàòü ðåøåíèåìîíîòîííî ïî t .
Òîãäà åñëèïîðîæäàåò ðåøåíèå ñèñòåìû (18), íà÷èíàþùååñÿ âáëèçèíà÷àëà.Ïðàâèëüíûå óçëû è ïðàâèëüíûå îêóñû. ÖåíòðûÈòàê, äîñòàòî÷íî èçó÷èòü ïîâåäåíèå ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (20).Ñâîéñòâà óíêöèè F : íåïðåðûâíîñòü ïî îáîèì ïåðåìåííûì(r , θ) â íåêîòîðîì êðóãå 0 ≤ r ≤ r1 (r1 > 0);F (r , θ + 2π) = F (r , θ) è F (t , θ) = o (r ), r → 0ðàâíîìåðíî ïîθ.Îäíàêî ýòè àêòû íå ãàðàíòèðóþò åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ (20).Ïóñòü r2 , 00≤ r ≤ r2 .< r2 ≤ r1èη>0Òîãäà ñóùåñòâóåò êðóã 0äàíû, è ïîëîæèì M≤r ≤r2= max |F |2 òàêîé, ÷òî åñëè òî÷êàäëÿ(ρ0 , θ0 )ëåæèò âíóòðè ýòîãî êðóãà, òî óðàâíåíèå (20) èìååò ðåøåíèå= ρ̃(θ), ρ̃(θ0 ) = ρ0 , êîòîðîå ñóùåñòâóåò äëÿ2 ) è îñòàåòñÿ âíóòðè êðóãà≤ |θ − θ0 | ≤ min(2π + η, 2rM0 ≤ r ≤ r2 .Áîëåå òîãî, èç ñîîòíîøåíèÿ F = o (r ), r → 0 ñëåäóåò, ÷òî åñëèr2r2 âûáðàíî äîñòàòî÷íî ìàëûì, òî2M > 2π + η .
 ýòîì ñëó÷àåóíêöèÿ ρ ñóùåñòâóåò íà èíòåðâàëå 0 ≤ |θ − θ0 | ≤ 2π + η èîñòàåòñÿ âíóòðè èíòåðâàëà 0 ≤ r ≤ r2 .r0Ïóñòü íà÷àëî - íå öåíòð. Òîãäà, óìåíüøàÿ â ñëó÷àåíåîáõîäèìîñòè r2 , ïîëó÷àåì, ÷òî â êðóãå r< r2íå ñóùåñòâóåòÏðàâèëüíûå óçëû è ïðàâèëüíûå îêóñû. Öåíòðûïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé.= ρ̃(θ), ïðîõîäÿùåå ÷åðåç òî÷êóρ̃(θ0 + 2π) < ρ̃(θ0 ), ëèáî ρ̃(θ0 + 2π) > ρ̃(θ0 ).àññìîòðèì ñíîâà ðåøåíèå r(ρ0 , θ0 ).Òîãäà ëèáîÍå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü òîëüêîïåðâûé ñëó÷àé.ρ̃(θ) − ρ̃(θ + 2π) îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðèòî â êðóãå r < r2 ñóùåñòâóåò ïåðèîäè÷åñêàÿòðàåêòîðèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ρ(θ) > ρ(θ + 2π) äëÿ θ ≥ θ0 . Òàêêàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ρ̃(θ0 + 2π k )}, k = 0, 1, ...
ìîíîòîííîÅñëè ðàçíîñòüâîçðàñòàíèèθ,óáûâàåò è ïîëîæèòåëüíà, òî îíà èìååò ïðåäåë r̃ .= 0, òî ρ̃(θ) → 0 ïðè θ → ∞. Åñëè r̃ > 0, òî ïóñòü ρ̃(θ0 + θ + 2π k ) = ρ̃k (θ). òàê êàê dd ρ̃θ ≤ M , òîïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ρ̃k } ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíà íà [0, 2π].Î÷åâèäíî, ρ̃k (0) → r̃ è ρ̃k (2π) → r̃ ïðè k → ∞.Åñëè r̃Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü{ρ̃k }, ñõîäÿùàÿñÿ ê ðåøåíèþ ρ̂ óðàâíåíèÿρ̂(0) = ρ̂(2π) = r . Çíà÷èò, ýòî ðåøåíèå ïåðèîäè÷íî,ïîñëåäîâàòåëüíîñòè(20), èïðîòèâîðå÷èå.Ïðàâèëüíûå óçëû è ïðàâèëüíûå îêóñû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
