1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Соответствующую угловую скорость вращения обозначим Аз'. Тогда скорость е прежней точки А можно представить в другом виде: е=ео +[а1'Г'), где г' — радиус-вектор, проведенный из О' в А. Так как речь идет о скорости одной и той же точки, то эта величина должна совпадать с (47А). Это дает ео+[еъг1 =ео +[ы'г'3, Подставим сюда г' = г+ Л, где тг означает вектор О'О. Кроме того, примем во внимание, что скорость точки О можно получить векторным сложением скорости точки О' и скорости вращения вокруг нее с угловой скоростью г»', т.
е. Ео = По +[Аз'Ат). С учетом этого получим е +[га'й)+[гаг)=ео +[Аз'(г+Ю)], или [гаг) = [О 'г). Рис. 129. В силу произвольности г отсюда следует 4. допустим, что твердое тело вращается вокруг неподвижной точки. Примем эту точку за начало координат О. Кинетическая энергия такого тела, очевидно, равна 7т'=-1 ~ е'1(т, где интегрирование ведется по всей массе тела. Воспользовавшись формулой е = (Гаг), можем написать е' =- (ее) = ((ыг)е), или после перестановки порядка сомножителей е' = (а1 (ге)). Так как г» одинакова для всех точек тела, то 2 или 2 ( (47.2) где 7.
— момент импульса тела относительно точки О, В общем случае векторы Т, и ез направлены под углом друг к другу. В этом проще всего убедиться на примере одной материальной точки М, вращающейся вокруг неподвижной или мгновенной оси. Возьмем начало О на этой оси. Тогда 1, = т [ге) = и [г [ГагД = тге1' — и (гга) г. 249 СКАТЫВАНИЕ ТЕЛ С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ 4 441 Последнее слагаемое в нуль, вообще говоря, ие обращается, а потому в общем случае векторы 7. и са не коллинеарны. Они коллинеарны только тогда, когда в качестве начала О взято основание перпендикуляра, опущенного из М на ось вращения. В этом случае мол4еит Е относительно точки О сводится к моменту относительно оси вращения.
Обозначая последний посредством 7 „, можем написать Ь = Ь„ = !н, где 7 — момент инерции точки относительно оси вращения. Таким образом, формула (47.2) переходит в К = == ',', 7 4» = ",, 7а4'. Последняя формула справедлива не только для одной материальной точки, но и для всего тела, покольку последнее можно рассматривать как систему лсатериальных точек, вращающихся вокруг общей оси. Таким образом, формула (47.2) эквивалентна формуле (33.6), полученной ранее иным путем.
й 48. Скатывание тел с наклонной плоскости 1. Пусть скатывающееся тело обладает симметрией вращения относительно геометрической оси С (рис. 130). Будем предполагать, что при движении не возникает скольжения. Зто означает, что скорость тела в точке касания А равна нулю. Отсутствие скольжения обеспечивается действием сил со стороны наклонной плоскости на скатывающееся тело. Зти силы СВОДЯТСЯ К СИЛЕ НОРМаЛЬНОГО ДаВЛЕНИЯ Ас; и к касательной силе трения Ас,. При от- й сутствии скольжения сила Е, есть сила трения покоя или сила трения сцепления. А Величина силы т44 может принимать любое значение от 0 до нг„, где й — коэф- 4Т фициент трения (см. 9 17). При качении она устанавливается как раз такой, чтобы Рис. 130.
не было скольжения. Если касательная сила, требующаяся для этого, превышает йг"„, то чистое качение невозможно — оно будет сопровождаться скольжением. Решим задачу о скатывании тела тремя различными способами. С и о с о б 1. Применим уравнение моментов относительно мгновенной оси вращения. При отсутствии скольжения мгновенная ось проходит через точку касания А. Так как мгновенная ось и ось, проходящая через центр масс С, движутся параллельно друг другу, то уравнение моментов имеет обычную простую форму 7А,и = МА~ (48. 1) где 7А — момент инерции скатывающегося тела относительно мгновенной оси, а МА — момент внешних сил относительно той же оси.
Внешними силами является сила тяжести тл' и реакция опоры, действующая со стороны наклонной плоскости на скатывающееся МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл. нн тело. Сила реакции опоры выпадает из уравнения моментов, так как она проходит через ось А, и ее момент относительно этой оси равен нулю. Таким образом, ЙО )А = тхг з(п а. Ж Обозначим о линейную скорость точки С. Она связана со скоростью ЕА точки А тела соотношением о = ЕА + вг. При отсутствии скольжения оА = О, а потому о = аг.
Для линейного ускорения РР !А точки С получаем а= -- г -. Поэтому предыдущее уравнение = и) дает Маг~ а= Йпа. ТА (48.2) По теореме Гюйгенса — Штейнера !А = 1с + тг', где )с — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс С. Следовательно, РИ!Па (48.3) 1+' тг~ Преимущество рассмотренного способа состоит в том, что в исходное уравнение (48.1) совсем не входит неизвестная реакция опоры.
С п о с о б 2. Применим уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр масс С. Оно также имеет простой вид дм Тс у1 =Мс = Л1К З ~П СŠ— ~ Т. ~Ь Ж (48.4) А'Р Йй Присоединив сюда прежнее соотношение а= „- е г -„- и разрешив полученные уравнения относительно а, найдем прежний где Мс — момент внешних сил относительно оси С. В это уравнение не войдет сила тяжести, так как она проходит через ось С. Момент создается силой реакции опоры.
При этом играет роль только слагаемая Р, этой силы, параллельная наклонной плоскости, т. е. сила трения сцепления. Ее момент Мс = гг"„ а потому йо Т'с д,- = ~+'~. йо Это уравнение содержит два неизвестных: угловое ускорение АТ и силу Е,. Недостающее уравнение дает теорема о движении центра масс: 1 481 скхтывхннв твл с нхклонноя плоскости 251 результат (48.3). Кроме того, получаем следующее выражение для силы трения сцепления: /с (48,5) С и о с о б 3. Применим закон сохранения энергии. Кинети- ческая энергия тела равна К =- '/, /лыг. Поэтому '/, Тлы' = ту/г, где й — высота, с которой опустилось тело при скатывании из состояния покоя.
Если оно прошло вдоль наклонной плоскости путь х, то /г = х з!п гх, и, следовательно, 1 2 2гг — /лы'= — о'= тух згп сг. Дифференцируя это соотношение по времени и замечая, что —, = о, вх снова получим формулу (48.2). 2. Так как на скатывающееся тело действует сила трения, то может возникнуть вопрос, почему в рассматриваемой задаче можно применять закон сохранения энергии в его механической фсрме. Ответ заключается в том, что при отсутствии скольжения сила трения приложена к тем точкам тела, которые лежат на мгновенной оси вращения. Мгновенная скорость таких точек равна нулю, а потому приложенная к ним сила трения сцепления работы не ггроиэводит и не влияет на величину полной кинетической энергии скатывающегося тела. Роль силы трения сцепления Р, сводится к тому, чтобы привести тело во вращение и обеспечить чистое качение. При наличии силы трепля сцепления работа силы тяжести идет на увеличение кинетической энергии не только поступательного, но и вращательного движения тела.
3. Комбинация /с/т, входящая в формулу (48.3), имеет размерность квадрата длины. Введем для нее обозначение 1, и назовем р радиусом инерции тела. Формула (48.3) принимает вид (48.6) Величину т можно назвать радиусом качения тела. Радиус качения есть расстояние между центром масс скатывающегося тела и мгновенной осью вращения.
Для цилиндра или шара радиус качения равен геометрическому радиусу этих тел. Ускорение скатывающегося тела и приобретенная им скорость поступательного движения зависят от отношения радиуса инерции к радиусу качения. Чем больше это отношение, тем медленнее скшывается тело. Особенно просто этот результат можно уяснить с помощью закона сохранения энергии. Если тело скатывается 252 МЕХАНИКА ТВВРДОРО ТЕЛА ггл. Чп с высоты Ь, то вся его потенциальная энергия тра переходит в кинетическую.
Последняя складывается из кинетических энергий поступательного и вращательного движений. Полная кинетическая энергия тела в нижнем положении равна гпд)г, т. е. зависит только от высоты )1. Чем большая доля кинетической энергии приходится на вращение тела, тем медленнее оно скатывается с наклонной плоскости. Отношение кинетической энергии вращательного движения к кинетической энергии поступательного движения равно Е р 21.МР 1' раях Максимальное значение для ускорения а получается в случае чистого скольжения при отсутствии сил трения.
Пользуясь выражениями для моментов инерции, полученными в 3 36, легко найти соответству1ощие радиусы инерции, а затем вычислить ускорение а. Таким путем получим следующие результаты. Полый цилиндр (без торцов): р' = г', а= - з)па. А Р Р 2' Сплошной цилиндр: р = —, а=- — и з1п 1х. М 2 2' 3 р 2 А 3 Полый шар: р'= — г', а= — дз1па.
3 ' 5 Сплошной шар: р = — г, а = — д з(п а. з 2 А 5 5 ' 7 Полые тела скатываются медленнее, чем сплошные тела той же геометрической формы. При одинаковых массах моменты инерции полых тел больше, чем сплошных. Поэтому на долю вращательного движения у полых тел приходится относительно ббльшая кинетическая энергия, чем у сплошных. Возьмем маховичок, насаженный на ось. Г1оложим ось на наклонные рельсы, чтобы маховичок находился между ними (рис.
131). Радиус качения в этом случае совпадает с радиусом оси Рас. 131 маховичка г. Отношение р!г здесь велико, и маховичок будет скатываться очень медленно. 4. Когда угол наклона а равен нулю, ускорение а обращается в нуль. Вместе с ним обращается в нуль и сила трения сцепления Г„ как это видно из формулы (48.5). Таким образом, твердое тело, облада1ощее осевой симметрией, например цилиндр или шар, при отсутствии скольжения катится по твердой горизонтальной плоскости прямолинейно и равномерно, совсем не испытывая силы сопротивления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
