1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 60

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 60)

Но эта работа представляется скалярным произведением (Мг+ Мз ф ...) бф. Значит, это скалярное произведение равно нулю, каков бы ни был поворот б~р. Отсюда следует, что для замкнутой системы М, + М, + ... = О. 3. Пусть вектор А неизменной длины вращается вокруг своего начала с угловой скоростью ю. Показать, что его производная по времени определяется формулой Зги формулы дают разложение скорости и ускорения нз радиальные (направленные вдоль радиуса) и азимутальные (направленные поу', т.

е. в сторону возрастания угла гр) составляющие: о, =- г', (46.13) а,=г' — фзг, (46.14) о, .=-га; а, = 2рф+ гф з. с помонгью соотногнения (46.!О) получить формулы для дафференцирования синуса и косинуса. Р е ш е н и е. Рассмотрим единичный вектор А, равномерно вращающийся вокруг начала координат 0 (рис. !27). Если координатные оси неподвижны, то l А = 1 соз го!+У яп в1. Производная этого вектора по 1 равна А А =1 (соз а1) +1 — - (яп в1).

5[В а1 ! С другой стороны, ту же производную можно выпзг числить по формуле (46.10). Так как в =- ай, то (7 555 ОЗГ эта формула дает А = в [)г А) = в соз в1 [а![+ в яп в1 ! Ц[ = = Уа соз вг — 1в яп в1. Сравнивая оба результата, получим гу л' Рис. !27.

ги ' Е1 (яп а1) =асов а!, -.- (сов в1) = — а яп а(. Л1ожно сказать, что векторная формула (46.10) эквивалентна правилам дифференцирования синуса и косинуса. й 47. Теорема Эйлера. Общее движение твердого тела !. Рассмотрим плоское деижение твердого тела, т. е. такое движение, когда все точки тела движутся параллельно одной плоскости. Не теряя общности, можно считать само тело плоским, а движение происходящим в плоскости тела. Положение плоского А Е А тела однозначно определяется заданием положений каких-либо двух точек его. Поэтому достаточно ограр ничиться рассмотрением движения у" в какой-либо одной прямой плоского г ~ л тела. Пусть выбранная прямая твер- Вг дого тела перешла из положения АВ в положение А,В, (рис.

128). Соедиг ним точку А с точкой А„а точку В с точкой В„. Из середин отрезков АА, и ВВ„восстановим перпендикуляры ЕО и ОО, пересекающиеся в точке О. Докажем, что прямую АВ можно перевести в положение А,В, путем одного поворота вокруг точки О.

Действительно, из построения следует, что точка О равно- удалена от точек А и А„а также от точек В и Взн В силу этого пря- () Рис. 126 з 471 теОРемА эйлеРА. ОБщее дВижение тВГРДОГО телА 246 МГХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл. чн мую АВ можно повернуть вокруг точки О так, чтобы точка А совместилась с точкой А,. Докажем, что при этом точка В также совместится с точкой В,.

Для доказательства допустим, что точка В не совместилась с В„а заняла положение В,. Разумеется, точка В, будет находиться на таком же расстоянии от О, что и точка В, а потому ОВ, =- ОВ,. Кроме того, в треугольниках ОА,В, и ОА,В., сторона ОА, — общая, а стороны А,В„и А,В, равны, так иак тело твердое, а потому расстояние между концами отрезка АВ не меняется при его движении. Следовательно, треугольники ОА,В, и ОА,В, равны. Отсюда заключаем, что ~ОА,В,= ~ОА,В„так что точка В, должна совпадать с точкой В,. Таким образом, при плоском движении твердое тело может быть переведено из любого положения в другое произвольное положение с помощью одного поворота вокруг некоторой оси.

Это положение является частным случаем теоремы Эйлера (1707 — 1?83), доказываемой ниже. Произвольное плоское движение тела можно разбить на ряд следующих друг за другом бесконечно малых перемещений. В результате получится ряд бесконечно близких положений 1, 2, 3, 4, ..., последовательно проходимых телом. Согласно доказанной теореме переход тела из положения 1 в положение 2 может быть осуществлен поворотом вокруг некоторой оси О,; переход из положения 2 в положение 3 — поворотом вокруг другой бесконечно близкой оси О, и т. д.

Если число промежуточных положений 1, 2, 3, ... стремить й бесконечности„а смещение тела из каждого положения в соседнее — к нулю, то произвольное плоское движение твердого тгла может рассматриваться как вращение вокруг мгновенной оси, движущейся как в теле, так и в пространстве. 2.

Совершенно аналогично формулируется теорема Эйлера. Согласно теореме Эйлера пюердое тело, имеющее одну неподвижную точку, может быть переведено из произвольного положения в другое произвольное положение путем поворота вокруг некоторой оси, проходящей через зту неподвижную точку. Доказательство теоремы Эйлера проводится совершенно так же, как и соответствующей теоремы для плоского движения. Если одна из точек твердого тела С неподвижна, то его положение однозначно определяется заданием положений каких-либо двух точек, А и В, не лежащих на одной прямой с точкой С.

В качестве точек А и В можно взять две точки на поверхности сферы с центром в точке С. Проведем через центр сферы С и точки А и В плоскость. Она пересечет сферу по дуге большого круга АВ. (См. рис. 128. Мы не рисуем отдельно соответствующую сферу и дуги больших кругов, а пользуемся прежним плоским рисунком, мысленно заменяя, где это нужно, прямолинейные отрезки дугами больших кругов. Понятно, что центр сферы С на плоском рисунке изобразить нельзя.) Движение дуги АВ по поверхности сферы однозначно определяет и движение всего твер- 4 471 ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. ОЕЩЕЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 247 дого тела, Пусть выбранная дуга перешла из положения АВ в положение А,В,. Соединим дугами больших кругов точку А с точкой А„ а точку В с точкой В,, Через середины этих дуг Е и 0 проведем перпендикулярные к ним дуги больших кругов ЕО и 00, пересекающиеся в точке О сферы.

Точку О соединим с центром сферы С прямой ОС. Докажем, что дуга АВ может быть переведена в положение А,В, путем поворота вокруг оси СО. Действительно, по построению точки А и А„а также точки В и В, равноудалены от точки О. Ввиду этого твердое тело можно повернуть вокруг оси СО так, чтобы точка А перешла в положение А,. Докажем, что при таком повороте точка В также перейдет в положение В,. Для доказательства допустим, что точка В при повороте перешла ие в положе. ние В„а в положение В,. Проведем дуги больших кругов ОА,, А, В, и ОВ,.

Так как точка В, находится на том же расстоянии от О, что и точка В, то чзОВ, = чзОВ,. Кроме того, в сферических треугольниках ОА,В, и ОА,В,дуга ОА, — общая, а дуги А,В, и А,В, равны, так как тело твердое, и, следовательно, при его движении длина дуги АВ не изменяется. Поэтому сферические треугольники ОА„В, и ОА,В, равны. Значит, ~ОА,В, = ~ОА,В„Е потому точка В, должна совпадать с точкой В,, Тем самым теорема Эйлера доказана. Доказанная в начале этого параграфа теорема является частным случаем теоремы Эйлера, так как плоское движение плоского тела может рассматриваться как предельный случай движения по сфе.

рической поверхности бесконечно большого радиуса. Рассуждая так же, как в случае плоского движения, из теоремы Эйлера можно вывести следующее следствие. Любое движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через эту неподвижную почку. С течением времени мгновенная ось, вообще говоря, непрерывно перемещается как в теле, п1ак и в пространстве. 3. Рассмотрим теперь самый общий случай движения твердого тела.

Выберем в теле произвольную точку О. Всякое движение твердого тела можно разложить на поступательное со скоростью е, равной скорости точки О, и вращательное вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку. Обозначая посредством ьэ вектор угловой скорости мгновенного вращения, можем написать для скорости другой произвольной точки А твердого тела и = по+(ьэг1, (47. 1) где и — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А (рис.

1291. Скорость поступательного движения Оо, конечно, зависит ог выбора точки О. Но угловая скорость ьэ не зависит от положения точки О, к которой отнесено вращение твердого тела. Поэтому можно говорить об угловой скорости враи(ения твердого пила, не указывая зту точку. Докажем это. 248 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. НН Выберем другую произвольную точку тела О' и отнесем к ней вращение твердого тела.

Характеристики

Список файлов книги