1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Задача сводится к определению положения мгновенной оси и угловой скорости мгновенного вращения. Пусть тело вращается вокруг оси О с угловой скоростью м, 4 461 УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ КАК ВЕКТОР. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ 241 а сама ось 0 вращается вокруг параллельной неподвижной оси 0„ с угловой скоростью агг (рис. 121). При сложении возникнет вращение вокруг мгновенной оси А, причем А Ьг сг' Вследствие вращения вокруг оси О, ось 0 получает скорость и = = аг, (й + й,), перпендикулярную к линии 0,0. Будем удалять О, в бесконечность, одновременно уменьшая агг так, чтобы величина скорости о оставалась неизменной. В пределе вращение оси 0 вокруг оси О, перейдет в поступательное движение со скоростью о.
Положение мгновенной оси вращения А определится ее расстоянием до оси О. Это расстояние равно л А 616гт (Аг г гг) сгг Амг Отсюда Так как атг -6 О, то в пРеделе )г = —. (46.8) Рис. 121. При этом угловая скорость мгновенного вращения в пределе сделается равной аг. 6.
Если аксиальный вектор «г продифференпировать по скалярному аргументу, например по времени А то в результате получится Й» новый аксиальный вектор т) = —, называемый угловьгм ускорением ггг ' (см. 2 7). Его проекции на координатные оси по определению даются ггсги ггеу выражениями т)„= — „', т(„= — ", т1,= — „'. Аналогично, в результате интегрирования «т по 1 получается другой аксиальный вектор ф=')агг(1 с составляющими ф„=)иг,г(1, ф, =~аг, с(1, Гр,= =--~ ы, с(г. Векторный (точнее, псевдовекторный) характер этих величин, как всегда, означает только то, что при повороте (но не инверсии) координатных систем их составляющие преобразуются так же, как разности координат концов направленного геометрического отрезка.
Если направление оси вращения не меняется с течением времени, то вектор тр направлен параллельно «г, т. е. по оси вращения. Его длина численно равна углу поворота тела за рассматриваемый промежуток времени. Поэтому ф естественно назвать угловым поаоролгом тела. По величине угловой поворот пропорционален площади сектора ОАВ, описываемого каким-либо отрезком ОА, перпендикулярным к оси вращения, при его переходе 242 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА !ГЛ.
Ч«! из начального положения ОА в конечное положение ОВ (рис. 122). Направление «р совпадает с направлением перпендикуляра к плоскости сектора ОАВ, а его составляющие ф„, ф, ф, пропорциональны площадям проекций этого сектора на координатные плоскости. Зто лишний раз подтверждает векторный характер величины «р (см. 5 7). 7. На примере угловых поворотов можно сэ наглядно показать необходимость строгого разграничения между математическим сложением векторов (аксиоматически опреде- В ляемым с помощью правила параллелограмма) и физическим сложением их, вводимым с помощью какой-либо физической операции.
Введем физическое сложение А угловых перемещений в том же смысле, в каком понимается физическое сложение линейных перемещений (см. 5 7, п. 6). Пусть материальная точка последовательно совершает вращения вокруг различных осей, проходящих через неподвижную точку О (рис. 123). При таких вращениях она движется вдоль дуг больших кругов по поверхности сферы с центром в О. Пусть точка перешла из начального положения А в конечное положение В вдоль дуги большого круга АВ. Радиус-вектор точки при этом повернулся на угол ф,. Затем точка совершила поворот на угол ф„перейдя по дуге большого круга ВС из положения В в положение С. Каким одним поворотом А можно заменить эти два поворота, чтобы перевести точку из того же начального положения А в то же конечное положение С? ггЪ,!,ф Ясно, что таким поворотом будет вращение точки по дуге большого круга, проходящей через точки А и С.
Обозначим соответствующий угол поворота «р,. В соответствии со сказанным выше рассматриваемые три поворота можно изобразить векторами «р„«р„«р„перпендикулярными соответстРис. !23. венно к плоскостям секторов ОАВ, ОВС и ОАС. Поворот ф, можно назвать суммой поворотов «р, и «р, в рассматриваемом физическом смысле. Ясно, что такое сложение не подчиняется правилу параллелограмма. Это видно уже из того, что в общем случае вектор «р, не лежит в плоскости векторов «р, и фя Особенно очевидным станет это утверждение, если рассмотреть частный случай.
За начальное положение материальной точки возьмем полюс А (рис. 124). Затем по дуге меридиана АВ совершим первый поворот на угол «р, =- 90', переведя точку в положе- в ча) тглоалЯ скорость кяК виктор. сложигив вращения 243 ние В на экваторе.
Второй поворот на угол гр, = 90' совершим по дуге экватора ВС. Очевидно, третий поворот фа надо произвести по дуге меридиана АС также на 90'. В рассматриваемом случае все три вектора, ф„фачф „взаимно перпендикулярны и имеют одну и ту же длину. Ни один из них не может быть геометрической суммой двух других. Если ф, ф,, ф„ означают проекции вектора ф на координатные оси, то гр = ф,й + ф„р + ф,й. Здесь сложение понимается в математическом смысле (по правилу параллелограмма).
Однако, как следует из изложенного, слагаемые ф,г', фв)', ф,й нельзя рассматривать как последовательно выполняемые повороты вокруг А координатных осей, приводящие к единому повороту, представляемому вектором гр. Рнс. 124. Рнс. 125. 8. Допустим, однако, что углы ф„ф„фз неограниченно стремятся к нулю. Тогда сферический треугольник АВС (см. рис. !23) становится бесконечно малым и может считаться плоским (рис. 125). Луги больших кругов АВ, ВС и АС могут рассматриваться как прямолинейные отрезки.
Векторы угловых перемещений бгр„бф„ бф, будут лежать в плоскости треугольника АВС. (Мы пишем бгр вместо ф, чтобы подчеркнуть, что речь идет о бесконечно малых углах.) Они, очевидно, перпендикулярны к сторонам АВ, ВС и АС соответственно, а их длины пропорциональны этим сторонам (см. рис.
125). Отсюда следует, что бесконечно малый вектор бгр, является геометрической суммой векторов бгр, и бгра Это значит, что бесконечно малые угловые перемещения складываготся геометрически (в указанном выше физическом смысле), т. е, по правилу параллелограмма. Иными словами, такое физическое сложение угловых перемещений в пределе бесконечно малых углов поворота переходит в математическое. ЗАДАЧИ !. Показать, что элементарная работа, совершаемая над системой матернальнык точек прн ее повороте на бесконечно малый угол бф, выраягается скаля рным произведением 6А = (Мбф), (46.9) МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. УИ А = [ыА[.
(46.10) В частности, при вращении координатной системы орты 1, у', Ф дифференцируются по формулам: лг=[ " бг=["у' бг=[""' (46.! 1) Р е ш е н и е. Вектор А неизменной длины можно отозкдествнть с абсолютно твердым тонким стержнем той же длины. Если начало вектора А неподвижно, то производная А имеет смысл скорости движущегося конца стержня. При такой интерпретации форму- 1 ла (46.10) становится частным случаем формулы (46.4). 4.
Движение точки на плоскости можно задать полярными координатами г и гр (рис. 126). Найти вы- Г ражеиия для скоростя и ускорения точки в этой системе координат. Р е ш е н и е. Введем единичные векторы г', г', й. Р Вектор ! направим вдоль радиуса г. Вектор / перпен() дикулярен к нему и направлен в сторону возрастания угла ф.
Вектор й (не изображенный на рисунке) перпендикулярен к плоскости рисунка и образует с векторами Г и Г' правовинтовую систему. При движении точки векторы 1 и у вращаются вокруг начала координат с угловой скоростью ю= ф. Вектор угловой скорости направлен вдоль Ф, так что ю = фй. Применяя формулы (46,1!), находим производные векторов ! и уй -„;-=ф[й
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
