1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 63
Текст из файла (страница 63)
11. !(а««им местом шашки следует наносить удар по лозе, чтобы прн рубке пе ощущалась неприятная отдача? Шашку считать однородной полосой длины 1, которую при ударе держат за конец. О т в е т. Расстояние от руки до места удара должно составлять 2!13. 12. Твердый цилиндр н.ли шар, полол«енный на твердую горизонтальную плоскость, катится по ней со скозьжением. Показать, что во время качения наступательная и вращательная скорости этого тела связаны соотношением тго+ 1ы = сапа!, (48.7) где 1 — момент инерции оп«осительно геометрической оси тела.
Р е ш е н и е. Уравнения движения центра масс и моментов имеют вид да г!ю лг =«Р, 1 ? РМ4 -Кгг. дг ' дг Верхний анак относится к случаю, когда сила трения Е направлена вперед (по«з)з«атель««ое движение ускоряется, вращение замедляется), нижннй— когда гс направлена назад (поступательное движение замедляется, вращение ускоряется). Йсключая г и ай найдем в обоих случаях тг до = — 1 дш, откуда и следует (48,7). 13. Согласно ураннению (48.7) качение твердого тела по горизонтальной плоскости не можег прекратиться, если нет никаких дополнительных сил, помимо горизонтальной силы трения, действующей в точке касания. В чем причина расхождения этого вывода с опытом? Р е ш е и и е.
Реальные тела двформируе»«ы. На плоскости, по которой катится тело, возникает углубление. Силы трения, действующие иа катящеесн тело, на рнс. 140 изображены маленькими стрелками, их результирующая Г =- АВ. г Ясно, по моь«епт сил трения М больше мо. мента результирующей, т. е. М л гг (Р и М вЂ” величины положителы«ыс). 1(з уравнений т до —.— 7'«11, 1 дш —: — м М «11 почленным делением и умножением на г получаем л«»да+ 1«(м(гг?М) = О. С учетом неравенства ггч ( М отсюда следует тг да+ 1 ды < О, или д Рнс.
!40. (тго+ 1м) ( О. (48.8) Таким образом, в случае реального качения величина тт+ 1ы убывает со временем н в конце концов обращается в нуль. 14. Сплошному однородному шару радиуса г, лежащему на горизонтальной плоскости„в момент 1 = 0 сообщена скорость э, без вращения. Учитывая трение скольжения, но пренебрегая трением качения, найти угловую скорость шара, когда его движение персйдег в чистое качение. Определить потерю кинетической энергии на трение. Р е ш е н и е.
Па основании (48.7) тгиа=тга+1ы=(тгз+1) оз, где о — поступательная, а ы — вращательная скорости шара после установлении чистого качения. Отсюда и найдется искомая угловая скорость ы. По»тря 258 [ГЛ. У[1 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА кинетической энергии равна ! 1 АК = —- о 2 1+тгз о — 7 15. Сплошной однородный шар радиуса г, вращающийся вокруг горизонтального диаметра с угловой скоростью ыо, ставится на горизонтальную плоскость без сообщения ему поступательного движения. Учитывая трение скольжения, но пренебрегая трением качения, найти лнаейную скорость а центра шара, когда его движение перейдет в чистое качение.
Определить потерю кнне. тической энергии на трение. 2 ! тго ! Ответ. а= — ыо= — гыо АК=— ° /ы'= -тг'ы„'. 1+юга 7 ' 2 1+тго о 7 16. Бильярдный шар катится без скольжеаяя по горизонтальной плоскости со скоростью а и ударяется в покоящийся такой же бильярдный шар, причем линия центров параллельна скорости движения. Определить скорости обоих шаров после того, как их движения перейдут в чистые качения. Какая доля первоначальной кинетической энергии перейдет в тепло? Считать, что при столкновении шаров передачи вращательного движения ие происходит. Потерей энергии на трение при чистом качении пренебречь. О т в е т. Скорость первого шара а, = '/,а, второго аз = о/,а, Потеря кинетической энергии на трение составляет зо/ел начального значенйя кинетической энергии.
!7. Два одинаковых бильярдных шара катятся без скольжения навстречу друг другу с одной н той же скоростью а, и претерпевают упругий удар. Предполагая, что удар центральный и за время саударения шаров утловые скорости не изменяются, вычислить скорость каждого шара после столкновения, когда установится чистое качение.
Р еш е и и е. При столкновении шары обмениваются поступательными скоростями, тогда как вращательные скорости их сохраняются неизменными. Очевидно, достаточно найти движение одного из шаров. Непосредственно после стологновения начальные скорости рассматриваемого шара будут а„, !оооо = ыо = ао/г.
ПоэтомУ на основании (48.7) ДлЯ ДвижениЯ шаРа после столкновения можно написать тот+ /м = — тазг+ /ыо. После установления чистого качения а = ыг, и следовательно, 1 — тго 3 . ао= — — ао 1+тяго 7 18. Бильярдный шар, катящийся без скольжения со скоростью ао, отражается упруго при нормальном столкновении с неподвижной стенкой.
Предполагая, что за время соударения угловая скорость шара не меняется, определить его скорость а после отражения, когда движение перейдет в чистое качение. 1 — тго 3 Ответ. а= ао=--ао. 1+тго 7 16. Как надо ударить кием по бильярдному шару, чтобы сила трения шара о сукно бильярдного стола заставляла его двигаться: а) ускоренно, б) замедленно, в) равномерно? Предполагается, что удар наносится горизонтальна в вертикальной плоскости, проходящей через центр шара и точку касания его с плоскостью бильярдного стола. Ответ. Шар будет двигаться равномерна, если точка удара лежит выше его центра на расстоянии о/о радиуса. Такие удары называются нариальныли.
Если она лежит еще выше, то движение шара будет ускоренным. Если же точка удара лежит ниже, то шар будет двигаться замедленно. Соответствующие удары называют высокими и низкили. Решение получено в предположении, что сила трения шара о плоскость стола пренебрежимо мала по сравнению с силой, с которой на шар действует кий во время удара, 4 зв! сдлтывлнид тпл с наклонном плоскости 259 и уравнению моментов (относительно геометрической оси цилиндра) дю 1 — = — Рг, лт Исключая г', получим г(о ЙО глг — = — г' — — тлг в!п а.
г)г ог Рис. 141. Интегрирование этого уравнения с учетом начального условия (ы = ыэ при ! = О) дает гаго = ! (ыз — ы) — гллг! з)п а. Это соотношение справедливо в течение всего времени движения, независимо от того, происходит ли оно со скольжением или является чистым качением. В наивысшей точке должно быть о = О. Отсюда следует, что в той же точке ы = О.
В противном случае цилиндр продолжал бы вкатываться и рассматриваемая точка не была бы наивысшей. Поэтому время подъема Г найдется, если в предыдущем уравнении положить о = ы = О. Это дает гыа ггао тлгшпа 22 вша Любопытно, что время поднятия (не зависит от коэффициентов трения между цилиндром и наклонной плоскостью. Результат не изменился бы даже тогда, когда коэффициент трения стал переменным.
Решение предполагает, однако, что тренве достаточно велико, чтобы цилиндр мог вкатываться на наклонную плоскость. При недостаточном трении будет происходить лишь замедление скорости вращения цилиндра. Нетрудно подсчитать, что время замедления определяется прежней формулой. Напротив, время обратного скатывания цилиндра вниз, а также наибольшая высота поднятия его зависят от коэффициента тренин.
Такое различие объясняется тем, что скатывание цилиндра все время является чистым качением. Поднятие же 20. Как надо ударить кием по бильярдному шару, чтобы при столкновении с другим (неподвижным) шаром: а) оба шара стали двигаться вперед (удар с накатом), б) первый шар остановился, а второй двигался вперед, в) второй шар двигался вперед, а первый откатился назад (удар с овптяжкод)У Относительно направления и плоскости удара ввести те же предположения, что и в предыдущей задаче.- О т в ет. Случай а) реализуется при высоких ударах, случай б) — при нормальных, случай в) — при низких.
21. Вращающийся с угловой скоростью юз сплошной однородный цилиндр радиуса г ставится без начальной поступательной скорости у основания наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтальной плоскостью, и начинает вкатываться вверх. Определить время, в течение которого цилиндр достигает наивысшего положения на наклонной плоскости. Р еш е н и е. Пусть Р— сила трения, действующая на цилиндр в месте соприкосновения его с наклонной плоскостью (рис. 14!). Она заставляет цилиндр поднниаться по наклонной плоскости, Сначала, пока не установилось чистое качение, Р является силой трения скольжения.
После перехода движения в чистое качение Р переходит в силу трения покоя (сцепления). Однако, независимо от характера движения, оно всегда подчиняется уравнению движения центра масс 260 (гл ии мехА?1икА твердого телА его виерх сначала происходит со скольжением, а затем переходит в чистое качение.
22. Считая в предыдущей задаче коэффициент трения скольжения А цилиндра о наклонную плоскость заданным и постоянным, определить: 1) ускорение цилиндра ас, когда качение происходит со скольжением; 2) время Ео по истечении которого наступает чистое качение; 3) высоту Н,, которой достигает цилиндр, прежде чем начинается чистое качение, 4) ускорение аз при чистом качении; 5) дополнительную высоту Нс, на которую поднимется пилнндр при тетом качении; б) полную высоту поднятия Н; 7) время обратного скатывания цилиндра вниз ~. Предполагается, что А ) 1яа. О т в е т. а, = я (11 соз а — гбп а), направлено вверх; ! ыэг Ь?Ы (7+юга) а,+ются яп се (ЗА сова — яп а) 21 1, тг' 2 .
а, Н,= аЯяпсс; с,= — „асяпи=- яппи; Нс=- Н,', 2 ' ' 1+тгв 3 ' ас Й соз я — яп сс 4я (ЗА соз а — з!п а) 2Н юсга -)/3(й сваи — япа) а,а)па 2яз)па )с Здсоза — япи -у' й 23. ВРащающийсЯ с Угловой скоРостью юа сплошной одноРодный цилиндР массы т, ставится без начальной поступательной скорости на длинную доску массы тс, лежащую на гладкой горизонтальной плоскости. Начальная скорость доски равна нулю.
Пренебрегая силой трения качения, но учитывая трение скольжения между доской и цилиндром, найти угловую скорость вращения цилиндра после того, как его движение перейдет в чистое качение. Лоска предполагается настолько длинной, что чистое качение успевает установиться до того, как цилиндр скатится с доски. т,+т, Ответ. ю= ' ' юэ. т, +3?па 24, В сплошном однородном цилиндре радиуса )2 сделана цилиндрическая полость радиуса 012 с осью, проходящей через середину радиуса цилиндра (рис.
142, а). Определить период малых колебаний Т, которые возникнут, если положить цилиндр на горизонтальную плоскость и дать ему возмонсность кататься по ней без скольжения. .'Ас с Р е ш е н и е. Задача сводится к нахождению выражений для потенциальной н кинетической энергий системы. С этол целью мысленно заполним полость тем же ау Эу' веществом, из которого сделан цилиндр. Образовавпсийся таким образом сплошРис. 142. ной однородный цилиндр назовем цилиндром 1, а цилиндр вдвое меньшего радиуса, заполняюсций полость, — цилиндром 2. Массы цилиндров обозначим соответственно т, и тс. Энергия системы, как потенциальная, так и кинетическая, будет равна разности энергий цилиндров 1 и 2.
При повороте системы из положения равновесия на угол ср (рис. 142, б) центр масс пилиндра 1 остается на прежней высоте, его потенциальная энергия (7? не изменяется. Потенциаль- 17 на я же энергия цилиндра 2 становится равной (сс =- ?пляйс, где Ас =)7+ — соа ср— 2 ны ота центра масс этого цилиндра над горизонта,сыюй плоскостью, на которой 261 СКАТЫВАНИЕ ТЕЛ С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ $481 находится система. Полная потенциальная энергия всей системы 1 (7 = (1, — (Га = сапа( — тздЯ (1+ саз гр ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
