1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Тогда момент импульса гироскопа относительно точки опоры пред. ставится выражением = ~ г(ггг (р тго1 + ~ вр ГДЕ Е„р — МОМЕНТ ИМПУЛЬСа, ВОЗНИКаЮЩИй только пз-за вращения. Если ввести ра. диус-вектор центра масс нс, то ,г. = т.„+ и 1» о 1. (49.7) Продпфференцировав это выражение и под. ставив в формулу (37.2), получим А,р — — М вЂ” и [гсоо) (49.8) Эта формула показывает, что от движения точки опоры можно отвлечься. Но тогда Рггс. 149. к моменту действующих сил М надо приба.
ВптЬ МОМЕНТ «фИКтннипй СИЛЫ», ИЛИ «СИЛЫ ИНЕРЦИИ» Р в„=- — ИОО, пргиложенной к центру масс гироскопа. Этот результат станови~ся совершенно естественным, если отнести движение к системе отсчета, в которой точка опоры гироскопа неподвижна (см. гл. 1Х). й 50. Гнроскоп под действием сил. Приближенная теория 1.
Наиболее интересным видом движения гироскопа является вынужденная арецессия. Она возникает под действием внешних сил. Возьмем, например, гироскоп, изображенный на схематическом рис. ! 50. Он состсшт из двух одинаковых маховичков, свободно насаженных на общую ось. Гироскоп устроен так, что он может свободно вращаться не только вокруг его оси фигуры ОЯ, но также МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ, Ч11 и вокруг вертикальной и горизонтальной осей ОУ' и ОХ. Про такой гироскоп говорят, что он имеет три степени свободы.
Приложим в какой-либо точке А оси фигуры гироскопа постоянную силу Р, например, подвесим в этой точке небольшой груз Р. Когда маховички гироскопа не вращаются, наблюдается привычное явление: под действием веса груза правый маховичок опускается, левый— поднимается. Однако движение приобретает совсем иной характер, если предварительно маховички были приведены в быстрое вращение в одну и ту же сторону "). В этом случае ось фигуры гироскопа вместе с грузиком Р не опускается, а начинает медленно вращаться с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси 0)'. Такое вращение называется И вынужденной прецессией.
А' Вынужденная прецессии проще всего объясняется приближенной теорией гироскопа. Гироскопу всегда 1— стремятся сообщить быстрое вра1ценне вокруг оси его фигуры. Но вследствие, различных причин гироскоп, вообще говоря, полу- И чает также вращение во- круг перпендикулярной Рне. 1бо. оси. Специфические гиро- скопические эффекты проявляются тогда, когда это вращение является медленным по сравнению с вращением вокруг оси фигуры гироскопа. В приближенной теории им пренебрегают. В формуле 149.4) отбрасывают второе слагаемое, т, е.
полагают убю~[ 1 Нш. Сбб. )) В этом приближении векторы ю и д, не отличаются по направлению, оба они направлены вдоль оси фигуры гироскопа. Поэтому о движении оси его фигуры можно судить по изменепшо направления вектора Е, описываемому уравнением (49.3). Если рассматривать Е как радиус-вектор, то производная А геометрически может быть истолкована как скорость движения конца вектора д..
Допустим, что точка приложения внешней силы Р'лежит на оси фигуры гироскопа. Момент этой силы будет М= (аР), где а — радиус-вектор, проведенный от точки опоры гироскопа к точке приложения силы Р. ") В демонстрацнонных опытах маховнчок гироскопа приводят в быстрое вращеннс, прнжнмая его обод к шкиву электромотора. Существуют гироскопы (напрнмер, волчки-компасы), которые сами представляют собой электродвигатели с вращающимся магнитным полем н приводятся во вращение трехфаэным током, 3 гв] ГиРОскОп под деЙстВием сил, пРиБлиженнАя теОРия 27! В силу уравнения (49.3) вектор «скорости» л, будет перпендикулярен к оси фигуры гироскопа 2, Такой момент сил может изменить только направление вектора л., а не его длину. Следовательно, если внешняя сила Р постоянна, то вектор с, а с ннм и ось фигуры гироскопа должны совершать равномерное вращение вокруг оси ОУ.
Это вращение и есть вынужденная прецессия. Вектор угловой скорости прецессии »г в рассматриваемом примере направлен вдоль оси ОУ. Если один нз маховичков (см. рнс. 150) закрутить в одну, а другой — в противоположную сторону с той же угловой скоростью, то прецессии не возникает. В этом случае т. = О, и под действием груза Р гироскоп поворачивается вокруг горизонтальной оси ОХ, как если бы его маховички не вращались.
2. Найдем длину вектора»г. Вектор Е изменяется только вслед-. ствие вращения с угловой скоростью прецессии»г. Для линейной скорости движения его конца, т. е. производной А, можно написать ь' = З (.). Поэтому уравнение (49.3) дает (50.2) [»«Ц = М. Из этого уравнения и можно найти угловую скорость прецессии 4«. В нашем примере вектор 4« перпендикулярен к оси фигуры гироскопа, а потому й = — = —.
М А] (50.3) Отсюда в а »« = — — Р=— Р. 1. 1зми (50.4) Приведенные рассуждения справедливы при условии») (~ ь], т. е. для быстро вращающегося гироскопа. Вращение гироскопа считается бь]стрии, если угловая скорость вращения вокруг его оси фигуры ь]в очень велика по сравнению с угловой скоростью вращения вокруг йерпендикулярной оси ь] г.
В частности, она должна быть очень большой и по сравнению с угловой скоростью прецессии»1. Для быстро вращающихся гироскопов, применяющихся в технике, величина Р. бывает в миллионы раз меньше ь]. Е 1]Г» Легко найти вектор»г и в более общем случае, когда ось фигуры гироскопа наклонена к оси, вокруг которой совершается его прецессия, Для этого подставим в уравнение (50.2) выражение М =, =- [аР) = а [вР), где а — единичный вектор вдоль оси фигуры гироскопа. Так как приближенная теория пренебрегает различием направлений вектора л. и оси фигуры гироскопа, то л, = 1,в.
В результате уравнение (50.2) преобразуется к виду Е [»гв) = а[аР1. 272 !гл ю! МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТВЛА 3. Для демонстрации вынужденной прецессии совсем не обязательно, чтобы у гироскопа было два маховичка. Можно обойтись и одним маховичком. На рис. 151 изображен небольшой гироскоп с одним маховичком, подвешенный на нити.
Вращающий момент М создается собственным весом Р маховичка. Он и вызывает прецессию вокруг вертикальной оси. На схематическом рис. 152 тот же опыт воспроизведен в более крупном масштабе. Маховиком служит массивное велосипедное колесо с наращенной осью, приведенное в быстрое вращение. Колесо подвешивается на длинном проволочном канате за наращенный конец оси. Оси колеса придается приблизительно горизонтальное положение. Колесо прецессирует вокруг вертикальной оси под действием собственного веса. Опыт производит сильное впечатление.
Рис. !В!. Рис. !52. Уж очень неожиданным кажется двикение колеса, когда оио не опускается под действием собственного веса, а непрерывно «уходит вбок». 4. Наконец, для наблюдения прецессии под действием собственного веса гироскопа нить также не обязательна. Можно взять симметричный гироскоп с неподвижной точкой опоры, расположенной на оси его фигуры. Точка опоры может находиться ниже центра масс (как в игрушечном волчке). Но она может находиться и выше центра масс. Тогда гироскоп называется гироскопическим маятниюз>.
В Обоих случаях угловая скорость прецессии 11 определяется формулой (50.4), в которой следует положить Р = >пд. Для периода прецессии Т = 2пЛ2 получаем 7 = 2л — '!- -. (50.5) $ 501 ГИРОСКОП ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ. ПРИБЛИЖеННАЯ ТеОРИя 273 Н случае гироскопического маятника время Т называется его периодом. Зтоелу периоду можно привести в соответствие приведениуго длину ( гироскопического маятника по формуле Т=2П 1 (( (50.6) Она равна Пшз (50. 7) Прн больших скоростях вращения и н малых а приведенная длина гироскопического лзаятника может быть сделана оченьбольшой, а его период доведен до десятков минут. Направление осн фигуры такого гироскопического маятника очень мало подвержено влняншо кратковременных сил и толчков.
Гироскопические маятники применяются на самолетах и судах для создания искусственного горизонта (см. 3 52) и искусственной вертикали. П р и м е р. Гироскоп одного нз авнагорнзонтов характеризуется следующими параметрами: гп = 5 1О' г, (и =-- 8 1Оа г см', а =- 0,25 см. Гироскоп делает 20 000 об(мнн и, следовательно, его угловая скорость ш = 2094 рад(с. Подставляя этн данные в формулы (50.6) и (50.7), получим ( =- 160 км, Т = 860 с = = 14 мнн 20 с. Угловая скорость вынужденной прецессии меньше угловой скорости вращения вокруг осн фигуры гироскопа примерно в 1,7 10н раз, 5.
Поведение гироскопа прк вынужденной прецессии па первый взгляд противоречит закону сохранения энергии. Вез грузика Р ось фигуры гироскопа оставалась неподвижной (см. рнс. !50). Как только был повешен грузик, сразу же возникало прецессионное движение.
С этим движением связана дополнительная кинетическая энергия гироскопа. Откуда взялась эта энергия? Единственная сила, которая могла сообщать гироскопу эту кинетическую энергию, есть нес грузика Р. Но 4 эта сила направлена внвз, она перпенднкулярнн к направлению прецесснонного движення и поэтому работы не производит. Деталь- д/ ный ответ на этот и аналогичные вопросы дает / тагная теория гироскопа, излагаемая в $ 52. Злесь мы ограничимся предаарнтельпымн, в ос- / новном качественными, соображеннями.
С вЂ” — м/пз,) 6. Исследуем сначала, как возбувсдается регулярная прецессии. Допустим, что гироскоп Рис. 153. приведен во вращение вокруг его оси фигуры с угловой скоростью шп. Пусть ось фигуры совершает дополнительное равномерное вращение с шловой скоростью 0 вокруг неподвижной осн, составляющей произвольный угол с осью фигуры (рис. 153). Выясним, при каких условиях возможно 1акое движение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
