1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 65
Текст из файла (страница 65)
В этом случае Ж =- Птп (и, (г,— г;)1. Векторы пэ и (г,— г,) перпендикулярны к оси вращения. Поэтому вектор Ш, а с ним и момент импульса всего гироскопа ь будут направлены вдоль оси вращения. По величине х. совпадает с моментом импульса относительно оси вращения, а потому т. == тзы, где тз — момент инерции гироскопа оюгосительно оси его фигуры. Если теперь гироскоп вращается вокруг оси, перпендикулярной к оси фигуры (рис. !46), то пг =пи, а потолгу г(Е = Г)лг(пг (ег 4 еи)). Отсюда видно, что с(Е и Е опять направлены вдоль оси врагцения, причем Е = 1 «г, где !1 — мо- Рис. !45. Рис.
146. мент инерции гироскопа относительно осп, перпендикулярной к его осн фигуры. Допустим теперь, что мгновенная ось направлена под произвольным углом к оси фигуры гироскопа, Разложим вектор Вг на две составляющие: направленную вдоль оси фигуры гироскопа иг„ и перпендикулярную к ней агг (рис. 147). Из общего определения момента импульса 4игг~ -- — — — д (см. й 30) следует, что он выражается линейно через линейные скорости материальных точек, на которые мысленно могкно разбить тело гироскопа. В свою очередь эти скорости выражаются линейно через вектор угловой скорости иг, имеющий одно и то же значение для всех точек гироскопа. Отсюда следуег, что вектор Е линейно выражается через «г. Рассматривая его как функцию Вг, можно написать Е =- == Е (Вг) — -- Е (ы 4 ы ), или, в силу укаРис.
147. занной линейности, Š— Е (ып) --' Е (аг ). Но функция Е (ига) была бы равна моменту импульса гироскопа, если бы последний вращался только вокруг его осп фигуры с угловой скоростью в, . Зпачггт, Е (егг,) = 1ггга.г. Аналогично Е(игл ) = 1л Гиг. В результате получим Е =1; В911+1,щ, . (49.1) игл Гл игл 4 49] ГИРОСКОПЫ.
ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ГИРОСКОПА 265 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 1Гл. Еп Пользуясь этой формулой, легко найти построением вектор е., если известен вектор ы (рис. 147). Из построения видно, что векторы Е, Вэ и ось фигуры гироскопа лежат в одной плоскости. Однако в общем случае направления векторов 7. и ы не совпадают. Если воспользоваться формулой (47.2), то из (49.1) можно получить следующие два выражения для кинетической энергии вращающегося гироскопа: г;, К = — (7;!м!'~ + Ух ы"„) = — (- '- -1- ="), (49,2) Эти выражения показывают, что кинетическая энергия симметричного гироскопа равна сумме кинетических энергий двух вращений, из которо!х одно совершается вокруг оси фигуры, а другое — вокруг оси, к ней !!ер!!ендикулярнои.
На практике гироскоп всегда приводится в быстрое вращение вокруг оси фигуры. По сравнению с этим быстрым вращением вращение, возникающее по тем или иным причинам вокруг перпендикулярной оси, всегда происходит мед мино. Тогда различие в направлениях векторов е. и ы становится очень малым. Оба этп направления практически совпадают с направлением оси фигуры гпроскопа. За положительное направление оси фигуры гироскопа принимают направление ее, совпадающее с направлением вектора угловой скорости ы (точнее, образукнцее с иим острый угол). Если от точки опоры 0 отложить отрезок ОО единичной длины в положительном направлении оси фигуры гироскопа, то конец этого Отрезка Я называется вершиной гироскопа.
Если известно движение вершины гироскопа и угловая скорость вращения его вокруг оси фигуры, то движение гироскопа определено полностью. Поэтому основная задача теории гироскопа сводится к нахождению движения вершины гироскопа и угловой скорости вращения его вокруг оси фигуры. 4. Вся теория гироскопа построена на уравнении моментов А=я, (49.3) причем моменты,С и М берутся относительно неподвижной точки Опоры гироскопа О. Если момент внешних сил М равен нулю, то гироскоп называется свободным.
Для свободного гироскопа А = О, и следовательно, х — = 7!!ы!!+ ! хвэх = сопИ. (49.4) Зто уравнение выражает сохранение момента импульса гироскопа. К нему следует присоединить уравнение сохранения энергии ! ! К =— . — (Аы) =- — (7!!оэ!+ 1 хих) = сопз1, (49.5) 4 491 ГИРОСКОПЫ ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ПЬРОСКОПА 267 которое также является следствием уравнения (49.3). Если уравнение (49,4) возвести в квадрат, то получится У,,гв'-,г + Ухгв'х = сопзЕ Из этого и предыдущего уравнений следует, что при движении свободного гироскопа длины векторов «ь~г и 49 г оспгаются постоянными, Вместе с пимьь остаюпгся постоянными сс обе составляющие момента импульса: 1, =/гггьгг и У., =Ухгв„.
Следовательно, осшаелгся постоянньси угол между векторами Е и вь, как это видно из уравнения (49.5). Из постоянства Ьгг и Вг следует также постоянство угла между вектором Е и осью фигуры гироскопа. В каждый момент времени ось фигуры гироскопа совершает вращение вокруг мгновенной оси с угловой скоростью «ь. Векторы Вь и Е, как мы видели, лежат в одной плоскости с осью фигуры гироскопа. А так как вектор л. сохраняет неизменным свое направление в пространстве, то мгновенная ось и ось фигуры должны вращаться вокруг этого неизменного направления с одной и той же угловой скоростью.
Все это приводит к следующей картине движения свободного гироскопа. В каждый момент времени движение свободного гироскопа есть вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через неподвижную пгочку опоры. С течением времени мгновенная ось и вектор е. меняют свое положение в теле, описывая конусы вокруг оси фигуры гироскопа с одной и той же постоянной угловой скоростью ыь вообще говоря, не равной Вь. Направление вектора л. неизменно в пространстве. Ось фигуры гироскопа и мгновенная ось равномерно вращаются в пространстве вокруг много направления с той же угловой скоростью ьь„но в противоположном направлении. Такое движение называется свободной регулярной прегЬессией гироскопа, Слово «регулярная> надо понимать в том смысле, что на конические вращения оси фигуры гироскопа и мгновенной оси не накладываются никакие дрожания. б. Если гироскоп с достаточно большим моментом инерции привести в быстрое вращение, то Он будет обладать большим моментом импульса.
Приращение момента импульса, как это следует из уравнения (49.3), определяется интегралом ль=~мйт. (49.б) Если внешняя сила действует в течение короткого промежутка времени, то интеграл (49.6), а с ннм и приращение момента импульса будут малы. Значит, при кратковременных воздействиях даже очень больших сил движение свободного гироскопа изменяется мало. Гироскоп как бы сопротивляется всяким попыткам изменить величину и направление его момента импульса.
С этим связана замечательная устойчивость, которую приобретает движение гироскопа после приведения его в быстрое вращение. 268 мгххникА твГРДОГО телА 1гл. тн Возьмем массивный гироскоп, имеющий конусообразную форму (рис. 148). Вдоль оси его фигуры может ввинчиваться стержень с острым концом, которым гироскоп опирается на подставку. Ввинтим стержень настолько, чтобы точка опоры совпала с центром масс гироскопа. Тогда гироскоп станет уравновешенным. При любом наклоне его осп фигуры он будет находиться в безразличном равновесии. Пока гироскоп не вращается, малейший толчок далеко уводпт его из положения равновесия. Приведем теперь гироскоп в быстрое вращение вокруг его оси фигуры.
Если палкой нанести сильный удар по стержню гироскопа, то направление стержня в пространстве почти не изменится, :".;,:-.;-:,;г.—...;:,:;.„. '„-" т ";:"".:,=';'-- ' Стержень начнет лишь совершать «'» .,',;,!::,:::";;:,:...;', '' ., ' ':: свободную регулярную прецессию, т. е, вращательное движение по поверхности конуса малого угла раствора. Осью конуса будет служить направление момента импульса гироскопа, которое он примет после нанесения удара. Вот другая демонстрация устойчивости движения быстро вращающегося гироскопа. Гироскоп состоит нз массивного металлического маховичка, помещаемого внутри разборного полого металлического шара, состоящего из двух полушарий, которые могут сцепляться между собой. Концы оси маховичка входят в подшипники полого шара, так что маховичок может вращаться вокруг одного из диаметров шара.
На ось маховичка наматывается нить, свободный конец которой выходит наружу через отверстие в полом шаре. Дергая за нить, можно привести маховичок в быстрое вращение. Если такой шар попытаться скатить с наклонной плоскости, то он будет упорно сопротивляться этим попыткам. «Послушным» шар будет только тогда, когда ось маховичка горизонтальна и перпендикулярна к направлению скатывания. В этом положении шар может свободно скатываться без изменения направления оси маховичка, т.
е. без изменения направления вектора момента импульса А. Во всяком другом положении для «нормального» скатывания ось маховичка, а с ней и вектор Е должны менять свое направление в пространстве. «Упрямый» гироскоп этого «делать не хочет». Под действием силы тяжести шар гироскопа приобретает медленное » »01 Гироског! под дейстВием сил. пРиБлиженнАя теОРия 269 вращение и скатывается с наклонной плоскости «боком», стремясь сохранить неизменной ориентацию осп маховичка в пространстве. Если шар с вращающимся внутри него маховичком поставить на острие иглы даже в наклонном положении, то он не падает (рнс.
149), а приобретает медленное вращение вокруг вертикальной оси под действием силы тяжести. Такое вращение называется вынужденной ггрег1егсией. Вынужденную прецессию мы рассмотрим в следующем параграфе. 6. Посмотрим теперь, как измегпггся основное уравнение (49.3), если точка опоры гироскопа движется. Ответ можно получить из уравнения (37.2). Скорость каждой точки движущегося гироскопа представим в виде о — оо Л- овр, где оо — скорость точки опоры О, а ов, = [ви ]— скорость, возникающая из-за вращения вокруг этой точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
