1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 64
Текст из файла (страница 64)
2 Гдинственное переменное слагаемое, которое она содержит, есть — 41зтм7)7 соз гр. 1!оэтому при надлежащем выборе адди~нвной постоянной величину (1 всегда можно представить в виде Г/.= сапз1+, тзй)7 (1 — соз г!] =- сапа!+ тгп)7 мпх з Ф 2 2 ' или для малых углов гр 1 и = .!+ ~Кйа. 4 Кинетическая энергия системы К =- ~14 (1, — 1з)уз, где 1, и 1, — моменты инерции цилиндров относительно мгвовенной оси. Прн изменении угла ~р величины 1, и 1я изменяются.
Но для малых колебаний этими изменениями можно пренебречь и отнести 1, и 1х к тому моменту, когда система находится в положении равновесия. В этом положении с помощью теоремы Гюйгенса — Штейнера негрудно получить 3 тЯ-', 2 19 1, =- гп,)74. 8 Приняв еще во внимание, что ш, =- 4тх, найдем 29 К=- шхйз~РС !6 Из полученных выражений для (г и К заключаем, что малые колебания системы будут гармоническими с периодом Т=п ~71 —, 25.
Большой однородный свинцовый шар массы М лежит на плоской гори. зонтальной поверхности. Небольшая пуля массы т выпущена из ружья горизон. тально со скоростью У' в направлении к центру шара. Пасхе выстрела пуля застревает внутри шара. Определить линейную скорость шара и после того, как его движение перейдет в чистое наченне.
При рассмотрении движения шара после удара считать его однородным, пренебрегая массой застрявшей пули. Трением качения пренебречь. Ответ, ь=- 5 т ~ь ф 7 М ,г. 26. Шар массы А! = 1000 г, лежащий на горизон. тальнои плоскосги, пробивается по диаметру пулей, летящей горизонтально с начальной скоростью Уэ = =-. 500 м1с. После удара шар начинаег скользить по плоскости. Спустя некоторое время его движение переходит в чистое качение с постоянной скоростью с = 3 м1с. Определить скорость пули У после вылета 47 ее из шара, егли масса пули т:.—.
1О г. Трением качения пренебречь. Рис. 143. 7 М О т в е т. У.=.У, — —. — о=80 м1с. о ш 27. На гладком горизонтальном столе лежит однородный стержень длины 1, который может двигазься по столу без трения (рис. 143). В начальный момент, когда скорость стержня равна нулю, в него ударяется шарик, движущийся перпендикулярно к стержню, На каком расстоянии х от центра стержня С МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА (ГЛ.
Ч!! ударился шарик, если непосредственно после удара концы стержня А и В начали двигаться со скоростями о„и он соответственно? (Скорости о„и олсчи- таются полозгительными, когда они направлены в ту же сторону, что и скорость шарика до удара, и отрицательными в противоположном случае.) А В О та е т, х= -- —. Результат не зависит от характера удара. О ох+он 28. На идеально гладкой горизонтальной поверхности лежит стержень длины 1 и массы М, который может скользить по этой поверхности без трения (см. рис. 143). В одну из точек стержня ударяет шарик массы т, движущийся перпендикулярно к стержню.
На каком расстоянии х от середины стержня должен произойти удар, чтобы шарик передал стержню всю сваю кинетическую энергию? Удар считать абсолютно упругим. При каком соотношении масс М и гл это возможно? .ГМ О т в е т. х= — згг — — 1. 1(ля возможности описанного процесса ' =2УЯУ ш необходимо М вЂ” т. Условие х ( 112 дает еще М ( 4ш.
28. На гладком горазонтальном столе лежит однородный упругий стержень длины 1 и массы М. В конец стержня ударяет упругий (парик массы т, движу- щийся со скоростью и перпендикулярно к стержню. Йайти значение энергии деформации системы в.момент, когда она максимальна. Трением между стержнем и столом пренебречь. М агог Ответ. (1 = А!+4т 2 —, В предельных случаях 1) М = О и 2) М го получаем !) (? = О, 2) (? = гугтог.
ЗО На гладком горизонтальном столе лежит однородный твердый стержень длины 1 и массы М, в край которого ударяет твердый шарик массы и, движу- щийся со скоростью г,, перпендикулярной к оси стержня. Считая удар идеально упругим и предполагая, что силы трения между поверхностью стола и лежащими на ней теламн пренебрежимо малы, вычислить у~ловую скорость вращення стержня после удара. ' Р и и е Е . и л — сила, действующая на шзрик во время уд~р~ — М вЂ” =Р 1 — -=г г(о о'У сны 1 г)Г ' Ф ' п)1 2 ' Почленным делением исключаем Р и получаем т г!о 2 Мбу 2 1оьз 1' 1 йо 1' Интегрируя в пределах от вачальиога значения угловой скорости м = О до конечного, найдем 21 21 о — оз=- — - - — аь 1'= — — - сз, 1га ' 1М причем в этих уравнениях о, У и ю означают величины соответствующих ско- ростей после удара.
Угловая скорость м наздется из уравнения сохранения энергии. Если в него подставить значения и и У, то для ы получится квадрат- ное уравнение Один из корней этого уравнения (м == О) дает угловую скорость стержня до удара, вгорой — после удара. По условиго задачи надо взять второй корень. С учетом 1 соотношения 1=, МР для него получаем 12 12шг, ы= — — —. (4ш-)-М) 1' 5 493 ГИРОСКОПЫ. ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ГИРОСКОПА газ 9 49. Гироскопы.
Движение свободного гироскопа 1. В буквальном переводе слово «гироскоп» означает прибор для обнаружения вращения. В широком смысле гироскопом называется быстро вращающееся твердое тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Гироскоп, в особенности когда на него действуют внешние силы, может совершать удивительные движения, кажущиеся на первын взгляд неожиданными и непонятными.
Они всегда воспринимаются с захватывающим интересом. Быстро вращающийся волчок может служить не только забавной нгруцй«ой, но и прекрасным демонстрационным прибором при изучении законов механики. Все явления, обусловленные быстрым вращением гироскопа, называются гироскопическими. Они нашли широкие научно-технические применения (см. $ 51). Гироскопические эффекты проявляются также у атомов благодаря наличию у них моментов количества движения, связанных с внутренними орбитальными движениями илн собственными вращениями (спинами) электронов и атомных ядер. Конечно, эти, как и всякие другие атомные явления, должны рассматриваться на основе квантовой механики.
Однако есть много общего в гироскопических свойствах атомных и макроскопических систем. Поэтому теория гироскопов может оказаться полезной и при изучении атомной физики. Наибольшее значение в науке и технике имеют симметричные гироскопы. Симметричным называется гироскоп, обладающий симметрией вращения относительно некоторой оси, называемой геометрической осью или осью фигуры гироскопа.
Теория симметричного гироскопа более проста и более важна, чем теория несимметричного гироскопа. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только симметричных гироскопов. Обычно одна из точек оси фигуры гироскопа бывает закреплена. Закрепленную точку оси фигуры называют точкой опоры гироскопа. В более общем смысле точкой опоры гироскопа называют такую точку О оси фигуры его, относительно которой рассматривают вращение гироскопа. В общем случае движение гироскопа слагается из движения точки опоры О и вращения вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку.
Примером гироскопа с движущейся точкой опоры может служить детская игрушка — волчок. Основным в теории является случай, когда точка опоры неподвижна. К этому частному случаю можно свести и общий случай, когда точка опоры движется (см. п. 6). 2. Чтобы ось фигуры гироскопа могла свободно поворачиваться в пространстве, гироскоп обычно помещают в так называемом кардановом подввсг (рис. 144). Маховнчок гироскопа закрепляется ца его оси фигуры А'А, которая может вращаться по возможности с малым трением в подшипниках, укрепленных на концах диаметра МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл ен внутреннего кольца.
Внутреннее кольцо в свою очередь может вращаться вокруг перпендикулярной оси В'В, проходящей через подшипники на концах диаметра наружного кольца. Наконец, наружное кольцо может совершать вращение вокруг третьей оси 0'О, проходящей через неподвижные подшишшки подставки. Ось В'В перпендикулярна к оси А'А. Все три оси пересекаются в одной точке, называемой центром карданова подвеса.
Гироскоп в кардановом подвесе имеет гпри степени свободы и может совершать любые повороты вокруг центра подвеса. Во всех вопросах мы будем пренебрегать кинетической энергией и моментами импульсоа колец, считая их пренебрежимо малыми по сравнению с кинетической энергией и мо- А ментом импульса маховичка гироскопа. Если центр карданова подвеса или точка опоры совпадает с центром масс гироскопа, то ~1 гироскоп называется уран- НОВЕШЕН НаМ.
к 3. Согласно теореме л Зйлера 8 47) движение гироскопа с неподвижной точкой опоры О можно представить как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку. Обозначим Вт вектор мгновенной угловой скорости, с которой вращается гироскоп, Š— момент импульса гироскопа относительно точки О. Найдем связь между векторами Е н Вт для симметричного гироскопа. Если угловая скорость ьт направлена вдоль оси фигуры гироскопа или перпендикулярно к ней, то векторы х. и Вз параллельны между собой. Убедиться в этом проще всего можно следующим образом.
Мысленно разобьем все тело гироскопа на пары одинаковых материальных точек, симметрично расположенных относительно оси фигуры гироскопа, как указано на рис. 145 и !46. Момент импульса такой пары точек относительно точки О будет Ш = йп (г,п,] + + е(ш[г;эзэ1', где Ат — масса каждой из ннх. Если гиРоскоп вРащается вокруг оси своей фигуры (рис. 145), то скорости и, к п, равны по везичине, но направлены противоположно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
