1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 58
Текст из файла (страница 58)
С течением времени в соприкосновение с плоскостью будут приходить другие точки обруча. При этом точка касания будет перемещаться по плоскости в ту же сторону, куда движется обруч. Это означает, что мгновенная ось перемещается как относительно катящегося обруча, так и относительно плбскости, по которой происходит качение. В этом и состоит смысл утверждения, что мгновенная ось перемещается как в теле, так и в пространстве. Допустим теперь, что качение происходит с постоянной скоростью, Было бы грубой ошибкой вычислять ускорение по формуле а = — ь1'1ч, понимая под 1ч радиус-вектор, проведенный 1гл. Ем МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА й 46. Угловая скорость как вектор. Сложение вращений 1.
Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной или мгновенной оси ОА с угловой скоростью ьз (рис. 114). Возьмем какую либо произвольную точку этого тела М, отстоящую от оси вра- щения на расстоянии гц. Линеиная и угловая скорости точки М связаны соотношением о = ГАГА. (46.!) Введем аксиальный вектор св, определяемый векторным произведением [г о] ГВ= Г (46.2) где кл — радиус-вектор, проведенный от оси вращения к точке М перпендикулярно к этой оси. Длина вентора тв, в силу соотношения (46.1), численно равна угловой скорости вра- Рис. 114 щения, а направление совпадаег с направлением оси вращения. Взаимное расположение векторовьз, л~ ио мы уясним лучше, если отложим их нз общего начала (рис.
115). Эти три вектора взаимно перпендикулярны. Из рисунка видно, что о=[ы А1. (46.3) Эта формула является обобщением формулы (46.1), поскольку она определяет не только величину скорости о, но и ее направление. Вектор ьз называется векпюром угловой скорости, или просто угловой скоростью вращения. Таким образом, угловую скорость можно рассматривать как вектор.
Если расположить буравчик с правой нарезкой параллельно оси вращения и вращать его в ту же сторону, от мгновенной оси к рассматриваемой точке обруча. Действительно, полная скорость е любой точки обруча векторно складывается из скорости ос поступательного движения центра обруча С и скорости о,р вращения ее относительно того же центра: о ==- ос + в, . асс Если обруч катится равномерно, то — = О,и ускорение будет равно щ = вовр а = .
Поступательное движение не влияет на ускорение а. Оно щ такое же, как и при вращении вокруг неподвижного центра, т. е. а — ГВ'г, где радиус-вектор к проведен из центра обруча О. Таким образом, при равномерном качении ускорение а направлено к центру обруча, а не к мгновенной оси. 5 461 УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ КАК ВЕКТОР. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ 237 в какую вращается само тело, то направление ввинчивания буравчика укажет направление вектора ьт. Формуле (46.3) можно придать более общий и удобный вид.
Возьмем на осн вращения произвольную точку О в качестве начала координат (см. рис. 114). Тогда радиус-вектор к, проведенный из этого начала к точке М, можно представить в виде векторной суммы г =- к! + кз, со где кз — слагающая вектора г вдоль оси вращения. Так как (Гвгз) = О, то вместо формулы (46.3) можно написать более общую формулу ее и = 1Гьк1. (46.4) Из нее получаем о = ыг з!и б, что совпадает с формулой (46.!), так как гз!и 6 = гь. с 2, Что величина ьт есть вектор — вто А не требует специального докаэательспиа, поскольку она определена как векторное произведение двух векторов. Векторный хар ктер ьт означает, разумеется, только то, чаю при повороте координатных систем проекции ьт на их оси преобразуются так все, как разности координат концов направленного геометрического отрезка.
Над векторами угловых скоростей можно выполнять все математические операции, как над всякими векторами. В частности, можно ввести математическое сложение векторов ГВ, н ьт, по правилу па- С раллелограмма. Но как будут складываться угловые скорости, если сложение определить с помощью той или иной 1ризической опера- Ф ции, — это требует особого исследования. I Введем понятие сложения вращений, вложив А в него следующий смысл. Пусть тело вра- га щается вокруг некоторой оси ОА с угловой скоростью ьт„(рис.
116). Пусть сама ось ОА ,Ь в свою очередь вращается с угловой скоро- ~~-~ Ъ стью ьт, вокруг другой оси ОВ. Подчеркнем, Г еаг что в общем случае речь идет о мгновенных вращениях и притом с нерелятивистскими а скоростями. Первое вращение рассматривается Рнс. 11б, в системе отсчета, в которой (в рассматриваемый момент) ось ОА неподвижна. Второе вращение рассматривается в другой системе отсчета — в той, в которой (в тот же момент) неподвижна ось ОВ. Сложить вращательные движения— значит ответить на вопрос, к какому движению приводит наложение этих двух вращенийг При рассмотрении этого вопроса ограничимся случаем, когда оси ОА н ОВ пересекаются между собой. ЕЗЕ (гл. чп МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Вопрос сводится к сложению линейных скоростей в аналогичном физическом смысле (см.
8 7; в нерелятивистской механике, как известно, сложение линейных скоростей производится по правилу параллелограмма). Произвольная точка твердого тела М с радиусом-вектором г в результате первого вращения (вокруг оси ОА) получает линейную скорость юг = )озгг), а в результате второго вращения (вокруг оси ОВ) — линейную скорость е, = 1»тзг). Результирующая линейная скорость будет равна я~1+ тгв 1(г»1+ етз) ! ]" Если ввести векторную сумму в математическом смысле (46.5) г» = »11+ еза то результат запишется в виде тг = (г»г:]. (46.
6) Пусть точка М лежит на оси вектора ит, т. е. на диагонали параллелограмма, построенного на векторах атг и оте, или ее продолжении. Тогда е = О. Все точки указанной оси в рассматриваемый момент времени находятся в покое. Зто объясняется тем, что все эти точки в результате первого вращения движутся в одну, а в результате второго вращения — в противоположную сторону. Результирующая линейная скорость получается равной нулю. Все прочие точки тела вращаются вокруг оси вектора от с угловой скоростью ю.
Мгновенную линейную скорость любой точки тела можно вычислить по формуле (46.6). Зто значит, что мгновенное результирующее движение твердого тела есть вращение вокруг мгновенной оси ОС. Зта ось, вообще говоря, непрерывно перемещается как относительно самого твердого тела, так и относительно неподвижной системы отсчета, в которой рассматривается движение. Итак, мы доказали, что два вращения с угловыми скоростями озг и вта складываются (в рассматриваемом физическом смысле) и адно вращение вокруг мгновенной оси с угловой скоростью нт = «тх + нтв.
Мгновенная ось в каждый момент времени направлена вдоль диагонали параллелограмма, построенного на векторах с»1 и Вте. Сложение подчиняется правилу параллелограмма. Физическое сложение в указанном смысле оказалось тождественным с математическим. 3. Поясним изложенное наглядным примером. Пусть по поверхности неПОАВИжИОГо КрУгового конуса 2 катится без скольжения другой круговой конус 1 (рис. ) (Т и !!8). Вершины обоих конусов все время находятся в одной и той же точке О.
В рассматриваемом движении конус 1 вращается вокруг собственной оси ОА с некоторой угловой скоростью ы,. Свми ось ОА описывает коническую поверхность, вращаясь вокруг другой оси ОВ с угловой скоростью е,. Речь идет о сложении зтих двух вращений, Так как скольжения нет, то все точки тела, лежащие на прямой ОС, по которой конусы касаются друг друга, неподвижны. Касательная ОС является поэтому мгновенной осью вращения юнуса 1. Мгно- 5 аб! УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ КАК ВЕКТОР. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИИ 239 венная ось вращения перемещается в теле, т, е. в конусе д двигаясь по его поверхности. Но она перемещается также и в пространстве, т. е.
по поверхности конуса 2. 4. Вращение вокруг параллельных осей можно рассматривать как предельный случай вращений вокруг пересекающихся осей. При сложении таких вращений надо различать два случая: 1) вра- А щения совершаются в одном на- Рнс. 117. Рис.
! 18. правлении, 2) вращения совершаются в противоположных направлениях. Рассмотрим первый случай. Построив параллелограмм на оа Рис. !19. векторах нт, и тп„пересечем его произвольной прямой АСВ, перпендикулярной к вектору нт (рис. 1!9 слева). Тогда й, = ОС 1ця„ )ге = ОС !и аа. Если углы а, и схт малы„то их тангенсы можно заменить синусами. Сделав это, получим (4б. 7) "а МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ГГЛ. РП Устремив точку О в бесконечность, получим предельный случай одинаково направленных вращений вокруг параллельных осей (рис.
1!9 справа). Такие два вращения складываются в одно вращение вокруг мгновенной оси с угловой скоростью Га = н, + ы,. Мгновенная ось проходит между осями 1 и 2 и делит расстояние между ними обратно пропорционально угловым скоростям в, и м,. Аналогично рассматривается случай, когда векторы Га, н Га, направлены противоположно. Если м, ) а„то м = Га, — в,.
Мгновенная ось проходит вне отрезка АВ со стороны большей угловой скорости (рис. 120). Она делит отрезок АВ внаиним образом на части Й, и й„обратно пропорциональные угловым скоростям ь, и Га,. Ряс. 120. 5. Рассмотрим, наконец, сложение поступательного и вращательного движений. Если поступательное движение совершается параллельно оси вращения, то при сложении, очевидно, получится винтовое движение.
Достаточно поэтому ограничиться случаем, когда поступательное движение перпендикулярно к оси вращения. В этом случае все точки тела будут двигаться параллельно одной и той же плоскости, перпендикулярной к той же оси. Такое движение называется плоским. Плоскость, параллельно которой происходит движение, можно принять за плоскость рисунка. Поступательное движение можно рассматривать как вращение вокруг бесконечно удаленной осн. Поэтому разбираемый случай можно свести к сложению двух вращений вокруг параллельных осей, удаляя одну из осей в бесконечность. Ясно, что в результате возникнет вращение вокруг какой-то мгновенной оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
