1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 57

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

Второе из них означает, что должен обращаться в нуль момент действующих сал относительно опоры 1. Из этих условий получаем Рг =- Ра =- Р12. Зто — разумный результат. Деформации балки в рассматриваемой задаче не играют существенной рапи. Идеализация абсолютно твердого тела допустима. Рис. !09. Рис. 108. Рассмотрим теперь балку на трех опорах (рнс, 109).

Механика твердого тела па-прежнему дает два условия равновесия: Рак-1- Р 1=. Р =, 2' Р1+Ра+ Ра=р, (44.5) где 1 — расстояние между опорами 1 и 2, а к — между опорамн ! и 3. (Второе уравнение (44.5) получится, если приравнять нулю момент внешних сил относительно опоры 1.) Двух ураввений недостаточно для определения трех неизвест. ных сил Рг, Р„Рз.

Одной из этих сил можно придать произвольное значение, тогда из уравнений (44.5) найдутся остальные две. Задача о распределении веса абсолютно твердой балки между тремя опорами, на которых она лежит, оказалась неопределенной. Механические системы, подобные абсолютно твердой балке нв трех опорах, называют статически нголрадаленньсни. Аналогичная ситуация встречается также в задаче о равновесии стола, стояшвго на гор изонтааьной плоскости. Механика твердого тела дает в этом случае три независимых уравнения равновесия. Если числа ножек стола три, то из этих трех уравнений можно однозначно определить три силы, с иаторыми ножки давят на плоскость опоры. Но если стол стоит на четырех ножках, то трех уравнений мало лля определения четырех сил давления ножек на плоскость опоры.

Идеально твердый стал с четырьмя ножками, стоящий на идеально твердой горизонтальной плоскости, является также статически неопределенной систеь ой. Конечно, вес реальной балки, лежащей на трех опорах, вполне определенным образом распределяется между ними. Точно так же вполне определенным образом распределяется сила давления реальнога стола между четырьмя ножкамн, на которых он стоит. Неопределенность, к которой мы пришли, указывает просто на то, чта в рассматриваемых задачах балку на трех опорах нли стол на 283 МГНОВЕННАЯ ОСЬ ВРАЩЕНИЯ 5 4з! четырех ножках нельзя считать идеально твердыми. Надо учитывать их дефор. мации, а также деформации опор.

5. Следующее простое рассуждение выясняет, почему деформации могут оказаться существенными. )(опустим, что идеально твердая балка лежит на трех опорах (см. рнс. !09). Сместим среднюю опору немного вниз. Тзк как идеально твердая балка не может деформироваться, то между ней и опорой 3 сразу же возникнет зазор — балка перестанет опираться па опору 3 и давить на нее. Сила давления нз опору 3 скачком обрагишя в нуль, а вес бзлки вполне определенным образом и тоже скачком распределится между оставшимися опорами ! и 2, То же произойдет, если у твердого стола бесконечно мало укоротить одну из четырех ножек. Не то будет в случае реальной балки или реального столз.

При бесконечно малом опускании опоры 8 балка прогнется и по-прежнему будет на нее опираться. Сила давления на опору 3 не обратится в нуль, а уменьшится бесконечно мало. Аналогична, когда стол стоит на четырех ножках, то все ножки деформируются, укора- 3 чиваясь под действием силы веса. Если подпилить одну из ножек, укоротив ее бесконечно мало,то деформация ножки уменьшится, ножка удлинится и снова будет касаться плоскости опоры. Таким образом, и в этом случае давление на ножку изменяется бесконечно мало, т. е. непрерывно. Допустим теперь, что реальная балка лежит на двух опорах, ! и 2 (рис. ! )О).

Под действием силы веса балка прогнется. Будем подводить под балку третью опору 8, непрерывно поднимая ее. Как только опора 3 коснется балки, с балкой не произойдет еще никаких изменений. Но дальнейшее поднятие опоры 3 будет связано с выпрямлением балки, а для этого опора должна действовать нв балку с некоторой силой, По мере поднятия опоры 3 эта сила будет непрерывно возрастать, принимая вполне определенное значение при каждом положении опоры 3.

Приведенное рассуждение ясно показывает, почему при решении задачи а распре. делении веса балки между тремя опорами надо учитывать ее упругие свойства. Эгз задача будет реи4ена в гл. Х (см. задачу 3 к 4 80). Аналогичное рассуждение можно провести и для стола на четырех ножках, $45. Мгновенная ось вращения 1. Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Чтобы получить представление о распределении скоростей в нем, достаточно рассмотреть движение точек тела, лежащих в какой- либо одной плоскости, перпендикулярной к оси вращения.

Это значит, что тело можно считать как бы плоским. Соответствующее распределение скоростей показано на схематическом рис. Н1. Точка О тела, через которую проходит ось вращения, неподвижна. Все другие точки тела движутся по окружностям с центром в О. Нх скорости пропорциональны радиусам соответствующих окружностей. Величины скоростей могут меняться с течением времени, но ось вращения остается одной и той же. 2.

Рассмотрим теперь более общее движение плоского твердого тела. Плоскость вращения совпадает с плоскостью самого тела. Никакой неподвижной оси, вокруг которой происходило бы вращение тела, не предполагается. Если А н  — две произвольные МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. УП точки твердого тела (рис.

112), то расстояние между ними остается неизменным, а потому (гв — гл) = сопз1, Дифференцируя это соотношение по времени, получим (гв — гл) (гв — гл) = О, или глг (т'в — эл) = Ог (45.1) где глв = АВ. Допустим, что в рассматриваемый момент времени в теле существует точка, скорость которой в этот момент времени равна нулю. (В 5 47 будет показано, что такая точка существует для глв Рис. !12. Рис.

11!. произвольного плоского движения твердого тела.) Примем ее за точку А. Тогда для рассматриваемого момента времени г лвт!в=О каково бы ни было положение точки В. Отсюда видно, что скорость пв перпендикулярна к глв, т. е. направлена по касательной к окружности с центром в А. При движении твердого тела всякая прямая в теле остается прямой. Это справедливо и для прямой, соединяющей точки А и В. Поскольку в рассматриваемый момент точка А неподвижна,то величина скорости ев в этот момент пропорциональна расстоянию АВ от точки В до точки А. На основании всего этого можно сказать, что мгновенное распределение скоростей в теле в рассматриваемый момент времени будет в точности таким же, как и при вращении вокруг неподвижной оси, проходящей через точку А. Движение тела в этом случае называют мгновениым вращением.

Прямая, проходящая через точки тела, скорости которых в рассматриваемый момент времени равны нулю, называется мгновенной осью враи!ения. В нашем примере мгновенная ось проходит через точку А. Словом «мгновеннаяг хотят подчеркнуть, что зто понятие служит для описания распределения скоростей мгновенная ось вгьщвния 236 только в какой-то заданный момент времени. В отличие от неподвижной оси, сохраняющей свое положение в теле и в пространстве, мгновенная ось, вообще говоря, перемещается как в теле, так и в пространстве.

Если получить моментальную фотографию распределения скоростей в теле, то по виду этой фотографии нельзя сказать, происходит ли вращение вокруг неподвижной или вокруг мгновенной оси. Чтобы отличить эти два вращения, надо получить такие фотографии по крайней мере в два различных момента времени. 3.

Мгновенная ось слувкит для описания мгновенного распределения только скоростей. Той же осью нельзя пользоваться для описания мгновенного распределения ускорений или высших про- в изводных скорости по времени. Распределение ускорений при вращении вокруг мгновенной оси н может существенно отличаться от соответствующего распределе- С ния ускорений при вращении вокруг неподвижной оси, хотя бы угловые скорости вращения а Р в обоих случаях и совпадали. Дело в том, что для определения ускорений недостаточно л и знать распределение скоростей только в рассматриваемый мо- рис.

Нз. мент времени, Надо знать это распределение также в бесконечно близкий момент времени. А в этот момент может оказаться, что движение тела уже перестанет быть вращением вокруг прежней мгновенной оси. Следующий простой пример хорошо разъясняет суть дела. Рассмотрим качение обруча или диска по плоскости без сиольжения (рис. 113). Отсутствие скольжения означает, что точка обруча А, которой он касается плоскости, в рассматриваемый момент неподвижна. Следовательно, движение обруча можно рассматривать как мгновенное вращение его вокруг мгновенной оси, проходящей через точку касания А. Распределение скоростей при таком движении показано на рис. 113.

Характеристики

Список файлов книги