1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Все эти системы, называемые гармони«ескими осцилляпюрами, математически эквивалентны. Для конкретности будем иметь в виду шарик на пружине. Задача о математическом маятнике сводится к этому случаю, если ввести обозначение й =- тяЛ. Каким образом производится изменение коэффициента упругости или величин, ему эквивалентных, — это не имеет значения, пока задача трактуется как чисто математическая. Полная энергия гармонического осциллятора равна то» ях» Е= — + —.
2 Для ее производной по времени можно написать Е = ( б+ Ахи) + — й. х« Выражение в скобках обращается в нуль, так как х = о, действующая сила Р = — йх и по закону Ньютона тв = г'. Введя еще потенциальную энергию У = '!»ях», получим (43.1) Е=У(х) —. До сих пор наши вычисления были точными. Используем теперь медленность изменения параметра я и его производной я. Медленность означает, что и при изменяющемся я движение по-прежнему будет носить характер колебаний.
Только «период» этих колебаний т, а также положение крайних точек, достигаемых осциллятором, будут слегка меняться от колебания к колебанию. Иными словами, за каждое колебание параметр я должен изменяться очень мало. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. Р! где фей), — значение этого отношения в какой-либо точке рассматриваемого периода, например, в его середине, а я — поправка, стремящаяся к нулю при е -+. О. Имея это в виду, проинтегрируем выражение (43.1) в пределах от 1 до [+ Т (й) для произвольного момента времени й Получим «!+ т ье=еГ!-и — е(ф=( —, [ «у! Одй'4-!1.
(433) А!о~ с Здесь (1 — поправка, обращающаяся в нуль при я — !- О. (Переменная интегрирования обозначена [', чтобы не смешивать ее с нижним пределом Д) Входящий сюда интеграл достаточно вычислить в нулевом приближении, т. е. считать при вычислении, что за время Т параметр й не меняется. Возникающая вследствие этого ошибка в выражении для ЛЕ будет второго или высшего порядка малости по я. По той же причине можно отбросить поправку р. Наконец, можно опустить индекс нуль в множителе перед интегралом (я[я),.
Иными словами, можно написать !+т ЬЕ = — ~ с! «х (!')«!(!', (43,4) где интеграл (но не множитель перед интегралом) вычисляется в предположении постоянства й. При вычислении интеграла момент времени 1 можно принять за начало отсчета времени, т. е. положить [ = О. Это, конечно, не изменит результата. При я = сопз1 координата х совершает гармонические колебания х = х„соз ([Б[ + 6), а потому У = — '- соз'([А[+ 6) = -~- «1+ соз (2[А[+ 6)1, так как полная энергия равна Е = '!, Ях,'.
Используя полученное выражение и выполняя интегрирование, получим т т с! !([ = ~ ) «1+ сов (2[Б! -)- 6)) [(г = 2 . Б е г Ег о Это обычное представление о медленности. Но в нашей задаче его недостаточно. Надо на изменения й и его производной наложить дополнительное ограничение, потребовав, чтобы за каждый период колебания величина ЕФ оставалась почти постоянной. Точнее, это требование сводится к тому, чтобы на каждом периоде колебания отношение я!й могло быть представлено в виде ',-= Х «1+.1 (43.2) 22Ь % сп АдиАБАтические инВАРиАнты Произведение Тй с точностью до величин высшего порядка малости по й дает приращение ая параметра й за период Т. Таким образом, вместо (43.4) можно написать (43,5) Приращение ая за период колебаний может быть сделано сколь угодно малым. Поэтому, если энергию Е рассматривать как функцию параметра й, то в пределе приближенное соотношение (43.5) перейдет в точное дифференциальное уравнение — — 0 Е 22 Интегрируя это уравнение, получим Е )и-;.
=Сонэ( ) / Ф а потому Е рй = = сопз(. (43.6) Используя формулы (40.3) и (40.4), из этого соотношения получим еще два других: (43.7) (43.8) ЕТ = сопз), Е -„- = сопз(. Эти соотношения означают, что величины ЕТ и Е!ы для гармонического осииллятора является адиабатическими инвариантами.
При этом аериод колебания Т и частота ы, входящие в эти соотношения, должны вычисляться так, как если бы нри колебаниях нара- метр й оставался постоянным, т. е. по формулам (40.3) и (40.4). Например, в случае медленного укорочения нити математического маятника, совершающего малые колебания, его период Т медленно уменьшается от колебания к колебанию. Одновременно энергия колебаний возрастает таким образом, что произведение ЕТ остается постоянным.
3. Для правильного понимания доказанной теоремы необходимо точно отдавать себе отчет, чтб понимается под медленностью изменения параметра осциллятора я. Недостаточно, чтобы изменения параметра й на каждом периоде колебаний были бесконечно малы. Надо, чтобы эти изменения удовлетворяли условию (43.2). Представим себе, например, что вблизи нижнего положения нить математического маятника действием внешних сил немного укорачивается, а вблизи крайних положений удлиняется, принимая исходное значение.
Работа внешних сил при укорочении нити вблизи нижнего положения будет больше работы, производимой маятником над внешними полями при удлинении нити вблизи каждого край- ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. ч1 него положения. Причина этого в том, что при колебаниях маятника натяжение нити меняется, достигая максимума в нижнем положении. Поэтому за каждое колебание в систему дважды будет вкладываться энергия. И если число колебаний взять достаточно большим, то и прирост энергии можно сделать также большим, хотя длина маятника, а с ней и период Т останутся неизменными. Колебания с периодически меняющимися параметрами называются параметрическими.
Примером могут служить качели. К параметрическим колебаниям результаты (43.7) и (43.8) не применимы, сколь бы малыми ни были изменения параметра я в пределах каждого периода колебаний. Причина этого в том, что эти изменения не удовлетворяют условию (43.2). Грубо говоря, условие Г43.2) сводится к требованию, чтобы изменения параметра й происходили медленно и монотонно. Так, в приведенном примере адиабатическая инвариантность выражений (43.7) и (43.8) будет иметь место, если длина нити изменяется медленно и монотонно.
Если же на такие изменения наложить еще малые изменения колебательного характера, подобные тем, которые имеют место при параметрическом возбуждении колебаний, то к таким случаям теорема об адиабатической инвариантности выражений (43.7) и (43.8) не применима. 4. Полученные результаты можно обобщить на случай негармонических колебаний с одной степенью свободы, т. е. колебаний, совершающихся под действием ие квазиупругих сил. В этом случае колеблющаяся величина меняется во времени не синусоидально, а как-то иначе.
Период колебаний Т определяется не только параметрами системы, но и их амплитудой. Вместо формулы (43.7) получается КТ = сопз(, (43.9) где К вЂ” кинетическая энергия системы, усредненная по времени за период колебания (черта как раз и означает такое усреднение), т. е. (43.10) В случае гармонических колебаний, как нетрудно доказать, средние за период значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы, а потому на каждую из них приходится половина полной энергии, т. е. К = А7 = '/,Е. Тогда формула (43.9) переходит в ранее полученную формулу (43.7).
Подставим выражение (43.10) в формулу (43.9) и примем во внимание, что К = ",, то', р = то, д) = ос(1, где д4 — приращение координаты, определяющей положение материальной точки. Тогда получится $р да= адиабатический инвариант, (43.11) АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 4 431 (43 12) А Посмотрим теперь, как меняется период колебаний Рис. 10б. шарика Т в результате движения поршня.
Под периодом Т мы понимаем время движения шарика туда и обратно, вычисленное в предположении, что во время такого движения поршень закреплен. Если 1 — расстояние между поршнем и дном цилиндра во время этого движения, то Т = 2но. Спустя время Т расстояние 1 возрастет на иТ, а скорость шарика уменьшится пз 2и. Период колебаний в только что уиазанном смысле изменится и сделаетсн равным 2(1+нТ) 2(1+иТ) (о+2н) о — 2и оа-4из нли, пренебрегая квадратом малой скорости и, Т'= Т+2 Т +41 = Т+4Т вЂ”. г~з о Таким образом, за время Т период получает приращение ЛТ=4Т вЂ” = — Т вЂ”. и ЛК о движется бссконечно медленно, приращения ЛТ н как бесконечно малые дифференциалы, и мы полу- В пределе, когда поршень ЛК могут рассматриваться чаем уравнение пТ 0К вЂ” — + - — =О. Т Интегрируя его, находим ТК = сапз1, т.
е мсшчина ТК лалюшся адиабпаичгския инаарианглом. (43.13) причем интегрирование ведется по полному периоду движения материальной точки в предположении, что параметры, характеризующие систему, закреплены. Общее доказательство соотношения (43.11) основано на уравнениях механики в форме Гамильтона. Мы его приводить не будем. Ограничимея только двумя примерами. 5. П е р вы й п р и м е р. В цилиндре с гладкими стевкамн движется вверх и вниз идеальна упругий шарик, последовательно отражающийся ат основания АВ и поршня С0 по законам абсолютно упругого удара (рис. !Об).
Допустим сначала, что поля силы тяжести и прочих силовых полей нет. Заставим поршень С0 очень медленно перемещаться со скоростью и. Исследуем, как зто скажется на движении шарика. Перейдем в движущуюся систему отсчета, в которой поршень покоится. В этой системе скорость шарика будет и — и. После отражения шарика она сохранится по величине, но изменит знак, т. е, будет равна — о+ и. В не- и подвижной системе отсчета та же скорость равна ( — о+ и) + и = — о+ 2и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
