1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Нельзя понимать под замкнутой системой тел всю Вселенную. Если поступить так, то перечисленные свойства симметрии пространства и времени стали бы самоочевидными. Но оии стали бы и бессодержательными. Ибо говорить о переносе или повороте системы тел можно только по отношению к каким-то другим телам. Речь идет не о всей Вселенной в целом, а о таких частях ее, которые можно рассматривать как (приближенно) замкнутые системы. Отсюда ясно, что свойства симметрии пространства и времени, о которых мы говорили, отнюдь не самоочевидны.
На них надо смотреть как на фундаментальные обобщения опытных фактом 3. После этих разъяснений обратимся к выводу закона сохранения энергии в механике. Из динамики мы заимствуем следствие второго закона Ньютона, выражающееся формулой А =Кь — К (38.1) ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И СИММЕТРИЯ а ав1 т. е. работа сил над механической системой равна приращению ее кинетической энергии К (см.
8 22). Следующую часть наших рас- суждений проведем применительно к одной материальной точке. В случае системы материальных точек все будет обстоять так же, изменится только число аргументов, от которых зависит потен- циальная функция У, вводимая ниже. Предположим, что проекции силы Р„, г"„Р„действующие на материальную точку, могут быть получены дифференцированием потенциальной функции У: Однако сама потенциальная функция У может зависеть явно не только от координат к, у, г рассматриваемой материальной точки, но и от времени й У = У (х, у, г, 1). Например, это будет так, когда точка находится в силовом поле других тел, которое меняется во времени.
Работа, производимая действующими силами над мате- риальной точкой при перемещении ее вдоль некоторой кривой из положения 1 в положение 2, представляется интегралом Ага= — ~ (д-„««+д-Ф+д-; с(~), взятым вдоль той же кривой. Прибавим и вычтем под знаком инте- дУ грала член — г(1. Тогда, вводя полный дифференциал Вих Ои т~ т,„ дг дв У дг д1 представим предыдущее выражение в виде Ага = — ~ ~(1+ ~ — й. В таком виде оно справедливо и для системы материальных точек. Поэтому дальнейшие рассуждения не связаны с предположением, что система состоит из одной материальной точки.
После интегрирования получаем Комбинация этой формулы с (38А) приводит к соотношению (Ка+(1 ) — (Кг+()г) — $ д, г(1. (38.3) До сих пор мы не использовали условие замкнутости системы н свойства однородности времени, поэтому наши рассуждения применимы и для незамкнутых систем. Допустим теперь, что система замкнута. Тогда ввиду однородности времени функция (1 не может дУ явно зависеть от времени, т.
е. -- = О. В результате получим д1 Ка + ('а = 1(а+ (уа. (38.4) мОмент кОличестВА дВижения т. е. уравнение, выражающее механический закон сохранения энергии. 4. Перейдем к доказательству закона сохранения импульса. Допустим, что механическая система замкнута. Все силы гт, Еэ„..., действующие на материальные точки системы, являются силами внутренними, внешних сил нет. Перенесем систему из произвольного положения Е в другое произвольное положение 2, чтобы все материальные точки ее претерпели одно и то же смещение г и притом так,' чтобы их скорости остались прежними по величине и направлению.
Ввиду однородности пространства на такое перемещение не требуется затраты работы. Но зта работа представляется скалярным произведением (гх+ ге+ ...) г. Значит, оно равно нулю, каково бы ни было смещение г. Отсюда следует, что для замкнутой системы гт + гз + ... =- О. А зто есть как раз то условие, при выполнении которого из второго закона Ньютона получается закон сохранения импульса (см.
5 12). 5. Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы доказывается в точности так же. Используя изотропию пространства, можно доказать, что геометрическая сумма моментов внутренних сил, действующих в системе, равна нулю: (т(т + М, + ... = О (см. задачу 2 к З 46). Отсюда немедленно следует рассмариваемый закон (см. 5 30). ЗАДАЧ И 1. Пусть У (гт, гз) означает потенциальную энергию взаимодействия двух МатЕРИаЛЬНЫХ ТОЧЕК КаК ФУНКЦИЮ РаДИУСОВ-ВЕКТОРОВ Г, И Гз, ОПРЕДЕЛЯЮШИХ их положения в пространстве. Используя однородность пространства, доказать, что ГЕ является функцией только разности гз — гт.
Обобщить результат на случай системы п взаимодействующих материальных точек. Р е ш е н н е. Ввиду однородности пространства потенциальная энергия (Е не изменится, если обе взаимодействующие точки сместить на один и тот же вектор а. Записанное математически, это условие гласит; У (г„ г,) = (Е (г, + а, Г, +а). Это соотношение должно выполняться, каков бы ни был вектор а. Полагая а = — Г,, получим ГЕ = ГЕ(0, г — г,), т.е. (Е= Е(Г, — г,), где )в какая-то функция только разности Г, — Г,.' Если система состоит из и взаимодействующих материальных точек, то, рассуждая аналогично, найдем и=Е(г,— „г,—,, ...).
Разумщчся, вместо первой точки можно взять любую из материальных точек системы. Значит, потенциальная энергия У может зависеть только от л — 1 векторных аргументов: разностей радиусов-векторов каких-либо л — ! точек системы и радиуса-вектора остальной точки. 2.
Какие дополнительные ограничения накладывает на вид функции У изотропия яространства? О т в е т. Потенциальная энергия ГЕ может зависеть только от расстояний канах-либо л — ! материальных точек системы от остальной точки. 3. Используя однородность пространства и галилеевский принцип относительности, показать, что сила взаимодействия материальных точек ! и 2 не за. висит от их координат н скоростей, а может зависеть только оа разнослмй этих координат и скоростей. 8 88) зАкОны сОхРАнения и симметрия Р е ш е н и е.
В силу однородности пространства и галнлеевского принципа относительности ускорение а, а с ним и сила у = ша инвариантны относительно переноса начала координат и преобразования Галилея. Возьмем две системы отсчета 5 н 5'. Рассматривая силу у'как функцию координат и скоростей в системе 5', напишем у = у (г,', г,', е'„е',). Систему 5' можно выбрать произвольно, Выберем ее так, чтобы в рассматрйваемый момент времени материальная точка 1 находилась в начале координат (г', = О), а ее скорость равнялась нулю (в', = О). Тогда в этот момент сила у будет функцией только двух аргументов: у = =- У (г,', е,').
Но разности координат и скоростей в обеих системах отсчета одинаковы, а потому г, = г', — г', = г — г,, и, '= о,' — в', = о — вы В результате получим у=,Г" (гз — г,, в,— е,). ГЛАВА У1 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 9 39. Кинематика гармонического колебательного движения Колебательные явления играют взжную роль в самых разнообразных вопросах физики. Подробный разбор их дается в других разделах нашего курса. Здесь же мы ограничимся предварительным рассмотрением простейших механических колебаний. Начнем с колебательного движения материальной точки. В таком движении точка через равные промежутки времени проходит через одно и то же положение и притом в одном и том же направлении, Важнейшим среди колебательных движений является так называемое простое или гармоническое колебательное движение.
О нем мы уже говорили в 3 11. Характер такого движения лучше всего раскрывается л с помощью следующей кинематической модели. Допустим, что геометрическая точка М равномерно вращается по оке л) Л ружности радиуса А с постоянной угловой скоростью в (рис. 83). Ее проекция У на диаметр, например на ось Х, будет совершать колебательное движение от р .аз. крайнего положения У, до другого край- него положения У, и обратно. Такое колебание точки У и называют простым или гармоническим колебанием, Чтобы его описать, надо найти координату х точки У как функцию времени 1. Допустим, что в начальный момент времени 1.= О радиус ОМ образовывал с осью Х угол 6. Спустя время 1 этот угол получит приращение ы| и сделается равным ыг + 6.
Из рис. 83 видно, что х=А соз(Ы+6). (39.1) Эта формула и описывает аналитически гармоническое колебательное движение точки У вдоль диаметра У,У,. Величина А дает максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия О. Она называется амплитудой колебания. Величина ы называется циклической частотой. Величину Ы + 6 называкп фазой колебания, а ее значение при г = О, т. е. величину 6, — на льной фазой. Если 6 = О, то к = А соз Ы; ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ГРУЗА НА ПРУЖИНЕ юз $401 если 6 =- — Ы2, то х = А ейп Ы и т.
д. Таким образом, при гармоническом колебании абсцисса х является синусондальной или косинусоидальной функцией времени й Для графического изображения гармонического колебательного движения можно откладывать по горизонтальной оси время 1, а по вертикальной оси— смещение точки х (рис. 22). Тогда получится периодическая кривая — синусоида.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
