1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 48
Текст из файла (страница 48)
С этой целью вычислим скорость шарика ог и нижнего конца стержня оз при поднятии ва какую-то одну и ту же высоту Л, если бы при этом онн двнгалнсь независима друг от друга. Зги скорости найдутся из уравнений сохранения энергии 1 1, „йг оэ — оз = 2ййм —;- (гд — о)) =Мл -'-. 2 1' Преобразовав второе уравнение к виду ох о( 3йй видим, что о, > гз. Поэтому в любом положении шарик будет стремиться обог. пать стержень. А так как шарик движется позади стержня, то он все время будет прижиматься к стержню. Отсюда следует, что после удара шарик в стержень будут подниматься нак единое тело.
Высоту поднятия й легко определить из закона сохранения энергии. Она равна 1+ти „бл,з (М+2т) д1з (М+2т) (М+Зт) 7. Решить предыдущую задачу в предположении, что до удара был отклонен стержень(нвжний конец его был поднят на высоту Н). О т в е т.
После удара шарик поднимается на А Л11 высоту нижний конец стержня — на высоту "=~М+,) "=-Злы 8. Твердый стержень длины 1 и массы М может вращаться вокруг горизонтальной оси А, проходящей через его конец (рис. 75). К той же оси А подвешен Рис. 75. математический маятник такой же длины 1 и массы т. Первоначально стержень занимает горизонтальное положение, а затем отпускается. В нижнем положении происходит идеально упругий удар, в результате которого шарик н стержень деформируются, и часть нинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации.
Затем деформация уменьшается, и запасенная потенциальная энергия вновь перехо- !94 (ГЛ. У МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ днт в кинетическую, Найти значение потенциальной энергии деформации (Г в момент, когда она максимальна. ! шР 3 Мш Ответ. 0 = — —. М((! =— 2 1-(-ш(з 2 М+Злг я(, где 1 — момент инерции стержня. 9. Вертикально висящая однородная доска длиной Е = ),5 и и массой М = !О кг может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через ее верхний конец.
В нижний конец доски ударяет пуля, летящая горизонтально с начальной скоростью !'е = 600 и/сек. Пуля пробивает л доску н летит далее со скоростью (г. Определить скорость У, если после выстрела доска стала колебаться с угловой амвлнгудой а = О,! рад, Масса пули гл = (О г. М1/2, а )!1 г О т в е т.
г' = !'а — — 1~ — я(. мп — = 444 м)с. ш г 3 2 )О. В общей точке подвеса А (рис. 76) подвешены шарик на нити длины ! и однородный стержень длины Е, г отклоненный в сторону на некоторый угол. При возвра- ЛГ шенин- стержня в положение равновесия происходит упругий удар. Прн каком соотношении между массами Рис. 76. стержня М и шарика ш шарик н точка удара стержня будут двигаться после удара с равными скоростями в противоположных направлениях? При каком соотношении между массами М и т описанный процесс невозможен? О та е т.
М).з = тР. Так как 1. ="1, то для возможности процесса необходимо М ~ пь При М ) гл процесс невозможен, !!. На горизонтальный диск, вращающийся вокруг геометрической оси с угловой скоростью шн падает другой диск, вращающийся вокруг той же оси с угловой скоростью ыз. Моменты инерции дисков относительно указашюй оси равны соответственно 1, и 1,. Оба диска при ударе сцепляются друг с другом (при помощи острых шипов на их поверхностях). На сколько изменится общая кинетическая энергия вращения системы после падения второго диска? Чем объясняется изменение энергии? Геометрические осн обоих дисков являются продолжением одна другой.
О т в е т. Кинетическая энергия вращения уменьшится на ! 1,1, 21+1 ( г г 3 )2. Шкивы двух маховиков соединены ремнем (рнс. 77). Радиусы шкивов равны )?, и )?а. Моменты инерции маховиков относительно их геометрических Рнс, 77. осей равны 1х и 1з. Удерживая нторой маховик и ремень неподвижными, раскручиваот первый маховик до угловой скорости ы„вследствие чего между осью первого маховика и ремнем возникает скольжение. Затем ремень и второй маховик отпускают, Пренебрегая всеми силами трения, за исключением сил тре- ДВИЖУШИЕСЯ НАЧАЛА И ДВИЖУШИЕСЯ ОСИ 195 ния скольжения между ремнем и осями маховиков, найти установившиеся скорости вращения маховиков ыг и ыю т. е. скорости после прекращения скольжения.
Найти также потерю ЬК кйнетической энергии на трение скольжения. Массой ремня пренебречь. Р е ш е н и е. Благодаря трению скольжения натяжения ремня сверху Т, и снизу Т, будут разными. Применяя к маховикам уравнение (33.4), получим Й», )х — =(т,— те) Р.ь г(( г(ыз ?з — =(те — та Р, 3( Поделим эти уравнения соогветственно иа )?г и гга сложим и проинтегрируем. Тогда получим — + — соп51.
7)ыг (зы» Ях ??з Входящая сюда постоянная равна (хв„!)?х, так как в — -- ю», ыз = О. Когда скольжение прекратится, то ю,)?т ную систему уравнений, найдем угловые скорости ю, скольжения: начальный момент юг = юз(?з. Рец~ая получен- и ю, после прекращения (.Ьо?г (г)?! ых= 7 1?з+7 ~г» ш„ ?г)?фз юз — 7 )?»+ 7)?х ы». Потеря кинетической энергии на трение равна 1 ?,?~)?э 2 (г)?„"+ )~Я;" 13.
Почему в предыдущей задаче полный мо. мент количества движения систелгы не сохраняется? 14. Однородный диск А массы Мг и радиуса гг (рис. 78) раскручен до угловой скорости ы» н приРис. 78. авдее в контакт с диском В, ось вращения которого перпендикулярна к осн диска А . Масса диска В равна М,, а расстояние между точкой соприкосновения и осью диска А равно а. Найти установившиеся угловые скорости дисков ю, и ых и потерю энергии в процессе установления.
Трением в осях, а также трением начения пренебречь. М,г," Мгг', а ' а Ответ. ых=М», 14, г»», ыз= 14», 11 э — ю»=- г»м хг'+ за ',г'+ за' ге гз Потеря энергии М,М»г;'аз 4 (Мгг,'+ М.аз) 13. Вертикальный столб высотой ( подпиливается у основания и падает на землю, поворачиваясь вокруг нижнего основания. Определить линейную скорость его нерхнего конца в момент удара о землю. Какая точка столба будет в этот момен~ иметь ту же скорость, какую имело бы тело, падая с той же высоты, как и данная точка? Ответ. о= ) 33(.
Искомая точка находится на расстоянии х= з?з! ат основания столба. 1б. Изменится ли ответ в предыдущей задаче, если столб первоначально стоял в вертикальном положении на абсолютно гладком льду, а затем начал падать под действием силы тяжести? Чем будет отличаться движение столба в этои случае от движения в предыдущем случае? Р е ш е н и е. По теореме Кенига кинетическая энергия столба слагается из кинетической энеРгии движении его центРа масс Пз пю- со скоРостью ос и кинетической энергии вращения г?з )е?з яокруж центра масс с угловой скоростью сь 198 МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЙ !ГЛ.
У а) б) 0 Рис. 79. Рнс. 80. 17. Однородный стержень массы т и длины 1 (рис. 79) падает без начальной скорости из положения 1, вращаясь без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси О. Найти горизонтальную Р р и вертикальную Р ре составляющие силы, с которыми ось О действует на стержень в горизонтальном положении 2. Р е ш е н и е. Кинетическая энергия стержня в горизонтальном положении '1в 1ы' = 'Iе тп1.
Центростремительное ускорение центра масс стержня в том же положении юв112, Отсюда по теореме о двиткенни центра масс .1 т!в 3 Рте р тюе = тн тк. 2 21 2 Применив к вращению стержня в положении 2 уравнение (33.4), получим аю 1 е(1 ь 2' Отсюда находим вертикальную составляюшую ускорения центра масс в том же положении: бщ тд12 3 а= — -.- =. — = — вт 2 е)1 41 4в' Далее, В реаультате получится та =-тй — Рверт.
! Рверт= не (Ы а) =' тй' 4 !8. Лбсолютно твердая однородная балка веса Р лежит своими концами на двух абсолютно твердых опорах (рис. 80, а). Одну нз них выбивают. Найти на~альную силу давления, действующую на оставшуюся опору (рис 80 б). Ответ. Р='lеР.
За время падения центр масс проходит путь 1/2. При этом совершается работа тф/2, которая идет на приращение кинетической энергии: тос 1еоз т81 — + — — = —. 2 2 2 В нижнем положении, когда столб горизонтален, и. = Пв 1сь Имея это в виду., а также используя выражение 1= '1, тР, получим э = Пв 'г'381. Скорость верхнего конца столба вдвое больше, т. е. равна о = Р Зф, Отсюда видно, что результапя будут такими же, что и в предыдущей задаче.
Однако характер движевия будет другим. В предыдущем случае столб при падении вращался вокруг своего нижнего основания. При этом центр масс столба двигался по дуге окружности. В рассматриваемом случае, поскольку все действующие силы направлены вертикально, центр масс столба при его падении все время будет находиться на одной и той же вертикали. 197 движкщився илчллл и движкщився оси 4 зт] из его концов, то получится Р = 4тя. 20. Человек иа аттракционе «гигантские шаги« движется по замкнутой траектории таким образом, что достигаемая им высота относительна положения равновесия меняется в пределах отоман до Ьмакс. Определить максимальную и минимальную скорости человека при таком движении, если длина веревки, на которой он удерживается, равна 1.
Р е ш е н и е. На основании закона сохранения энергии аа+ 288 = сопи. (37.3) Момент силы тяжести относительно точки подвеса ие имеет вертикальной составляющей. Момент силы натяжения веревки равен нулю. Поэтолау при дви- женин человека вертикальная составляющая его Рис. 81. момента количества движения остается неизменной. В положенинх, где высота Л максимальна или минимальна, скорость человека о горизонтальна, а момент количества движения равен пшг, где г — расстояние до вертикальной оси, вокруг которой вращается человек. Значит, в этих положениях величина аг одна и та же.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
