1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Проекция момента импульса колеса на Ось Х становится равной Т,,"'"' =- 10 соз а, т. е. она уменьшается на М П вЂ” соз и), Это уменьшение должно быть скомпенснровано возрастанием соответствующей проекции момента импульса скамьи Ь 341 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ИМПУЛЬСА 1В1 и демонстратора на величину Е'"" = Ю (1 — сова). В результате скамья вместе с демоистратором приходит во вращение с угловой скоростью ю, определяемой из уравнения 1,Гл = И (1 — сова), где 1ь — момент инерции скамьи. При а = — 90' проекция Е„'" обращается в нуль — она целиком передается скамье и демонстратору. При а =- 180' изменение вращательного импульса колеса становится максимальным АЕ;"' = 2Е",', скамья и демонстратор 21 вращаются с максимальной скоростью ю„,„,= — й.
Поворачивая ь ось, демонстратор придает ей исходное направление — тогда вращение скамьи прекращается. Однако скамья, вообще говоря, не возвращается в исходное положение, а оказывается повернутой вокруг вертикальной оси на некоторый угол. Наклоняя ось колеса, демонстратор во время ее движения испытывает значительные силы бокового давления. Колесо как бы стремится вырваться из рук демонстратора. Эти силы направлены горизонтально и притом перпендикулярно как к оси колеса, так и к оси скамьи Жуковского. Их геометрическая сумма равна нулю, но онн имеют момент относительно оси Х.
Последний приводит во вращение скамью Жуковского и демонстратора. Происхождение этих сил будет выяснено в гл. ЧП. 8. Закончим этот параграф следующим замечанием. Пусть имеется замкнутая система тел (назовем ее лабораторией), которая в начальный момент времени покоилась относительно какой-то неподвижной (инерциальной) системы отсчета В. Можно ли с помощью одних только внутренних движений сместить лабораторию в пространстве и притом так, чтобы все тела в ней вернулись в свои исходные положения? Говоря о смещении лаборатории, мы имеем в виду ее поступательное перемещение без вращения. Отрицательный ответ на этот вопрос дает теорема о движении центра масс.
Не так обстоит дело в отношении поворота замкнутой системы тел. С помои1ью одних только внутренних движений можно повернуть лабораторию в пространспюе на любой угол и притом так, что исходное расположение тел в лаборапирии восстановится. Допустим, например, что лаборатория состоит из замкнутой оболочки А, в которой помещено всего одно тело В. Пусть тело В начинает вращаться вокруг некоторой оси с угловой скоростью рв (относительно неподвижной системы отсчета).
Тогда оболочка А придет во вращение относительно той же осн с угловой скоростью ~рл. По закону сохранения вращательного импульса 1лфл + 1в~рв — — О, так как в начальный момент вращательный импульс был равен нулю (1л и 1в — моменты инерции оболочки А и тела В соответственно). Если углы ~рл и ~рв условиться отсчитывать от начальных положений тел А и В, то после интегрирования получится 1л~рл + 1вГрв — — О. Угол поворота тела В относительно оболочки А определится 182 момент кОличестВА дВижения [ГЛ у разностью ф =фа — фл=- — (-"-+ 1 фл. Если ф=2лп (п — целое ~~в / число), то тело В возвратится в исходное положение относительно оболочки А.
При этом угол поворота оболочки фл, вообще говоря, не будет равен нулю. Различие в поведении лаборатории при поступательном перемещении и вращении связано со следующим обстоятельством. При непрерь[оном поступап[ельном перемешении тела В оно никогда не возвраи[ается в исходное положение относительно тела А.
Различным значениям координаты х соответствуют и различные положения тела. Напротив, при непрерывном вршцении тела В взаимное расположение тел В и А периодически восстанавливается: значениям угла ф, отличающимся на 2пп, соответствует одно и то же относительное расположение тел А и В. Падающая кошка, вращая хвостом и лапами, придает своему телу такое положение, чтобы встать на землю лапами. И это ей удается. Эти явления можно имитировать на скамье Жуковского. Демонстратор, совершая конические вращения одной и.тн обеими руками, всегда может повернуть скамью Жуковского на произвольный угол. Для усиления эффекта он может взять в руки массивный предмет с большим моментом инерции, например молот.
$35. Теорема Гюйгенса — Штейнера Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух различных параллельных осей. Предполагается, что эти оси перпендикулярны к плоскости рисунка и пересекают ее в точках О и А. Ради краткости будем е)в называть самые оси также осями О и А. Разобьем мысленно тело на элементарные массы [[п[. Радиусы-векторы одной из них, проведенные от осей О и А параллельно плоскости рисунка, обоз- Ю 4 начям г н г' соответственно.
(На рис. 63 изображен такой Рис. 63. случай, когда элементарная мас- са с[т лежит в плоскости рисунка). Тогда г' = г — а, где а означает радиус-вектор ОА. Следовательно, г"- =- г' + а' — 2 (аг), ~ г'~ дт = ~ г' дт + а' ~ с[т — 2 (а ~ г с(т) Интеграл слева есть момент инерции !л тела относительно осн А, первый интеграл справа — момент инерции относительно оси О. Последний интеграл можно представить в виде ~гс(т =тес, Вычисление моментов инерции 1ВЗ $661 где 1тс — радиус-вектор центра масс С тела относительно оси О (точнее, гсс есть слагающая радиуса-вектора центра масс, параллельная плоскости рисунка). Таким образом, 1 л = 1о+ та' — 2т (а)тс) (35.1) Допустим, что ось О проходит через центр масс С тела.
Тогда гсс = О, и предыдущая формула упрощается, принимая вид гл 1+ а (35.2) Это важное геометрическое соотношение называется теоремой Гюйгенса — Штейнера (1?96 — 1863). Момент инерции тела относительно наной-либо оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной та', где а — расстояние между ося,ии. $ 36. Вычисление моментов инерции 1. Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением или измерить экспериментальное).
Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла 1 =~ гайт, (36.1) в котором г — расстояние от элемента массы дтп до оси вращения. Интегрирование должно производиться по всей массе тела. Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы. Для тел неправильной формы такие интегралы могут быть найдены численно.
Вычисление моментов инерции во многих случаях можно упростить, используя соображения подобия и симметрии, теорему Гюйгенса — Штейнера, а также некоторые другие общие соотношения, о которых будет сказано ниже. Рассмотрим два подобных и подобно расположенных относительно оси вращения тела А и В одной и той же плотности. Полные и элементарные массы этих тел относятся как кубы нх линейных размеров 1. Так как элементарные массы умножаются на квадраты расстояний их до оси вращения, то моменты инерции тел А и В будут относиться как пятые степени тех же размеров.
Таким образом 1 16, или 1 =япйа, (36.2) Под 1 следует понимать какой-либо каранпмрный размер тела или расстояние какой-либо характерной точки его от оси вращения. ") Оо одном методе анспернментального определения моменгои инерции гоиорится в 6 42. 184 МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ «ГЛ. У Коэффициент пропорциональности й зависит только от формы тела и его расположения относительно осн арап«енкя. 2. Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки, Сам по себе момент инерции тела относительно точки ие играет никакой роли в динамике.
Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний 1«до точки О: г О = г.т)г"'. В случае непрерывного распре- деления масс эта сумма сводится к интегралу м(ккг) О = ~ )с' йт.
Само собой понятно, что момент 9 не следует смешивать с моментом инерции 1 д относительно оси. В случае момента 1 массы йт умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента Π— до неподвижной точки. Рассмотрим сначала одну материальную х точку с массой т и с координатами х, у, г Рис. 64.
относительно прямоугольной системы коорди- нат (рис. 64). Квадраты расстояний ее до координатных осей Х, У, 2 равны соответственно у' + г', г' + х', х' + у'-, а моменты инерции относительно тех же осей 1„= т (уь+ г'), 1, = т (гь+х'), 1, = т (х'+уь).
Сложив эти три равенства, получим 1 +1, +1,=2т(х'+у'+Р). Но х' + у' + г" = — Щ где й — расстояние точки т от начала координат О. Поэтому 1„-+ 1„+ 1, = 20. (Зб.З) Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но н для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инер««ии тела относительно трех взаимно перпендикулярных всей, пересекающихся в одной п«очке О, равна удвоенному моменту инерции того эке тела относительно вагой точки. Если повернуть координатные оси Х, У', 2 относительно тела, оставляя углы между ними прямыми, то моменты инерции 1„, 1„, 1„ вообще говоря, изменятся.
Однако их сумма останется той же самой, так как оиа равна 29, а величина В не зависит от ориецтацип координатных осей. Таким образом, сумма моментов инерции 1„, 1„ 1, относительно любых трех взаимно перпендикулярных осей, 185 ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ 5 за! проходящих через одну точку, зависит только от положения эпюй точки и не' меняется с изменением ориентаг(ии осей. Более глубокая геометрическая природа этого утверждения раскрывается в тензорной алгебре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
