1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Уравнение (29.11) имеет два решения, которые оба удовлетворяют условию сохранения энергии. Одно из них, а именно о = О, было отброшено. Закон сохранения энергии для этого не дает оснований. Однако решение о = 0 не согласуется с уравнением Ньютона, если только сила Р не обращается в нуль. 6. Используя понятие потенциальной энергии, можно выразить условие равновесия механической системы и его устойчивости. Рассмотрим сначала систему взаимодействующих материальных точек, на которую не наложены никакие связи.
Пусть все действующие силы консервативны. Тогда их составляющие можно представить формулами (29.10). В состоянии равновесия все силы, а с ними и все первые производные потенциальной энергии (/ по координатам должны обращаться в нуль. Отсюда следует, что для равновесия необходимо, чтобы потенциальная энергия была стационарна. Стационарность означает, что при всяком выводе системы 164 1гл.
~Р РАБОТА И ЭНЕРГИЯ из состояния равновесия, когда координаты материальных точек получают бесконечно малые приращения бх„ бу„ ..., бг„, функция (/ остается почти постоянной. Точнее, приращения функции (/ при таких бесконечно малых изменениях координат являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем приращения самих координат. В частности, система будет находиться в равновесии, если потенциальная энергия (/ экстремально, т. е. минимальна или максимальна. Если потенциальная энергия минимальна, то равновесие будет устойчивым. Действительно, пусть (/, — значение потенциальной энергии в состоянии равновесия.
По условию теоремы можно найти малую окрестность вблизи состояния равновесия, в которой разность (/ — (/« положительна. Выберем эту окрестность так, чтобы бь:ло О ( (/ — (/» ( е, где Б — некоторое положительное число, которое может быть взято сколь угодно малым. Выведем теперь систему из состояния равновесия, сообщив ей кинетическую энергию К, ( Б. Затем предоставим систему самой себе. Свободное движение системы будет подчиняться закону сохранения энергии К + (/ = К» + (/, или (/ — (/» =- К„ — К.
Отсюда видно, что (/ — (/, ( е, так как кинетическая энергия К ие может быть отрицательной. Следовательно, система без внешних воздействий не может выйти за пределы области О ( (/ — (/ь ( е и будет совершать в ней финитное движение. Зто означает, что равновесие системы при минимуме потенциальной энергии усп»ойчиво, точнее, успюйчиво по отнои»гнию к бесконечно малым возмущениям. Изложенное остается справедливым и при наличии диссипативных сил типа жидкого трения, а также гироскопических сил. Действительно, в состоянии равновесия, когда все материальные точки покоятся, такие силы равны нулю. Поэтому необходимое условие равновесия, требующее стационарности потенциальной энергии (/, остается в силе.
Сохраняет силу и доказательство устойчивости равновесия при минимуме (/. Только равенство, выражающее закон сохранения энергии, при наличии диссипативных сил в доказательстве следует заметить неравенством (К + (/)— — (К,+ (/»)(О и — и„(К» — К. З '.- у- л дальнейшие заключения. Диссипатианые силы делают равновесие еи(е более устойчивым.
Если систему вывести из состояния равновесия и затем предоставить самой себе, то дпссипативные силы в конце концов снова вернут систему в состояние равновесия. Причина устойчивости равновесия при минимуме (/ выявится особенно наглядно, если рассмотреть всего одну материальную точку, могущую совершать одномерное движение. В этом случае график функции (/ имеет вид потенциальной ямы (аналогичной той, которая представлена на рис. 45). В состоянии равновесия материальная точка «лежит на дне потенциальной ямы».
Никакие силы на нее в этом положении не действуют. При смещении точки 165 силы и потенциАльнАя энеРГия в сторону, как легко видеть, появляется сила, направленная к положению равновесия н стремящаяся вернуть точку в это положение. Если же точка находится в равновесии там, где потенциальная энергия максимальна (т. е. «Лежит яа вершине потенциальной горы», например в точке Л/ на рис. 44), то при ее смещении в сторону появляется сила, направленная от положения равновесия. Такая сила еще далыпе уведет точку от этого положения. Равновесие будет неустойчивым. Равновесиг всякой механической системы, вообще говоря, неустойчиво, если потгн1(иальная энергия максимальна.' Изложенные результаты можно распространить и на системы, свобода перемещения которых ограничена наложенными связями.
Надо только потребовать, чтобы связи были идеальными, т. е. такими, которые не производят работы при любых возможных перемещениях системы. Примером может служить идеально гладкий шарик, надетый на идеально твердую и гладкую спицу, которая задает направление возможного перемещения шарика. Сила, действующая на шарик со стороны спицы, перпендикулярна к направлению возможного перемещения и работы пе производит. При наличии связей условия равновесия материальной точки принимают вид — — + й»„= О, — — + й». = О, (29.
12) — д-- + й» = О, д«1 где лс — реак«1ия связей, т. е. сила, с которой связи действуют на рассматриваемую материальную точку. В целях краткости мы провели рассуждения дляодной материальнойточки. В случаесистемы изменится только число уравнений, но сами рассуждения останутся без изменений.
Пусть бх, бу, бг — возможные перел«гщгния материальной точки вдоль координатных осей. Умножая на них уравнения (29.12), складывая и принимая во внимание, что реакции связей дУ д11 д11 работы не производят, получим б(/ =---бх+ — -бу+ — бг=О. дх дч дг Таково необходимое условие равновесия. Оно означает, что в состоянии равновесия потенциальная энергия (л' стаиионарно. Не изменятся и рассуждения относительно устойчивости равновесия, которые были приведены выше. Иллюстрацией может служить тяжелый шарик, помещенный на дно сферической чаши (устойчивое равновесие), или в вершину выпуклой поверхности (неустойчивое равновесие).
При наличии сил сухого трения стационарность потгнциальной энергии (л' для равновесия нг необходима. Примером может служить равновесие бруска, лежащего на наклонной плоскости. ГЛАВА Ч МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ф 30. Момент силы и момент импульса относительно неподвижного начала 1. Важные законы механики связаны с понятиями момента импульса и момента силы. Следует различать и никоим образом не смешивать друг с другом моменты этих векторов относительно точки и относительно оси. Момент вектора относительно точки и относительно оси — разные понятия, хотя и связанные между собой.
Момент вектора относительно точки сам есть вектор. Момент того же вектора относительно оси есть проекция на эту ось его момента относительно точки, лежащей на той же оси. Таким обра- зом, момент вектора относительно оси м=[пг) уже не является вектором. Начнем , с рассмотрения моментов относительно я' точки. В. Пусть Π— какая-либо точка, от- носительно которой рассматривается л' момент вектора силы или вектора импульса. Ее называют началом или й г полюсом.
Обозначим буквой г раРис. Бб. анус-вектор, проведенный из этой точки к точке приложения силы Р (рнс. 56). Моментом силы Р относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора г на силу Р: М = [гР). (ЗО. 1) Из этого определения непосредственно следует, что момент М не изменится, если точку приложения силы Р перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы. Действительно, если точку приложения силы перенести из А в А', то параллелограмм ОАВС перейдет в параллелограмм ОА'В'С.
Оба параллелограмма имеют общее основание ОС и общую высоту. Поэтому нх площади равны, что и доказывает наше утверждение. Если Р = Р, + Ре. то на основании известного свойства векторного произведения можно написать (зо.2) [гР1 = [гР11+ [гРД. $301 МОМЕНТЫ СИЛЫ И ИМПУЛЬЕА ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ 167 Это значит, что момент равнодействующей двух или нескольких сил относительно некоторого начала равен геометрической сумме моментов составляющих сил относительно того же начала.
Аналогично определяется момент импульса р материальной точки относительно полюса О. Так называется векторное произведение Г.=Р "И (30.3) 2. Целесообразность введения этих двух понятий оправдывается тем, что моменты импульса и силы связаны между собой важным соотношением, которое мы сейчас выведем из уравнений Ньютона. Предположим сначала, что начало О неподвижно. Дифференцируя выражение (30.3) по времени, получим Так как по предположению начало О неподвижно, то производная г есть скорость материальной точки, связанная с ее импульсом соотношением р = те. Поэтому первое слагаемое равно нулю как векторное произведение коллннеарных векторов г = е и р =-- тп.
Второе слагаемое можно преобразовать с помощью уравнения Ньютона р = Р. Тогда получится л. = [гР), или (30.4) Это соотношение мы и хотели получить. Оно называется уравнением моментов: производнал по времени момента импульса материальной точки относительно неподвижноео начала равна моменту действующей силы относительно того же начала. При выводе не предполагалось, что масса т остается постоянной. Поэтому уравнение (30.4) справедливо также и в релятивистской механике, т.
е. при сколь угодно больших скоростях материальной точки, допускаемых теорией относительности. Уравнение моментов (30.4) можно обобщить на случай произвольной системы материальных точек. Моментом импульса системы материальных точек относительно некоторого начала называется векторная сумма моментов импульсов всех матерна.тьных точек системы относительно того же начала. Аналогично момент всех сил, действующих на сиспыму материальных точек, определяется как векторная сумма моментов отдельных сил. Вместо того, чтобы складывать моменты всех сил, можно, имея в виду соотношение (30.2), сначала найти равнодействующую этих сил, а затем вычислить ее момент.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
