1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 44
Текст из файла (страница 44)
При максимальном удалении гирь от оси вращения з 341 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ИМПУЛЬСА 1?7 момент инерции увеличивается в несколько раз. В такое же число раз уменьшается угловая скорость вращения (рпс. 60) *). 2. Когда балерина делает пируэт, она вращается на носке, вокруг вертикальной оси. Ноги и руки при этом максимально приближены к оси вращения, и угловая скорость максимальна. Для замедления вращения и остановки балерина разводит руки и отводит ногу в сторону, Наоборот, для сообщения 'своему телу быстрого вращения балерина отталкивается от пола, получая вращательный импульс, когда момент инерции ее тела максимален.
Затем она соответствующим движением уменыпает момент инерции в несколько раз и тем самым увеличивает угловую скорость вращения. Таким образом, она управляет скоростью вращения п)тем изменения момента М-., инерции своего тела. В сущности, она делает то же самое, что и демонстратор на скамье Жуковского. Тем же самым приемом пользуется гимнаст, выполняющий упражнение на перекладине. 3. Прыгун, чтобы сделать сальто, отталкивается Рис, б!.
от трамплина и тем самым сообщает своему телу вращательный импульс. Зтот импульс сохраняется при дальнейшем движении прыгуна в воздухе. Вначале тело прыгуна вытянуто и момент инерции велик. В некоторый момент прыгун свертывается клубком (рис. 61), уменьшая момент инерции в три и большее число раз. Угловая скорость возрастает во столько же раз.
С этой угловой скоростью прыгун выполняет один, два и даже три полных оборота. В нужный момент прыгун снова выпрямляет тсло и с малой угловой скоростью становится на землю или погружается в воду. Приведя этот пример, мы несколько забежали вперед, так как здесь ось, вокруг которой вращается тело прыгуна, не неподви>кна, а движется в пространстве. Однако, если движущаяся ось вращения проходит через центр масс прыгуна, то вращение совершается по тем же законам, что и вращение вокруг неподвижной оси (см.
Э 37). 4. Земля при вращении вокруг собственной оси ведет себя подобно скамье Жуковского, Всякое перемещение масс внутри Земли (выпадание осадков, вулканическая деятельность, горообразование и пр.) меняет момент инерции, а с ним и угловую скорость вращения Земли. Это является причиной нерегулярных колебаний продолжительности суток. Экспернментально обнаружены перио- ') Рис. 60 взят нз книги С. П. Стрелкова «Меканина». [уа МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ [Гл. ч дические колебания продолжительности суток с основным периодом в один год и с амплитудой около 0,001 с. Земля подвержена также регулярным внешним воздействиям, прежде всего силам приливного трения, связанным с гравитационным притяжением Луны и Солнца.
Благодаря этому средине солнечные сутки увеличиваются примерно на 1,640 10 ' с в столетие. Как уже говорилось в Э 1, неравномерность вращения Земли можно наблюдать с помощью кварцевых, атомных или молекулярных часов. Ход таких часов управляется колебаниями кристаллической решетки кварца, а также внутриатомными и внутримолекулярными колебаниями при излучении спектральных линий. Указанные колебания обладают значительно большей стабильностью, чем вращение Земли вокруг собственной оси или вокруг Солнца. Зто и является причиной, почему в настоящее время эталон времени — секунда — устанавливается именно с помощью таких колебательных процессов, а не с помощью вращения Земли вокруг своей оси или Солнца, как это делалось до недавнего времени (см.
Э !). 5. Вернемся к опыту со скал[ьей Жуковского. При уменьшении момента инерции вращающегося тела его кинетическая энергия увеличивается (при условии, что момент внешних сил равен нулю). Зто непосредственно видно из формулы (33.6), так как в рассматриваемом случае вращательный импульс системы !. = !со не изменяется. Изменение кинетической энергии системы может происходить только за счет работы каких-то сил. Такими силамн в нашем примере являются внутренние силы, действующие в системе. Они не могут изменить момент импульса системы. Однако совершаемая ими работа, вообще говоря, отлична от нуля и идет на изменение кинетической энергии вращения системы. Демонстратор на скамье Жуковского должен развить определенную мускульную силу, чтобы удержать вращающиеся гири на пх круговых траекториях.
Сила, с которой он действует на гирю, есть центростремительная сила Е = т шзг, где пт — масса гири, а г — расстояние ее от оси вращения. Когда демонстратор приближает гирю к оси вращения, сила г' совершает положительную работу. За счет этой работы и происходит увеличение кинетической энергии системы.
При удалении гири работа силы г' отрицательна, и кинетическая энергия уменьшается. Подтвердим этн рассу>кдения простым расчетом. Чтобы максимально упростить вычисления, схематизируем опыт, заменив реальную систему идеализированной моделью ее. Будем считать, что гири являются материальными точками, а массы рун демонстратора пренебрежимо малы. При такой схематизации момент инерции системы представится выражением ! == !е т 2тге, где [е — момент инерции системы без гирь, а 2тгз — момент инерции самих гирь (двойка потому, что гирь две). Будем предполагать, что приближение и удаление гирь к осн вращения совершается бесконечно медленно. Тогда в любой момент времени можно пренебречь кинетической энергией радиального движения.
Вся работа внутренних сил пойдет на изменение кинетической энергии вращения системы. Вычислим 4 34! ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ИМПУЛЬСА !79 работу А, совершаемую демонстратором, когда он тянет гири к оси впащения, перемещая их с расстояния г, до ге < г,. Как было показано в $ 24, при вычислении аботы имеет значение только относительное движение взаимодействующих тел. нашей задаче зто есть движение гирь относительно демонстратора. Каждую гирю демонстратор тянет с силой тычг. Элементарная работа, совершаемая им, положительна и равна — 2тыеес(г (в нашем случае аг < О). Полная раба~а А определится интегралом А =- — ~ 2тычг Вг =. — 2т З! —, г с(е = — 2т ~ . „г аг.
!' (7сч)а !' Ез О Так как момент импульса ь во время двнжеаия остается постоянным, а ! = 7ч+ + 2те', то с 2 Гйг Аз) ! ! А = — 2т!. (74-)-2тга)ч 2 (!и+2слее !ч+2тг;-'~' е~ или Та же формула справедлива и при удалении гирь от оси вращения. Она показывает, что кинетическая знереия вращения изменяется за счет работы мускульной силы демонстратора. 6. Приведенное объяснение, однако, не отвечает на вопрос, какие силы вызывают изменение угловой скорости вращения системы.
Если бы на гирю действовала только центростремительная сила, то она, как сила центральная, не могла бы изменить вращательный импульс гири. Должны были бы сохраняться в отдельности вращательные импульсы гирь и скамьи Жуковского вместе с демонстратором. Гири и скамья Жуковского вращались бы с различными угловыми скоростями. Иа самом деле этого нет. При движении гирь по радиусу происходит выравнивание угловых скоростей.
Отсюда можно заключить, что во время такого движения помимо центростремительных сил на гири действуют силы бокового давления со стороны рук демонстратора. Эти силь! и изменяют угловую скорость вращения гирь. Гири в свою очередь оказываюп! боковое давление на руки демонстраптора, в результигпе чего меняется угловая скорость вращения скамьи вместе с демонстратором. Демонстратор на скамье Жуковского очень хорошо ощущает действие этих сил бокового давления при всяком, в особенности быстром, радиальном перемещении гирь.
Дополнительные силы бокового давления перпендикулярны к оси вращения и к относительной скорости гирь. Работы они не производят. Их наличие не может сказаться на результате вычисления работы А, которое было произведено выше. Силы бокового давления, однако, имеют моменты относительно оси вращения и производят перериштределение неизменного момента импульса системы между гирями — с одной [гл.
ч МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ стороны — и скамьей Жуковского с демонстратором — с другой. В результате их действия все эти тела вращаются с общей угловой скоростью. Количественное рассмотрение вопроса будет произведено в й 64. 7. С помощью скамьи Жуковского можно демонстрировать и векторный характер момента импульса. Для этой цели применяется велосипедное колесо с утяжеленным ободом. Если колесо вращается вокруг собственной оси, то вследствие осевой симметрии полный импульс его р равен нулю. В этом случае, как было показано в ~ 30, момент импульса г. относительно неподвижной точки не зависит от положения этой точки. С другой стороны, проекция вектора С на ось вращения колеса равна тй, где ! — момент инерции Рис. б2. колеса, а й — его угловая скорость.
Проекция вектора х. на любое направление, перпендикулярное к оси колеса„ равна нулю ввиду осевой симметрии. Отсюда следует, что вектор момента импульса .ь направлен вдоль оси колеса и по величине равен /2. Демонстратор садится или становится иа скамью Жуковского. Ему передают быстро вращающееся колесо с вертикально направленной осью (рис. 62). Полный момент импульса системы направлен вертикально и равен М. Примем вертикальную ось скамьи Жуковского за ось Х. Так как момент внешних сил относительно оси Х равен нулю, то проекция )., полного момента импульса системы на эту ось должна сохраняться. В начале опыта весь вращательный импульс сосредоточен в колесе. Затем демонстратор наклоняет ось колеса иа угол а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
