1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 47
Текст из файла (страница 47)
При этом момент инерции 1з останется неизменным, а 1„сделается равным 1» — — гузтзз. Применяя снова соотношение (36.4), для момента инерции 1 полученного эллиптического диска найдем 1» = 1„+ 1э — — Цьт (а' + Ьэ). Наконец, произведем равномерное растяжение эллиптического диска в направлении оси Я, чтобы он превратился в трехосный эллипсоид с полуосями а, Ь, с. Прн этом величина 1, не изменится. Таким образом, момент инерции трсхосного эллипсоидв относительно осн Я ранен (36. гй) 1, = .
(аз+ Ьз). Моменты инерции относительно остальных двух главных осей равны соответственно пг га 1,=- — (Ьз+сз), 1, =--(се+пан В 37. Уравнение моментов относительно движущегося начала и движущейся оси 1. Уравнение моментов (30.5) справедливо для того случая, когда начало О, относительно которого рассматриваются моменты Е и 1И, нег1одвижно.
Точно так же уравнение (32.2) относится к моментам относительно неподвижной оси. В некоторых случаях, 'однако, целесообразно рассматривать двилсди(неся начала или движущиеся оси. Исследуем, как меняется в этом случае уравнение моментов. Особый интерес представляют случаи, когда уравнение моментов относительно движущегося начала сохраняет прежний вид (30.5). 2. Рассмотрим сначала одну материальную точку, Будем понимать под тз и р ж гпп скорость и импульс этой точки относительно неподвижной инерциальной системы отсчета 5, а под г — ее радиус-вектор, проведенный из движущегося начала О.
Движение начала О может быть как равномерным, так и неравномерным. Скорость этого движения обозначим через тто. Момент импульса движущейся точки относительно начала О определим прежним выражением (30.3), т. е. х. = ( р). Как и раньше, дифференцированием этого выражения найдем А = ~гр1+ ~гр1. 1во момвнт количвствл движвния [гл. ч Однако теперь и означает не скорость материальной точки е, а разность между этой скоростью и скоростью движущегося начала ео. Таким образом, ~- = [( — ео) р'1+ РЯ.
или ввиду уравнения Ньютона р = Р и коллинеарности векторов е н р Е = — [кР1 — [еор1, или, наконец, А = М вЂ” [еор). (37.1) Чтобы обобщить это уравнение на случай системы материальных точек, напишем его для 1-й материальной точки Е, = М, + +[еорД, а затем просуммируем по всем 1. Таким путем снова получим уравнение (37.1). Однако теперь р будет означать импульс всей системы материальных точек, а М вЂ” момент действующих на нее внешних сил.
Импульс р можно представить в виде р = тес,где ес — скорость центра масс системы. Таким образом, Е =- М вЂ” т [еоес) (37.2) Это и есть уравнение моментов относительно движущегося начала. Если движущееся начало О совпадает с центром мисс С системы, то ео = ес, и формула (37.2) переходит в прежнее уравнение (30.5). Уравнение моментов относительно центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижного начала. Более того, в этом случае скорости е материальных точек не обязательно рассматривать относительно неподвижной системы отсчета 5.
Их можно брать и относительно самого центра масс С, считая его как бы неподвижным. Если центр масс С движется прямолинейно н равномерно, то это утверждение непосредственно следует из принципа относительности. Но оно справедливо и в случае ускоренного движения центра масс. В самом деле, скорость каждой материальной точки может быть представлена в виде е = ес + е„„, где 億— скорость точки относительно центра масс С. Поэтому Е =К[гте1=»" [гп1ес)+К[кте.„,) Предпоследняя сумма в этом равенстве равна нулю. Действительно, так как скорость ес одна и та же для всех слагаемых суммы, то ее можно вынести из-под знака суммы, что дает — [ес,У, 'тг~= = — [есгс1 ~ т, где нс — радиус-вектор центра масс. Он равен нулю, так как начало координат О по условию помещено в центре масс.
Итак, Е =Х[гте...), что и доказывает наше утверждение. Второй, более общий, случай, когда уравнение (37.2) переходит в простую форму (30.5), получается тогда, когда скорости ео и ес 19! й зг1 ДВИЖУЩИЕСЯ НАЧАЛА И ДВИЖУЩИЕСЯ ОСИ ЗАДАЧ И 1. Определить ускорения тел и натяжения нити на машине Атвуда, пред- полагая, что глз ) ш, (рис. 7!). Момент инерции блока относительно геометрн- чесной оси равен 7, радиус блока г, Массу нити считать пренебрежимо малой. Р е ш е н н е. Ввиду того, что масса нити пренебрежимо мала, изменения натяжений Т, и Т, вдоль нити мо»кно не учитывать. Уравнения движения грузов и блока будут юга= Т,— т»у, а»га = ш,а — Т,, ! - =г(тз — Т).
йо йг = тз Если нет проскальзывания нити по блоку, то Вы г — =а„ в! Решая зти уравнения, получим шз — шг а= а, шд+шз +- т после чего находим Т, и Т,, Если масса блока пренебрежимо мала, то Т, =.- Т,. 2. К шкиву креста Обербека (рис. 72) прикреплена нить, к которой подвешен груз массы М = 1 кг. Груз опускается с высоты )г= ! и до нижнего положения, а затем начинает подниматься вверх. В зто время происходит <рывок», т.
е. уве- личение натяжения пити. Йаати натяжение нити Т при опускании или под- нятии груза, а также оценить приближенно натяжение во время рывка Тры,. Радиус шкива г = 3 см. На кресте уиреплены четыре груза с массой ш = 230 г каждый па расстоянии )7 =- 30 см от его оси. Моментом инерции самого креста и шкива пренебречь по сравнению с моментом инерции грузов. Растяжение нити во время рывка не учитывать.
Ответ. Т= —,= —,=099Т, Ме Ма Мгз — Мго — о 1+ — 1+ —, 4шдз ар Рис. 7!. «оллинеарны. В этом случае векторное произведение )тгоя!с) обращается в нуль. Таким образом, когда скорость движуигегося начала О параллельна скорости центра масс С, уравнение моментов принимает простую форму (30.5). В этом случае, однако, при вычислении момента импульса д. надо брать скорости всех материальных точек обязательно относительно инерциальной системы отсчети 5, а не относительно центра масс. 3. Аналогичные результаты справедливы и для поступательно движущихся осей, когда при движении оси она все время остается параллельной своему исходному направлению. 11ет необходимости формулировать зти результаты отдельно, так как уравнение моментов относительно оси получается из соответствующего уравнения моментов относительно точки путем проектирования на эту ось.
192 [ГЛ. У МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ где 1 — момент инерции системы, а Т, — натяжение нити при неподвижном грузе. Среднее натяжейие нити во время рывка Трм, можно оценить следующим образом. Надо вычислить максимальную с корость груза М в нижнем положении. пг Обозначим ее о. За время полоборота шкива 31= — - — количество движения груза М о меняется на 2Мо. Зто изменение равно импульсу силы, действующей иа груз М, Миг зато же время, т.
е. (Трь„— Мд) йй Вычисления дают Тэ„„— — Мд+ —,, Т= — 1 42 То. 3. Монета массы т и радиуса г, вращаясь в горизонтальной плоскости вокруг своей геометрической оси с угловой скоростью ы, вертикально падает на горизонтальный диск н прилипает к нему. В результате диск приходит во вращение вокр)т своей оси.
Возникающий при этом момент сил трения в оси диска Рнс. 73. Рис. 74. Рис. 72. постоянен и равен М,. Через каное время иращение диена прекратится? Сколько оборотов (У сделает диск до полной остановки? Момент инерции диска относительно его геометрической оси (э. Расстояние между осями диска и монеты равно ГЕ Ответ.
1= —,ы; (т'= 'гэ, где 1=1ч+т(бэ+ ЕМч ' 21 ' ч (, 21'' 4. Сплошной одйородный короткий цилиндр радиуса г, вращающийся вокруг своей геометрической осн со сноростью и об1с, ставят в вертикальном поло. женин на горизонтальную поверхность. Сколько оборотов (У сделает цилиндр„ прежде чем вращение его полностью прекратится? Коэффициент трения скольжения между основанием Пнлапдра н поверхностью, на которую оп поставлен, не зависит от скорости вращения и равен й.
Зпгпэ ' Ответ. А' =— 4йя ' 5. Тонкий стержень массы т и длины Е (рис. 73) поднешен за один конец и может нращэться без треккя вокруг горизонтальной оси. К той же оси подвешен на нити длины 1 шарик такой же массы и. П1арик отклоняется на некоторый угол и отпускается. При какой длине нити шарик после удара о стержень останонится? Удар абсолютно упругий.
Ответ. 1==.. р'з" б. Математический маятник массы т и стержень массы М (рис. 74) подвешены к одной и той же точке А, вокруг которой они могут свободно колебаться, Длина нити маятника равна длине стержня. Шарик маятника отклоняют в сторону, так что он приподнимается иа высоту Н относительно своего нижнего поло- уйз движущився нлчллл и движущився оси 6 зт) жения. Затем парик отпускают, и он сталкивается неупруто с палкой.
Как будут двигаться шарик и нижний конец палнн после удара и на накие высоты онн поднимутся? Р е ш е н и е. Скорость шарика в нижнем положении до удара о „=1~2цН. Так как удар неупругнй, то непосредственно после удара шарип н нижний конец стержня в нижнем положении будут иметь одну и ту же скорость о. Она найдется из занона сохранения момента импульса относительно оси А: т(о„= тра+ Пе, где 1 =- ')з МР— момент инерпни стержня относительно той же оси. Так как о = 1щ то написанное уравнение дает т12 зт по=, ое. 1+тд ' М Зт е. Теперь надо решить, будут ли шарик и стержень после столкновения двигать я вместе или при дальнейшем движении они разойдутся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
