1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В момент, когда высота Ь максимальна или минимальна, опишем в вертикальной плоскости окружность с центром в точке подвеса О, проходящую через точку нахождения человека М (рис. 81). По известной геометрической теореме гз = А В. ВС, или га = (21 — й) Л. Поэтому в положениях, где й максимальна и минимальна, (21 — Л) йаа = сопз1. (37.4) Запишем соотношения (37.3) и (37.4) для этих положений, имея в виду, что максимуму 6 соотнетствует минимум а, и наоборот. Получим: пмакс+2н)«мин "мин+ аймака (21 Лани) Лминамаакс (21 Ланкс) 1«максамин ° Решая эти уравнения, получим а 2яймакс (21 Лмакс) (37,5) макс 21 (Л 1 1« ) 2йй„аа (ж — йман) 21 — (Ьм,к,+ Лини) ' При этом учтено, что в реальных условиях Ь < 1, так что величина (37.5) действительно максимальна, а (3?.6) — действительно минимальна.
Если лн,к, и Лиан пренебрежимо малы по сравнению с 1, то "*"макс = 28йианс амин =28ймик (37.7) (37.8) Когда балка лежала на двух опорах, на каждую из опор действовала сила а1а Р. При быстром удалении одной из опор сила, действующая на оставшуюся опору, скачкообразно уменьшается вдвое. Такое скачкообразное нзменение связано с идеализацией — балка и опора считаются абсолютно твердыми. Реальные балки и опоры деформируются. При учете этого обстоятельства нагрузка на опору Р будет меняться непрерывно. 19.
Гимнаст на перекладине выполняет большой оборот из стойки на руках, т. е. вращается, не сгибаясь, вокруг перекладины под действием собственного веса. Оценить приближенно наибольшую нагрузку Р на его руки, пренебрегая трением ладоней о перекладину. 4а'т 1 Ответ. Г= !+ — 'тя, где сп — масса, 1 — момент инерции чело- 1 века относительна перекладины, а — расстояние между осью вращения и центром масс человека.
Если при оценке момента инерции моделировать человека однородным стержнем, вращающиясся вокруг одного С 108 1гл. у МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 21. По внутренней поверхности конической воронки, стоящей вертикально, без трения скользит маленький шарик (рис. 82), В начальный момент шарик находился ва высоте йз, а скорость его ве была горизонтальна. Найти о„ если известно, что при дальнейшем движении шарик поднимается до высоты Ь, а затем начинает опускаться. Найти также скорость шарика в наивысшем положении е.
2ййз 255' О т в е т. оа = — ее = й+й, и+А„ 22. Тяжелая веревка (линейная плотность р) длины 5 перекинута через блок с моментом инерции и радиусом г. В начальный момент блок неподвижен, а больший из свешивающихся концов веревки имеет длину 1. Найти а угловую скорость вращения блока ю, когда веревка сода скользнет с нега, Веревка двигается по блоку без скольжения, трение в оси блока не учитывать. О т в е т. юе =,, (йз+ 4га — Р— (1. — 1 — пг)з!.
рд Рис. 82. 1 ! (ргь У к а з а н н е. Воспользоваться законом сохранения эвергии. 23. Метеорит ыассы т = 10"" т, двигавшийся со скоростью о = 50 кмус, ударился о Землю на широте 0 = — 60'. Вся его кинетическая энергия перешла в тепловую (внутреннюю) энергию, а сам он испарился. Какое максимальное влияние мог оказать удар такого метеорита на продолжительность суток? О т в е т. Максимальное изменение продолжительности суток АТ, вызван. ное ударом метеорита, определяется формулой АТ то)с соз 0 Т 2л! где Т = 86!64 с — продолжительность суток, )1 = 6400 км — радиус, М = =- 6 1Ом т — масса Земли, 1 — ее момент инерции. Если считать Землю однородным шаром, то 1 = Я)з М)1з (на самом деле из.за возрастания плотности к центру Земли момент инерции ее несколько меньше и составляет приблизительно 1= туэ МП'). В результате получится ЬТ1Т 2 1О з, ЬТ 2 1О ш с.
24. Оценить, с какой минимальной скоростью о нужно выпустить на экваторе Земли снаряд массы т = 1000 т, чтобы изменить продолжительность земных суток на о Т = 1 мин? О та е т. Наивыгоднейшим является выстрел в горизонтальном направле. нии в плоскости экватора. В этом случае с — о 5 тзсвТ4 25 тнкеТ4 с 18 пз!М (АТ)з 36пзМзРз (ухТ)з где с — скорость света в вакууме. Остальные обозначения такие же, как в предыдущей задаче. Относительно приближенных вычислений см. 3 22. 25. Пульсарами называются небесные объекты, посылающие импульсы радиоизлучевия, следующие друг за другом с высокостабильными периодами, которые для известных к настоящему времени пульсаров лежат в пределах примерно от 3 10 ' до 4 с. Согласно современным представлениям пульсары представляют собой вращающиеся нейтронные звезды, образовавшиеся в результате гравитационного сжатия.
Нейтронные звезды подобны гигантским атомным ядрам, построенным из одних только нейтронов. Платность вещества р в нейтронной звезде не однородна, но прн грубых оценках ее можно считать одной и той же по всему объему звезды и по порядку величины равной !О" гусмз. Оценить период вращения Т, с каким стало бй вращаться Солнце, если бы оно превратилось в нейтронную звезду. Пчотность вещества Солнца возрастает к его центру, а различные слон его вращаются с различными скоростями. При оценке этими обстоя- ЗАКОНЫ СОХРАНЕГГИЯ И СИММЕТРИЯ тельствами пренебречь и считать, что средняя плотность солнечного вещества р„ =- 1,41 г)см', а период вращения Солнца Т, = — 2,2 1О' с.
Ответ. Т=Т,) — ) *=1,3.10 а с. !)и) и '~р) 2В. Гладкий твердый стержень длины !а и массы М равномерно вращается с угловой скоростью юа вокруг неподвижной оси, проходящей через один из концов стержня перпендикулярно к его продольной оси. На стержень надет ша. рнк массы т. Вначале шарик находится на свободном конце стержня и вращается вместе с ним (упор, имеющийся на конце стержня, не позволяет шарику соскользнуть со стержня). В некоторый момент шарику сообщается скорость и, направленная вдоль стержня к оси вращения. Определить наименьшее расстояние 1, до которого приблизится шарик к оси вращения, и угловую скорость системы оз в этом положении.
В какую сторону будет изогнут стержень, когда шарик движется по направлению к оси вращения? Как изменится изгиб стержня, когда шарик, достигнув наименьшего удаления до оси, начнет двигаться в обратном направлении? г газ Ответ. ю А ше + 1 (- ! — 1„1! — Прн приближении шарика — М+ш) !гоп к оси вращения стержень будет нагибаться в сторону, противоположную вращению. Прн удалении шарика изгиб стержня изменится в обратную сторону. В 38. Законы сохранения и симметрия пространства и времени 1.
Закон сохранения энергии является следствием однородности времени, закон сохранения импульса — следствием однородности пространства, а закон сохранения момента импульса — следствием изотропии пространства. Такое утверждение встречается очень часто. Однако из-за своей краткости оно может привести к ошибочным представлениям. Можно подумать, что указанных свойств пространства и времени достаточно, чтобы вывести эти законы сохранения. А это неверно. Перечисленные законы сохранения являются следствиями второго закона Ньютона (или законов, ему эквивалентных), если его дополнить некоторыми утверждениями относительно действующих сил.
Так, при выводе законов сохранения импульса и момента импульса достаточно предположить, что силы подчиняются закону равенства действия и противодействия. Но вместо этого закона можно воспользоваться и другими положениями. И утверждение, приведенное в начале этого параграфа, надо понимать в том смысле, что перечисленные в нем законы сохранения можно получить из впюрого закона Ньюпюна, если к нему присоединить свойства симметрии пространства и времени, а именно: однородность пространства и времени, а также изотропию пространства. Впрочем, при выводе закона сохранения энергии надо ввести и некоторые более специальные предположения относительно характера действующих сил.
2. Прежде чем приводить вывод законов сохранения, использующий однородность и изотропию пространства, а также однород- момвнт количвствл двнжвння ~гл. ч ность времени, необходимо точно сформулировать, какой смысл вкладывается в эти свойства пространства и времени. Говорят часто, что однородность времени означает равноправие всех моментов времени. Однородность пространства означает, что в пространстве нет выделенных положений, все точки пространства равноправны.
Аналогично, изотропия пространства характеризуется отсутствием в нем выделенных направлений, все направления в пространстве эквивалентны. Но такие формулировки слишком неопределенны и при буквальном понимании просто неверны. Направление к центру Земли, например, резко отличается от всякого горизонтального направления. Для альпиниста положения его у подножья и на вершине Эльбруса отнюдь не эквивалентны. Тело на вершине горы, представленное самому себе, может скатиться вниз.
Но оно никогда не поднимется от подножья горы к ее вершине, если ему не сообщить надлежащей скорости. Точно так же для человека моменты времени, когда он молод, полон энергии н снл и когда он стар и находится на склоне лет, отнюдь не эквивалентны. Что же такое однородность времени, однородность и изотропия пространства? Однородность времени означает, что если в два любые момента времени все тела замкнутой системы поставить в совершенно одинаковые условия, то начиная с этих моментов все явления в ней будут протекать совершенно одинаково. Однородность пространства' означает, что если замкнутую систему тел перенести из одного места пространства в другое, поставив при этом все тела в ней в те же условия, в каких они находились в прежнем положении, то это не отразится на ходе всех последующих явлений.
В том же смысле надо понимать и изотропию пространства, только вместо переноса замкнутой системы надо говорить об ее повороте в пространстве на любой угол. Здесь необходимо сделать такое же замечание, что и в Э 15 в связи с принципом относительности Галилея.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
