1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Форма кривой полностью определяется амплитудой А и циклической частотой а. Однако ее положение зависит также от начальной фазы 6. По истечении времени Т = -'- (39.2) фаза получает приращение 2п, а колеблющаяся точка возвращается в свое исходное положение с сохранением начального направления движения. Время Т называется периодом колебания. Скорость колеблющейся точки найдется дифференцированием выражения (39.1) по времени.
Это дает Р=х= — ыА з1п(Ы+6). (39,3) Дифференцируя вторично, получаем ускорение а=в= — ы'А соз(в(+6), (39. 4) или, используя (39.1), а = — а'х. (39.5) Сила, действующая на материальную точку при гармоническом колебании, равна г =гпа= — та'х. (39.6) Оиа пропорциональна отклонению х и имеет противоположное направление. Она всегда направлена к положению равновесия. Такого рода силы часто возникают при малых смещениях материальной точки из положения равновесия.
$40. Гармонические колебания груза на пружине 1. Рассмотрим спиральную пружину, один конец которой закреплен, а к другому подвешено тело массы т (рис, 84). Пусть 1, — длина недеформированной пружины. Если пружину растянуть или сжать до длины 1, то возникнет сила Р, стремящаяся вернуть тело в положение равновесия.
При небольших растяжениях х = 1 — 1, справедлив закон Тука (1635 †17) — сила пропорциональна растяжению пружины: г = — кх. В этих условиях уравнение движения тела имеет вид тХ = — кх. (40. 1) ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Ггл. Рю Постоянная й называется козффициенпюм упругости илв хсесгпкосгпи пружины. Знак минус означает, что сила г" направлена в сторону, противоположную смещению х, т. е, к положению равновесия. При выводе уравнения (40.1) предполагалось, что никакие другие силы на тело не действуют.
Покажем, что тому же уравнению подчиняется движение тела, подвешенного на пружине в однород. ном поле тяжести. Обозначим в этом случае буквой Х удлинение пружины, т. е. разность Х = 1 — 1о. Пружина тянет груз вверх с силой йХ, сила тяжести — вниз. Уравнение движения имеет вид ГЛХ = — ЙХ+ тд'. Пусть Х, означает удлинение пружины в положении равновесия. Тогда — йХ, + тд = О. Исключая вес тд, получим ГЛХ = — й (Х вЂ” Х,). Введем обозначение х = Х вЂ” Х„тогда уравнение движения примет прежний вид (39.1).
Величина х по-прежнему означает смещение груза из положения равновесия. Однако положение равновесия смещается под действием силы тярас. З4, жести, Кроме того, при наличии тяжести меняется смысл величины — йх. Теперь она означает равнодействующую сил натяжения пружины и веса груза. Но все это не затрагивает математическую сторону колебательного процесса. Поэтому можно рассуждать так, как если бы силы тяжести совсем не было. Так мы и поступим.
2. Результирующая сила Р = — йх имеет такой же вид, что и сила в выражении (39.6). Если положить тГоо = й, то уравнение (40.1) перейдет в х+Го'х=О (40.3) и периодом Т = — "- = 2п ~' — -. 2п /Гп У' А (40.4) Период колебаний Т не зависит от амплитуды А. Это свойство называется изохронносгпью колебаний. Изохронность, однако, имеет (40.2) Это уравнение совпадает с уравнением (39.5). Функция (39.1) является решением такого уравнения при любых значениях постоянных А и 6.
Можно доказать, что это есть оби(ее решение, т. е. всякое решение уравнения (40.2) может быть представлено в виде (39.1). Различные решения отличаются друг от друга только значениями постоянных А и 6. (Доказательство приводится в конце этого параграфа.) Из изложенного следует, что груз на пружине будет совершать гармонические колебания с круговой частотой 4 св! ГАРЯОниЧеские кОлеБАния ГРузА нА НРужине Ют место до тех пор, пока справедлив закон Гука.
При больших растяжениях закон Гука нарушается. Тогда и колебания перестают быть изохронными, т. е. появляется зависимость периода колебаний от амплитуды. Амплитуда А и начальная фаза 6 не могут быть определены из дифференциального уравнения (40.2). Эти постоянные определяются начальными условиями, например начальными значениями смещения х и скорости х. Дифференциальное уравнение (40.2) справедливо при любых начальных условиях.
Оно описывает весь комплекс колебаний, которые может совершать рассматриваемая система. Конкретное колебание выделяется из этого комплекса заданием постоянных А и 6. 3. Потенциальная и кинетическая энергии тела даются выражениями 1 1 4 1 (40.5) Каждая из них меняется во времени. Однако их сумма Е во времени должна оставаться постоянной: Е = — ях'+ — тх' = сопИ. 1 1 2 2 Если воспользоваться выражением (39.1), то из формул (40.5) найдем ЕП4т — — --йА'созе(со1+6), Е„„„= — т4о'А'з!и'(Ы+6), 1 1 или в силу соотношения (40.3) Е-.
= — йА' Ип'(ю(+ 6). Эти формулы можно также записать в виде Е„„= — /гА' [1+ соз 2(4А(+ 6)), Е„„„= —, йА'11 — соз 2(4о(+ 6)). Они показывают, что кинетическая и потенции ьная энергии в отдельности не остаются постоянными, а совершают гармонические колебания вокруг общего среднего значения 4/ йА' с удвоенной круговой часпютой 24о. Когда кинетическая энергия проходит через максимум, потенциальная обращается в нуль и обратно. Однако полная энергия Е = — Е„„„=, 'Е„„остается постоянной и связана с амплитудой А соотношением Е = 2 ЕА'.
(40.7) Приведенное простое вычисление вместе с тем показывает, что выражение (39.1) является решением дифференциального уравнения (40.5) при условии, что частота 4о определяется формулой (40.3), ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ !ГЛ. У1 208 а амплитуда А — формулой (40.7). Таким образом, при заданной полной энергии Е постоянная А не произвольна. Имеется лишь одна произвольная постоянная, определяемая начальными условиями, а именно начальная фаза 6.
Для ее определения достаточно знать, например, либо начальное смещение, либо начальную скорость. Наличие в решении только одной произвольной постоянной связано с тем, что уравнение (40.6) — первого порядка по времени, в отличие от (40,2), которое является уравнением второго порядка. Впрочем, на энергию в уравнении (40.6) можно смотреть как на параметр, который может принимать любые положительные значения, определяющиеся начальными условиями.
Тогда уравнение (40.6) становится полностью эквивалентным уравнению (40.2). 4. Все изложенное здесь применимо к гармоническим колебаниям любых механических систем с одной степенью свободы. 1'(гновенное положение механической системы с одной степенью свободы может быть определено с помощью какой-либо одной величины д, называемой обобщенной координатой, например угла поворота, смещения вдоль некоторой линии и пр. Производная 1) обобщенной координаты по времени называется обобщенной скоростью. При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы за исходное удобнее брать не уравнение движения Ньютона, а уравнение энергии. Его обычно легче составлять.
Кроме того, оно в известном смысле проще уравнения Ньютона, так как является дифференциальным уравнением первого, а не второго порядка по времени. Допустим, что механическая система такова, что ее потенциальная и кинетическая энергии выражаются формулами вида а Ееее 2 Ч Екаа "2 Ч (40.8) где и и 6 — положительные постоянные (параметры системы). Тогда закон сохранения энергии приводит к уравнению Е = - д'+ 6-4'=мпз1. 2 2 (40.9) Оно отличается от уравнения (40.6) только обозначениями, что при математическом рассмотрении ие имеет значения. Из математической тождественности уравнений (40.6) и (40.9) следует, что и общие решения их одинаковы.
Поэтому, если уравнение энергии приводится к виду (40.9), то а = уе сон (ше + 6), (40, 1О) т. е. Обобщенная координата д совершает гармоническое колебание с круговой частотой (40. 11) 5. В заключение покажем, как можно найти общее решение днфференци. ального уравнения (40.2). Из етого уравнения прежде всего вытекает уравнение ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 4 41] эяергии (40.6).
Поэтому можно сразу исходить из уравнения (40.6). Используя соотношение (40.3), запишем это уравнение в виде оззхз+ хз = сопз1. (40.12) Левая часть этого соотношения существенно положительна, так как она равна сумме квадратов. Поэтому правую часть можно обозначить юеА2, введя тем' самым новую постоянную А. Тогда хз = юз (А- '— ха). (40. 13) Так как хт =- О, то х ( А.
Поэтол]у можно положить х=Асоз6, (40. 14) где 8 — неизвестная функция времени Д Подставляя это выражение в уравнение (40.13), получим Хз=юзА'(1 — сом 8)=юзА2 Мп28, откуда х = .» ю А мп 8. С другой стороны, дифференцируя выражение (40.14) по времени, находим х= — 8Аяп8. Сравнение полученных выражений для х дает 8 = -1-ю, откуда 8=-~- ют+6, где 6 — произвольная постоянная. Таким образом, х= А осе(2» сот+6).
Полученные выражения для ж х, =- А соз (ю1+ 6) и х, = А соз ( — ю(+. 6) = =- А соз (ют — 6) можно обьединйть н одно, так как 6 — произвольная постоянная. Ее можно во втором выражении переобозначить, заменив на — 6. Итак, в общем случае к=А соз (ФГ+6), что совпадает с выражением (39.!). $41. Физический маятник 1. Физическим маятником называется твердое тело, которое может качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Точка пересечения ее А с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс маятника, называется точкой подвеси маятника (рис. 85).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
