1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 53
Текст из файла (страница 53)
2!+Л 21+Л 2 ' Прн малых колебаниях можно положить гйп (ф12) = ф12. Кроме того, Л 21, и величиной Л в знаменателе можно пренебречь. В этом приближении аЬ, тра Ь ф Еот= ф ° 21 ' " 21 Т=2п з/ т" 11 уаЬ' (42.1) Период налебаний пропорционален квадратному корню из момента инерции и обратно пропорционален нвадратному корню из массы системы, Возьмем в качестве тела В0 металлический стержень. Выведем его из положения равно. весна и заставим совершать крутильиые колебания. Оии будут сравнительно медленными.
Прикрепнм затем в точке 0' тяжелый груз и снова заставим систему колебаться. Колебания станут значительно более быстрыми. Дело в том, что груз прикреплен на осн вращения, а потому он, значительно увеличивая массу системы, практически невлияетна ее момент инерции. Уменьшение периода колебаний можно объяснить также следующим образам. В положение равновесия система возвращается пад действием горизонтальных составляющих сил натяжения нитей.
Подвешивая груз, мы сильно увеличиваем натяжение нитей, а момент инерции увеличивается незначительно. Зто и приводит к тому, что колебания становятся более быстрыми. 2. Формулой (42.!) определяется также период колебаний трифилярнага ладвгса (трифиляра). Он схематически изображен на рис. 90. Точки подвеса А, С и М расположены на окружности раднуса а, точки В, !), Ж вЂ” на окружности радиуса Ь. Нижний диск может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной аси 00'. Вывод формулы (42.П применим без всяких изменений и к трифилярному поднесу.
Эта видно уже нз тога, что при выводе было использовано Таким образам, потенциальная и кинетическая энергии приводятся к виду (40.9), причем а = —, 0 =: !. Следовательно, колебания системы будут тйаЬ гармоническими с периодом 215 вишилярныи и трищиляпныи поцвксы з 42] Затем на нижний диск трифиляра кладется тело массы т, момент инерции 7 ноторого требуется измерить.
Пусть Т вЂ” период крутильных колебаний нагруженного трифнляра. Тогда момент н ерции системы относительно оси 00' будет С Т+ у ("'+ щз) лоб Тч 4лн Вычитая отсюда предыдущее выражение, находим искомый момент инерции ). 3. Укажем другой метод измерения моментов инерции, который во многих случаях является более предпочтительным. Подвесим тело на стальной праволоке, чтобы оно могло совершать крутильныс колебания вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью проволоки (рнс. 91). Прн повороте тела на угол ф проволока закручивается, и возникает момент сил М, стремящийся вернуть тело Рис. 90.
Рис. 91. в положение равновесия. Опыт показывает, что момент М в довольно широких пределах пропорционален углу ф: М =- — )ф, где ) — постоянная для данной проволоки величина, называемая ее модулем кручения. Поэюму Тф= — )ф. Зто уравнение. математически тождественно уравнению (40.1). Значит, тело будет совершать гармонические крутнльные колебания с периодом /Г Т=2л у У ) (42.2) Сняв первое тело, подвесим на той же проволоке другое тело с моментом ивер.
ции и. Тогда-период колебаний будет Т'=2л ~/ - Гуж Исключая неизвестный модуль кручения ), найдем Если адин из моментов инерции, например ), известен, то по этой формуле может быть вычислен момент инерции 7' другого тела. Момент инерции ! можно вычислить теоретически по геометрическим размерам и массе тела. Для этого надо взять тело правильной геометрической формы, например цилиндр или шар. Формула (42.2) может быть использована также для экспериментального апре- деления модуля кручения проволоки. условие постоянства длины только одной нити АВ. Постоянство длины другой нити СО при этом условии выполняется автоматвчески. Трифилярный поднес дает удобный метод измерения моментов инерции тел. Сначала измеряется период колебаний Т, венагруженного трифиляра, По этому периоду вычисляется его момент инерции глзяпп Т, 4пн 216 (гл.
Уг ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ЗАДАЧИ !. Материальная точка движетсн в поле тяжести по хорде круга без на. чальной скорости (рис. 92). Показать, что время ее движения из точки А в нижнее положение В не зависит от положения точки А на окружности. (Этот факт был использован Галилеем для установления законов малых колебаний математического маятника. Для нахождения периода колебаний маятника Галилей заменил малую дугу онружности АОВ, по которой движетея материальная точка, хордой АВ). Вычислить период колебаний маятника в этом приближении и убедиться, что оно приводит к правильной зависимости периода колебаний от длины маятника 1 и ускорения силы тяжести 3. Сравнить результат с правильной формулой (41.3).
Ответ. Т = 8 ~ 113. 2. Через неподвижный блок с моментом инерции 1 (рнс. 93) и радиусом г перекинута нить, к одному концу которой подвешен груз массы ль Другой конец Рис. 93. Рнс. 92. Рис. 94. ннтн привязан к пружине с закрепленным нижним концом. Вычислить период колебаний грува, если коэффициент упругости пружины равен й, а нить не может скользить по поверхности блока. I 11гз+ги Ответ. Т =2п 1ГГ 3. Физический маятник представляет собой однородный стержень длины 1, подвешенный за один из его концов.
Определить период колебаний такого маятника. I 21 О т в е т. Т =- 2п 1г У 33. 4. Тело вращения радиуса а с моментом инерции 1 (относительно геометрической оси) и массой т катается без скольжения по внутренней поверхности цилиндра радиуса В, совершая малые колебания окало положения равновесия (рис. 94). Найти период этих колебаний. Р е ш е н и е. Рассматривая движение тела нак вращение вокруг мгновенной оси *) с угловой сноростью ы, напишем для скорости его центра и = ыа, Ту жс скорость можно представить а виде о =- ( — а)ф. Приравнивая оба выражения, находим *) Определение мгновенной осн см.
в 3 45. 217 БиФиляРный и триФилярный НОдвесы Кинетическая энергия по теореме Кенига К= — ыэ+ — ()7-а)зфв=-- т+ —, !()7 — а)ефА 2 2 2 . 2~ пзу Потенциальная же энергия (у=тп(17 — а) (1 — сов ~р) = --(Й вЂ” а) фз. лш 2 Применяя общий метод, изложенный в 9 40, находим Т=2п ~// ( 1+ — ) — .
В частности, для сплошного цилиндра и сплошного шара т=2п в/ — —, Т=2п 1/ / З)7 — а -/7(7 — а 2 и ' 'г/ 5 и 5. На горизонтальной плоскости лежит цилиндр с моментом инерции (относительно продольной геометрической оси), массой т и радиусом г. К оси цилиндра прикреплены дне одинаковые горизонтально расположенные спираль- ныг пружины, другие концы которых закреплены в стене (рчс.
95, вид сверху). Рис. 96. Рис. 95. Коэффициент упругости каждой пружины равен й, пружины могут работать как на растяжепве, так и на сжатие. Найти период малых колебаний цилиндра, которые воэвикнут, если вывести его из положения равновесия и дать воэможность кататься без скольжения по горизонтальной плоскости. 2п /1+ тге О т в е т. Т= — 1Г/ —. Для сплошного цилиндра Т =и)/Зтуй.
'г/ 2й б. Однородная квадратная плита подвешена за свои углы к потолку зала на четырех параллельных веревках, длина каждой из которых равна 1. Определить период малых крутнльных колебаний плиты, которые возникнут, если повернуть ее на малый угол вокруг вертикальной оси. /! О т в е т. Т = 2п 1/ )/ Зп В более общем случае, когда плита не однородна, но центр масс ее совпадает с геоыетрическнм центром плитьц где ! — момент инерции плиты относительно вертикальной оси, проходящей через ее центр, а а — длина одной из сторон плиты, 7. Три однородных стержня длины ! каждый соединены короткими нитями, как указано на рис. 96. Нижний стержень поворачивают на малый угол вокруг 2!8 (ГЛ, Ц! ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ вертикальной асн, проходящей через центр системы, и отпускают. Найти период возникших при этом малых колебаний, если массы стержней одинаковы.
. 7-Х Ответ, Т=2л 17 28' 8. Шарик массы т подвешен на двух последовательно соединенных пружинках с коэффициентами упругости (гг и ~ (рис, 97). Определить период его вертикальных колебаний .Г Ответ. Т=2н ~7 т( — + — ). У к а з а н и е. Показать, что при растяжениях и сжатиях пружины ведут себя как одна пружина с коэффициентом упругости, определяемым соотношением 1 1 1 — = — + —. А=А, Фэ аг 9.
Найти период крутильных колебаний диска, плотна насаженного иа составной стержень, состоящий из двух различных последовательно соединенных стержней (рис. 98). Верхний нонец А стержня неподвижно закреплен. Если бы диск был насажен только на первый стержень, то период колебаний был бы равен Т,. Если бы он был насажен только на второй стержень, то период колебаний оказался бы равным Т,. О т в е т. Т = ггТ-, '+ Т;;. 10. Найти период малых колебаний физического маятника массы т, к центру масс С которого прикреплена горизонтальная спиральная пружина с коэффициентом упругости А. Другой конец пружины закреплен в неподвижной стенке Рис. 98.
Рис. 99. Рнс. !00. (рис. 99). Момент инерции маятника относительно точки гюдвеса равен 7, расстоявие между точкой подвеса и центрам масс маятника равна а. В положении равновесия пружина не деформирована. ! От вет. Т=2я ~/ шла + Аа' 11. Колебательная система состоит из однородного стержня длины!и массы т, который может вращаться вокруг горизонтальной оси О, проходящей через его конец и перпендикулярной к продольной оси стержня (рис.
!00). Другой конец стержня подвешен на пружине с коэффициентом упругости л. Расстояние между центром масс стержня н осью вращении СО = а. Момент инерции стержня огно. сительно асн О равен !. Найти удлинение пружины хз (по сравнению с ее длиной в недеформнрованном состоянии) а положении равновесна, если в этом положении БИФИЛЯРНЫЙ И ТРИФИЛЯРНЫИ ПОДВЕСЫ 219 стержень гаризонтален. Определить также период малых колебаний стержня около положенвя равновесия. Ответ. ха= —, Т=2л ~ шйп Г! й( ' у' йГэ. 12.
К иенцу однородного стержня длины 1 и массы т прикреплена короткая упругая пластинка. Пластинку зажимают в тисках один раз так, что стер. звень оказывается внизу, а другой раэ — вверху (рис. 101). Определить отношение периодов малых колебаний стержня в этих случаях, Момент упругих сил пластинни пропорционален углу отклонения стержня от положении равновесия, причем коэффициент пропорциональности равен й.
Тд .з Г2й — тй! Ответ. Т ~г 2й+тй(' 13. Два незакрепленных шарика с массами ш, и ш соединены друг с другом спиральной пружинкой с козффициентом упругости А. Определить период колсбаний шариков относительно центра масс системы, которые возниннут при растяжении пружинки. Ответ, Т=2л (т,+шз) й' Рис. 101. 14. Два диска с моментами инерции 1з и !з наса- жены на общую осгь проходящую через нх центры. Осью является стержень с модулем кручения г'. Определить период крутильных колебаний одного диска относительно другого в предположении, что система свободна. Массой стержня пренебречь. е Ответ. Т=2л у 15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
