1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Положение тела в каждый момент времени можно характеризовать углом отклонения его из положения равновесия 1р. Угол 1р играет роль обобщенной координаты д. Кинегическая энергия качающегося физического маятника определяется выражением '2 1 ЕК = 211р где ! — момент инерции маятника относительно оси А.
Потенциальная энергия равна Е„„ = тд)2, где Ь вЂ” высота поднятия 2Ю 1гл, ч1 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ центра масс С над его самым нижним положением. Обозначим а расстояние между центром масс С и точкой подвеса Л. Тогда Е„= тра (1 — соз ср) = 2тйа з )п' -2-. Таким образом, для малых колебаний потенциальная и кинетическая энергии приводятся к виду (40.8), причем сс = тра, Р = !. Отсюда следует, что малые колебания физического маятника будут приблизительно гармоническими с циклической частотой (41.
1) и периодом Т=-2п ~/ —. (41.2) Если период колебаний не зависит от амплитуды, то такие колебания называются изохронными. Мы видим, что малые колебаРес. 85. ния 4изического маятника изохронны. Колебания приближенно изохроины, когда угловая амплитуда колебаний не превышает нескольких градусов. При ббльших амплитудах изохронность нарушается. На свойстве изохронности колебаний маятника основано его применение в часах. Частным случаем физического маятника является математический маятник. Так называется маятник, вся масса которого практически сосредоточена в одной точке — в центре масс маятника С.
Примером математического маятника может служить шарик, подвешенный на длинной нити. В случае математического маятника а = С 1 = тд, где 1 — длина маятника, и формула (41.2) переходит в Т=2п1! —. ',~я (4 1.3) Сравнивая формулы (41.2) и (41.3), заключаем, что саизический маятник колеблется так же, как математический маятник с длиной (41.4) которая называется приведенной длиной физического маятника.
Мы доказали это утверждение только для малых колебаний маятнииов. Но оно справедливо и для колебаний с конечными амплитудами, В случае малых колебаний синус угла ~р(2 можно приближенно заменить самим углом. В этом приближении ыеа 2П ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК когда колебания не изохронны. Требуется только, чтобы угловые амплитуды физического и математического маятников были одинаковы.
Доказательство этого мы предоставляем читателю. 2. Отложим от точки подвеса А вдоль прямой АС отрезок АА', длина которого равна приведенной длине физического маятника 1 (см. рнс. 85). Точка А' называется центром качания, Центр «ачания можно определить как математическую точку, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы период его колебаний остался беэ изменений. По теореме Гюигенса — Штейнера ! = !с+ та', где г'с — момент инерции маятника относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С. Подставив это выражение в формулу (41.4), придадим ей вид 1= а+ —.
зс пю' (41.5) пю' ' Но а' = 1 — а, или в силу соотношения (41.5) а' = 1с/(та). Подк с ставив это значение в предыдущую формулу, получим р = — +а. шп Таким образом, У = 1, т. е. приведенная длина, а с ней и период колебаний физического маятника остались без изменения. Это и доказывает теорему Гюйгенса.
3. Приведем другое доказательство теоремы Гюйгенса, глубже раскрывающее ее содержание. Будем перемещать точку подвеса маятника вдоль одной и той же прямей, проходящей через центр масс С. Ппсмотрим, кая при этом будет меняться его период колебаний, Когда точка подвеса А бесконечно удалена от С, маятник ведет себя как математический. Его период колебаний бесконечно велик, При прибчнжении точки ппдвеса А к центру масс С период колебаний сначала убывает. Когда точка подвеса совместится с С,маятник при любом отклонении будет в безразличном равновесии. Эзо значит, что его период колебаний снова становится бесконечно большим.
Поэтому по мере приближения точки А к С убывание периода должно смениться возрастанием. Положению точки подвеса, где зтв происходит, соответствует минимальный период колебаний. Когда точка подвеса Отсюда следует, во-первых, что 1) а, т. е. точка подвеса А и центр качания А' лежат по разные стороны от центра масс С и, во-вторых, что всем точкам подвеса, одинаково удаленным от центра масс маятника, соответствует одна и та же приведенная длина 1, а следовательно, один и тот же период колебаний Т. Точка подвеса и центр качания являются взаимными или сопряженными точками в следующем смысле.
Если ма тник подвесить за центр качания А', то его период не изменится и прежняя точка подвеса А сделается новым центром качания. Это положение называется теоремой Гюйгенса, Для ее доказательства обозначим а' длину отрезка А'С и допустим, что маятник подвешен за точку А'. Тогда его приведенная длина будет РА2 (ГЛ. У! ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 1С аз — )а+ — = О, >и (41.6) Фиксированному значению приведенной длины 1о соответствует на рис. 86 горизонтальная прямая 1= 1о. Точки пересечения ее с кривой определяют по. ложенне точек подвеса физического маятника, при которых ег> приведенная длина равна заданному значению 1о.
Вообще говоря, таких точек пересечения четыре. Две из них расположены по одну, две остальные — по другую сторону от центра масс С. Их положение легко найти нз квадратного уравнения 'С ао — 1оа+-- =О. (41.7) т о Если 1, > 2ф 1,/т, это уравнение имеет два вещественных по1р л' ложительных корня ал н аз, причем а>+аз — — 1о. (41.8) В этом случае по одну н ту же сторону от центра масс С имеются две точки подвеса А, и Аз (рис, 87), которым соответствует одна и та же приведенная длина 1о.
По другую сторону от центра масс С лежит вторая пара симл>етрично расположенных точек подвеса А; и АЕ характеризукнцаяся той же приведенной длиной 1о. Если 1о = — 2)' 1г.)т, корни уравнения (41.7) совпадают, т. е. обе точки подвеса по каждую сторону от центра масс сливаются в одну. Если 1о < 2)>Т~7т, корни уравнения (41.7) — мнимые. Не сушествует точен подвеса, для которых приведенная длина была бы меньше 2)> 1С)т. Теорема Гюйгенса теперь становится очевидной, 1(ействительно, из соотношения (4!.8) следует, что расстояние между точками А> и А.', а также между точками А; н А, равно приведенной длине маятника 1. Если одну из точек каждой пары принять за точку подвеса, то вторая будет центром качания. Но это и есть '!г Рис. 87 переходит через точку С на другую сторону прямой АА', период колебзний, перейдя через бесконечность, начинает уменьшаться.
При этом двум положениям точки подвеса, находящимся по разные стороны от С на одинаковых расстояниях, соответствуют равные периоды колебаний. Вместо периода колебаний мож- Жр но пользоваться приведенной дли- Т ной маятника 1, однозвачно определающей его период колебаний.
При удалении точки подвеса в бес1р конечность или при приближении ее к центру масс С приведенная длина 1 стремится к бесконечности и достигает минимума в каком-то > аг Р промежуточном положении. ГрафиРис. 86. чески это представлено кривой на рис. 86. На оси абсцисс отложена величина а, на оси ординат — приведенная длина 1 маятника. Кривая состоит из двух ветвей, симметрично расположенных относительно оси ординат. Одна ветвь соответствует случаю, когда точка подвеса расположена по одну, а вторая — по другую сторону от центра масс С, Аналитически кривая изображается уравнением (41.5), которое можно переписать в виде БИФИЛЯРНЫй И ТРИФИЛЯРНЫЙ ПОДВБСЫ 2(З теорема Гюйгеьса. Наше рассмотрение показывает также, что точка подвеси ц центр качания находился ло разные стороны от н(гнтро масс и расположены асимметрично относительно него. Исключение составляет только случай, когда 1,=2)Лс(т. Тогда глочки А, иА, сливаются в одну точку.
Сливаюлкя также и точки А; и А:. В этом исключитгльнол~ случае точка лодггса и центр качания расположены симметрично отногшпгльно центра ласс. 2) 4. Теорема Гюйгенса используется в оборотном маятнике для точных измерений ускорения А свободного падения. Существуют разнообразные конструкции оборотного маятника. На рис. 88 схематически изображена одна из них.
'Маятник С состоит из стального стержня, длина которого обычно несколько больше метра. На нем жестко за- В креплены опорные стальные призмы А и А' и сталь- л ная чечевица В, находящаяся между ними. Другая стальная чечевица О находится на одном из концов стержня (не между призмами), она может переме- (г щаться по стержню и закрепляться в нужном положении. Перемещением этой чечевицы достигают совпадения периодов колебаний маятника, когда точками подвеса являются ребра опорных призм А и А'. Эти ребра закреплены асимметрично относительно центра масс С.
Поэтому при совпадении периодов колебаний расстояние между ними дает приведенную длину физического маятника 1. Измерив период колебаний Т, можно вычислить д по формуле (41.3). й 42. Бифнлярный и трифилярный подвесы К Найдем период мзлых колебаний бяфнлярного лодвгса. Так называется устройство, состоящее из двух нитей АВ и СО (рис. 89) одинаковой длины, на которых подвешено некоторое тело В0. Если тело повернуть вокруг вертикальной осн 00', то оно начнет совершать крутильные колебания вокруг этой оси.
Бифилярный подвес есть С а С р А система с одной степенью свободы, В качестве координаты, определяюшей ее мгновенное положение, удобно взять угол поворота гр тела В0 вокруг оси 00', отсчитывая этот угол от положения равновесия. Кинетическая энергия системы равна Е„ч„ =- = т1з 1ЧР, где 1 — момент инерции ее относительно оси 00'. Потенциальная энергия равна Еч„= туа, где Ь вЂ” высота поднятия тела В0, отсчитываемая 1 от его нижнего положения. Пусть 1 означает длину 00' в положении равновесия, 2а — расстоя- В д ние между точками падвеса С и А, 2Ь вЂ” расстояние ОВ.
Предполагается, что система симметрична, С' В гак что точки 0 и 0' являются серединами отрезков Рис. 89. СА и 0В. Высота Ь найдется из условия нерастя. жимасти нитей АВ и СО. Введем прямоугольную систему коардияат с началом в точке О, ось Х направим вдоль прямой ОА, ось 2 — вниз вдоль прямой 00', (гл. Уг ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ось г' — перпендикулярна к ним. Координаты точки А все время остаются по. стоянными и равны х ! — — а, у4=0, гА=О. Каординапг точки В в положении равновесна равны хвь —— Ь, ул' = О, гв' — — 1. При повороте системы на угол ф координаты той же точки становятся равными хв — — Ьссиф, у, =Ь з1п ф, гв=-1 — Л. Условие постоянства длины нити АВ можно записать в виде (хв «А)з+(Ув УА)з+(гв гл)з (хв хАА)з+(Ув УА) +(гв гл)з или (Ь соз ф — а)э+ Ь' мпз ф+ (! — Л)з = (Ь вЂ” а)т+1з. После простых преобразований отсюда находим 2аЬ (! — соз ф) 4аЬ . ф Л= = — мп' — -.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
