1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Приращение кинетической С В энергии шарика а результате однократного отражения от движущегося поршня будет поэтому равно О ЛК=-- [( — о+2и)з — оз! = — 2т (ио — из). 2 Разделав зто соотношение на К = г(з шоз и пренебрегая квадратом малой скорости и, получим — = — 4 —. К о' В 228 глпмоничвскив колввлнив (гл. уг 6. В то р о й п р имер. Учтем теперь наличие силы тяжести.
Пусть оз— скорость отразившегося шара в верхнем положении (рис. 107). На расстоянии х его скорость о определится соотношением от = о,'+ 2дх. Интеграл (43,11) в рассматриваемом случае будет ,1 =2т~ )(о,э+2лх дх, между поршнем и дном цилиндра. Интеграл надо вычислить в предположении, что поршень эапргпэен, эп. е, при постоянном 1. Вычисление дает 1 .. (от+ 2п() ( оэ — (оэ оэ) 2т аз 2т Зй где 1 — расстояние (йТ 1 оз о,'=оз — ( — +2~ и=от — 2- и, так как Т оз = от + и 2 ' На уровне АВ скорость шара будет о," = оз — 2и, а около днз цилиндра о.'„=о', +221=(оз — 2иР+221 =от — 4о,и, если пренебречь квадратом и.
Извлекая квадратный корень и снова пренебрегая из, получим 2оэ о', = оз — — и. аз С той же степенью точности оР=о.,' — бого и, о," = о', — бо, с,и. Эначнт, о.,'" — о," =-о) — о', или,(' — 1 = О, причем зто соотношение верно с точ. настыа до членов порядка из — Р. Разделив его на время Т и отождествив част ,1' — ( дл' ное ,, с производной -- †, получим — = А1э, сУ д( ш г р где о, — скорость шара в нижвем положении.
Таким образом, надо докззвттч чта разность о,' — о', является аднабатнческнм инваризнтом. Для этого вычйслим значение скоростей оз и оз спустя период Т. Обозначим эти значения о', и о,' соответственно. Разумеется, вычисление надо по-прежнему провести для неподвижного поршня, э "э" " " " "" э *'л.ш,э э ы Рнс. 107. дет это расстояние за время (эТ = иТ!о, (если пренебречь величинами более высокого порядка малости). При этом под действием силы тяжести ега скорость уменьшится и на й(зТ=р — Т. Кроме того, при отражении от движущегося поршня эта сно- п, рость дополнительно уменьшится нз 2и.
Поэтому $431 АДИАВАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ где А от 1 не зависит. Имея в виду, что нас интересуют изменения величины Х при конечных изменениях 1, преобразуем зто соотношение, введя вместо дифференциала времени дифференциал длины й1 = 1йг. Тогда получится — = А1, йл' й1 или в пределе при 1 -л О йл' — =О. й1 Следовательно, У = сопМ, как бы велики ни были изменения параметра 1, т. е, величина / является адиабатичаскил инварионтом, Такая адиабатическая инва- йУ риантность получилась благодаря тому, что производная — оказалась прой1 йл' порциональной второй, а не первой степени 1 . Если бы — была пропорциойг нальна первой степени производной 1, то адиабатической инвариантности л* не получилось бы.
ЗАДА Ч И 1. Шарик математического маятника нли шарим, прикрепленный к пружине с заданным коэффициентом упругости, медленно испаряется (система с переменной массой). Будет ли величина ЕТ адиабатическим инварнантом и почему) О т в е т. 11ет. 2. Шарику массы т, надетому нв тонкую стальную спицу, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с т, сообщена продольная скорость в направлении к точке закрепления спицы, а также скорость в перпендикулярном направлении. Предполагая, что за период колебания шарика его смещение вдоль спицы мало по сравнению с ее длиной н пренебрегая трением, определить харантер последующего движения шарика.
Р е ш е н не. Если о) — поперечная скорость шарипа, то величина о) Т является адизбатическим инвариантом. Период Т пропорционален расстоянию 1 шарика от точки закрепления спицы (см. задачу 20 к 5 42). Поэтому адиабатическим инвариантом будет также А = о л 1. Кроме того, движение шарика подчиняется закону сохранения энергии, который требует, чтобы полная скорость шарика о сохранялась по абсолютной величине. Если о, — скорость шарика вдоль спицы, то оз = о- '+ о л = салай Таким образом, величина А = (оз — и' )1 и сеть адиабатический инвариант. Па расстоянии 1л, при котором оЧл = А, продольная скорость г, обратится в нуль. Поэтому шарик не может подойти к точке закрепления ближе, чем иа расстояние 1„.
Достигнув положения 1 = 1„он должен отразиться. ГЛАВА 7 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА В 44. Твердое тело в механике. Уравнения движения и равновесия твердого тела 1. В двух предыдущих главах уже говорилось о законах движения твердого тела и их применениях к некоторым простейшим движениям. В этой главе будет продолжено изучение избранных вопросов механики твердого тела. Напомним, что твердым телом в механике называют неизменяемую систему материальных точек, т.
е. такую идеализированную систему, при любых движениях которой взаимные расстояния между материальными точками системы остаются неизменными. Здесь, как и вообще в классической механике, под материальными точками понимают не атомы или молекулы, а достаточно малые макроскопические части, на которые мысленно можно разделить рассматриваемую механическую систему. С атомистической точки зрения силы взаимодействия между материальными точками твердого тела являются силами электрическими.
Но атомистический подход чужд феноменологической механике твердого тела. Последняя рассматривает твердое тело как сплошную среду, между различными элементами которой действуют внутренние силы в виде нормальных и касательных напряжений. Причиной их феноменологическая механика считает деформации тел. Если в теле совсем нет деформаций, то не может быть и внутренних напряжений.
Однако если деформации, возникающие под действием внешних сил, малы и сами по себе нас не интересуют, то в ряде случаев от них можно отвлечься. Таким путем мы приходим к идеализированной модели тела, совершенно не способного деформироваться„хотя под действием внешних сил в нем и могут возникать внутренние натяжения и давления. Это и есть идеально твердое тело. Допустима или нет такая, как и всякая другая, идеализация — это определяется не только свойствами реальных тел, но и содержанием тех вопросов, на которые надо получить ответ. 2.
Твердое тело является мехапичсской системой с шестью степенями свободы (сы. ~ 8). Для описания его движения требуется шесть независимых числовых уравнений. Вместо них можно взять два независимых векторных уравнения. Таковыми являются $441 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА КЗ! уравнение движения центра масс дт ~веем (44.!) и уравнение моментов И 1Г = Менем (44.2) Это — необходимые ус.ювия равновесия твердого тела. Но они не являются достаточными. При их выполнении центр масс может еще двигаться прямолинейно и равномерно с произвольной ско.
ростью, а само тело может вращаться с сохранением вращательного импульса. Так как при равновесии результирующая внешних сил д.,„; равна нулю, то момент этих сил М,в, в состоянии равновесия не зависит от положения неподвижного начала О, относительно которого он берется [см. формулу (30.7)). Поэтому при решении любой задачи на равновесие твердого тела начало 0 можно выбирать произвольно, что можно использовать для упрощении самого решения. 4.
Не всегда можно заменять реальные твердые тела идеализированными абсолютно твердыми моделями даже в тех случаях, когда деформации препебре. жнмо малы. В качестве примера рассмотрим задачу о равновесии твердой балки. Пусть однородная балка веса Р лежат на двух опорак 1 н У (рнс. 1нв). Центр Уравнение моментов можно брать относительно произвольного неподвижного начала или относительно центра масс твердого тела. Можно также брать произвольно движущееся начало, если только скорость его в любой момент времени параллельна скорости центра масс (см. 5 37).
При ограничении свободы движения число независимых уравнений, требующихся для описания движения твердого тела, уменьшается. Оно всегда равно числу степеней свободы. В уравнения (44.1) н (44.2) входят только внешние силы. Внутренние силы не влияют на движение центра масс и не могут изменить момент импульса тела. Они могут изменять только взаимное расположение и скорости материальных точек тела. Но для абсолютно твердого тела такие изменения невозможны.
Таким образом, внутренние силы не влияют на движение твердого тела. Если же сила внешняя, то точку приложения ее можно произвольно перемещать вдоль линии, по которой она действуег. Действительно, при таком перемещении не меняются результирующая внешних сил д.,„, и их момент М,н,, т. е. уравнения движения (44.1) и (44.2) остаются без изменения. Подобное перемещение не допустимо в случае деформируемого тела, так как оно приводит к перераспределению деформаций и изменению внутренних движений тела.
3. Если твердое тело покоится, то уравнения (44.1) и (44.2) переходят в д,„, = О, М,н, = О. (44.3) 232 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА (ГЛ. УН масс балки находится посередине между опорами. Найдем силы Р, и Ре, с которымн балка давит на опоры. Механика твердого тела дает два условия равновесия: 1'а)=Р. - —, 2' Р,+Р,=Р, (44.4) где 1 — расстояние между опорами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
