1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Когда момент внешних снл относительно какой-либо неподвижной оси равен нулю, то момент импульса системы относительно той же оси остается постоянным. Зто — закон сохранения момента импульса относительно неподвижной оси. 2. Чтобы выяснить геометрический смысл момента М„представим векторы г и Р в ниде +ге, Р= Рь+ Рн Здесь гз — составляющая вектора г, перпендикулярная к оси Х, а 㻠— составляющая того же вектора, параллельная этой оси. Аналогичный смысл имеют векторы Рь и Рш Используя эти разложения, можно написать М = [гР) = [гьРД+ [[геР„~+ [г;~РЕИ+ [геРЕ1.
Последний член как векторное произведение параллельных векторов равен нулю. Сумма, заключенная в фигурные скобки, есть вектор, перпендикулярный к оси Х. При проектировании на эту ось он даст нуль. Таким образом, составляющая вектора М, параллельная оси Х, равна !73 вглщенин вокгвг нвподвижнои оси относительно оси Х. Аналогично, при нахождении проекции й„ достаточно проектировать только параллельную слагаемую вектора Т.: Е~<=- (и <р,). Изложенное тривиальным образом обобщается на случай системы нескольких сил и системы нескольких материальных точек. Назовем плечом силы относительно некоторой оси кратчайшее расстояние между осью и линией действия силы. Тогда л<оменп силы овносип<ельно той же оси может быть определен как взятое с надлежащим знаком г" произведение перпендикулярной составляющей силы на соответствующее плечо.
Таксе определение момента дается в элементарной физике. Так как точку приложения силы можно перемещать произвольно вдоль линии ее действия, то это определение согласуется с опреде- и< лением, которое было приведено выше. Это видно из рис. 58, где предполагается, что ось перпендикулярна к плоскости рисунка и проходит через полюс О. Аналогично, момент импульса материальной точки относительно оси можно определить как взятое с надлежащим знаком произведение слагающей импульса, перпендикулярной к атой оси, на соответствующее плечо.
й 33. Уравнение момента импульса для вращения вокруг неподвижной оси. Момент инерции 1. Применим уравнение моментов относительно оси к рассмотрению вращательного движения, Зз неподвижную ось моментов удобно выбрать ось вращения. Если материальная точка вращается по окружности радиуса г (рис. 59), то момент ее импу,тьса относительно оси вращения О равен А=<ног. Пусть <о — угловая скорость вращения, тогда о=<ос, и, следовательно, 1=те'<ь. Если вокруг оси О вращается система материальных точек с одной и той не угловой скоростью ы, то Л= ~те'<о, где суммирование производится по всем материальным точкам системы.
Величину <ь как одинаковую для всех материальных точек можно вынести пз-под знака суммы. Тогда получится ).= !<о, (33.1) где (33.2) 174 момент количвствк движвния [гл. ч ей — (1<ь) = М, (33.3) где М вЂ” момент внешних сил относительно оси вращения.
Это— основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси. Оно напоминает уравнение Ньютона для движения материальной точки. Роль массы играет момент инерции 1, роль скорости — угловая скорость гв, роль силы — момент силы М, роль импульса — момент импульса Е. Момент импульса Е часто называют вращательным импульсом системы. Пользуясь этой терминологией, можно сказать, что производная вращательного импульса системы по времени равна моменту внешних сил относительно оси вращения. Если момент внешних сил М относительно оси вращения равен нулю, то вращательный импульс 1ы сохраняепкя, 2.
Важным частным случаем является вращение неизменяемой системы материальных точек или твердого тела вокруг неподвижной оси. В этом случае момент инерции 1 при вращении остается постоянным, и уравнение (33.3) переходит в лы 1 — =М. вг (33.4) Произведение момента инерции пгвердого тела относительно непо- В еличина 1, равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты расстояний их до оси врашения, называется люментом инерции системы относительно зпюй оси. Уравнение (33.!) показывает, что при вращении системы момент ее импульса относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно той же оси на угловую скорость. Если на вращательное движение системы материальных точек накладывается еще ради льное движение их, а также движение параллельно оси, то наличие таких движений ие отразится на справедливости формулы (33.1).
Это следует из того, что момент импульса материальной пючки зависит от ее скорости е линейно. Когда же скорость и направлена по радиусу или параллельно оси вращения, то момент импульса относительно этой оси равен нулю. Поэтому такие движения непосредственно ие сказываются на виде связи между моментом импульса системы относительно оси вращения и ее угловой скоростью.
Их влияние косвенное и состоит в том, что момент инерции 1 перестает быть постоянной величиной, а меняется во времени в соответствии с изменением мгновенной конфигурации системы. В этом случае уравнение (32.2) принимает вид 4 зч) ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ИМПУЛЬСА 175 движной оси враи(ения на угловое ускорение — равно моменту внешг(ю лг них сил относительно той же оси. Для лучшего уяснения уравнения (33.4) приведем другой его вывод, основанный непосредственно на уравнении движения материальной точни.
Последнее в случае вращения Материальной точки вокруг неподвижной оси имеет вид оо гл " =гю где гх — тангенниальная слагающая действующей силы. Так как Ш нш о=юг, то, умножая предыдущее уравнение на г, получим шг' — =ГРР На— ю пишем такие соотношения для каждой иатериальной точки, а затем сложим их. Тогда мы снова придем к уравнению (33.4). При этом все внутренние силы исключатся, так что под А( в уравнении (33.4) следует понимать момент одних только внешних сил.
Этот элементарный вывод обладает, однако, тем недостатком, что он дает уравнение вращательного движения только а частной форме (33.4), но не в общей форме (33.3). 3. Аналогия между движением материальной точки и вращением твердого тела относительно неподвижной оси может быть прослежена дальше. Если материальная точка вращается по окружности, то элементарная работа при повороте на угол г(ф равна йА =Газ=угйф=МГ(ф. Такое же выражение получится и для твердого тела, так как его можно рассматривать как систему материальных точек, вращающихся с общей угловой скоростью ш.
Внутренние силы исключаются, так как в случае твердого тела, как было показано в й 24, они работы не совершают. Итак, для твердого тела (33.5) Роль силы играет момент внешних сил, роль линейного перемещения — угловое перемещение. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела представляется в виде К=-,' У "-',-~,т(.) =,'~ ", или 1 К = „7шэ — —. 27 (33. б) й 34. Примеры на закон сохранения вращательного импульса 1. Поучительные демонстрационные опыты на закон сохранения момента импульса можно осуществить с помощью так называемой скамьи Жуковского (1847 — 1921). Скамья Жуковского представляет собой стул, сиденье которого имеет форму диска.
Диск может Эти выражения напоминакл соответствующие выражения для кине- тической энергии материальной точки. Они получаются из послед- них формальной заменой т — 7, о — ш, р - (.. 176 ~гл. ч момент количества движения свободно вращаться вокру~ вертикальной оси на шариковых подшипниках. Во время опыта демонстратор садится или становится на скамью Жуковского и, отталкиваясь от пола, может приводить ее во вращение. После прекращения толчка единственными внешними силами, которые могут создать момент относительно оси вращения, являются силы трения и сопротивления воздуха. Силы трения благодаря применению шариковых подшипников очень малы, а сопротивление воздуха может не приниматься во внимание, Рис, бо. пока число оборотов скамьи невелико. Поэтому момент импульса системы, состоящей из скамьи и демонстратора, относительно оси вращения не может меняться во времени, если система предоставлена самой себе.
Демонстратор на скамье Жуковского, оттолкнувшись ногою от пола, приводит ее во вращение. Вместе со скамьей вращается и он сам. Во время вращения вращательный импульс системы будет оставаться постоянным. Какие бы внутренние движения ни совершались в системе — внутренние силы не могут изменить вращательный импульс. Если демонстратор разведет руки в стороны, то он увеличит момент инерции системы 1, а потому угловая скорость вращения ы должна уменьшиться, чтобы остался неизменным вращательный импульс 1ы. Если демонстратор сводит руки к осн вращения, то момен~ инерции 1 уменьшается, а угловая скорость увеличивается, Для усиления эффекта демонстратор держит в руках тяжелые гири.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
