1611143573-8e94d034ccd828efcd3c13ed070577fb (825037), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Поэтому: 1) прн свободном падении всей системы шариков центр шарика 2 уже не является центром масс системы, а ускорение массы шарнна 2 не является ускорением центра масс системы, так как при движении расстояние между шаринами меняется под действием пружинок. Центр масс системы имеет постоянное усноренне 33 2) аг=32, а,=аз=О; 3) а,=б, а,= — Ю, аз=2. Р е ш е н н е.
Исходные условия равновесия рассматриваемой сис- темы шаринав буду~ иметь вид й — Т„+Т,=О, 2 — Т,+Т,=О, тд — Т,=О, где Тг, Т, н ҄— натяжения соответственно пружин / н // и нити. Из зтнх уравнений могут быть найдены значенкя Т„Т, и Т„. При мгновенном перерезываннн нити нлн пружины обращаются в нуль силы Т„илк Тз.
В этот момент времени уравнения второго закона динамики для шариков в первом случае прныут внд та+ Тг = та„тй — Т,+ Та= та„тд — Тз= таю а во втором та — Т„+Т,=там тд — Тт+Т,=та„ну=таз, Решая для наждого случая соответствующую ему систему уравнений, находим искомые значения уснорений шариков в начальный момент времени. 132. Уснорения клина и тела.
соответственно: тй з)п 2я Мя щп 2я 2 (М --; т Ы и' я) ' ' 2 (М+ т щ'п' я) ' сила давления тела на клин У и сила давления нлина на горизонтальную плоскость // определяются выражениями Мт соз я М (т+М) 2 Л= ., 3, //=М М-|-тз|п я ' -ьтз|п' я' 167 Р е ш е н н е. Начертим силы, действующие на каждое тело (рнс. 212). Только сила йг может сообщить клину ускорение в направлении оси Х (горизонтальной оси). Обозначим ускорение клина М через ач горизонтальную составляющую ускорения тела т через аз н вертикальную через аз. Тогда уравнения динамиии дают: й! и!п и=Мам шя — !у'соз сг=жаз, йг'з!п а=та„(гтг(=!)у (.
Между ускорениями а„а,, аз существует еще иинемати ческая связь, выражающая условие скольжения тела и по грани клина. Зту связь можно получить таи; обозначим координаты какой-либо точки тела и на Рис. 2!2. поверхности, соприкасающейся с клином М, через х и у; зта точна лежкт на линии р=(й о (х — З). Принимая во внимание, что при движении х и З изменяются, а а остается постоянным, проднфференцируем это равенство два раза': у=!й сг(х — от); ле~ко видеть, что у= — аз, х= — аз и 3=а,„ тогда равенство аз=(да(аз+а,) и есть искомое соотношение. Совместное решение уравнений дивил~вин при использовании найденного соотношения между усиорениями даст приведенные выше ответы иа поставленные вопросы.
1ЗЗ. о„=тгз ое (1 — з!пгР,). Решен ие. Составляя уравнения динамики длн движущегося тела в проекции на ось г' и в проекции на касательную, находим: у=г(о()Ы. Отсюда у о+с, где о — абсолютная величина скорости тела. Прн !=О р (О)= за з!п я~а о (0)=оа, с= — ое (! — 3!п фа). Полагая при г -ь оо р(!) — о г и о(г) — ьо, получаем ответ. $3, Статика 134. Г=Р— 0 (Я должно быть лР). 1%.
И=~-~- из.р сл ьчг — г ~ме Туч 6 мн, то тогда, действительно, канат можно было бы разорвать сколь угодно малой силой; однако наличие даже небольших растяжений каната и деформаций опоры существенно ограничивает величину выэываемык ма. лой силой натяжений наната.
137. На брусок АВ действует сила сжатия 5 кгс; на проволоку С — сила растяжения =7,! кгс. 138. т=4 г' 5 кг, Г=4 ()г 5+2 гг5+1' 5 — 2 ) 5) кгс и на. Р5 — 1 клоиена к вертикали под углом а= — агс!8, в сторону 2 крючка А. 139. /г) !8!5'=О,!76. 140. /=22,5 кгс; Р=З7,5 кгс; (т,)„,„с=180 кг. Указание.
Обозначим через / натяжение участка а веревки, че)к!з /ь — изтткеяие участка а и т. д. Тогда / =/ь=/ и / =/л = = 2/ Условия равновесия: тгд+тзу=/в+/ь+/а=4/. 141. Г=200 кгс. Т=1000 кгс. Р сова 142. Т= .. Равновесие возможно, если сс > О, т. е, 2 з! п (а — 6) ' когда точка С лежит ниже центра масс палочки, В противном слу- чае равновесие невозможно. 143.
б= —" Гг/)т — Лз 0,05 см. тд 144 кива =1/2 Р > ту/2, где иг — масса куба. й Му 145 Г=, . 189оат=й ПРк Д 0 розг=0! пРн соз Рп йз)пр' Д-1 Оо.— 45з, 2 146. б — Я. л 147. б=з/з/7/л. Зл+ 16 !48. хе — — —, В. Зл+ 12 2 )7 з!па а 149. хе= —— , где х †расстоян от центра круга. 3 сз — сов газ!псе 150 л в/ /7/л 151. К=21 Р, х=8а/7, у= РгЗо/7. 162. Т=Зту/32. У к а з а н и е. Можно считать, что на каждое из полушарий дейст- вуют две силы, по величине равные Т и приложенные в точках, где нить 169 так как расстояние центра то уравнение моментов дает переходит с одного полушарии на другое; масс полушария от центра шара равно з/з)г — — К=2ТК.
153 ) Т вЂ” / + 2 (, сову з!п у/ Г сов и ТАО= соз р +зи/ Рнс. 214. Рис. 2!3. 159. Рс шеи не. Пусть А, В, С, (у — центры шаров (рнс. 214), По условию они должны находиться в вершинах правильного тетраэдра. Возьмем единичные векторы е,, е,, еэ, исходящие из вершины/у !70 2) 15 и - 1й р 19 у, при этом сила Г лежит в плоскости, образованной стержнями АВ н АВ. 154. Нет, так нак пет силы, которая уравновесила бы момент силы тяжести относительно ребра В. 15б. Г= Р !0/4 тс, причем слагающая, направленная вниз, равна з/а тс, а направленная к стене — '/„тс.
155. Т/ В=- — (~Чя+ шя) 4 900 кгс. 2л У к а з а н и е, Так как трения в опорах нет, то Г= Т; эти силы образуют пару, момент которой Т Ь и уравновешивает моменты сил тяжести относительно опоры. 157. /=1 кгс в обоих случаях. 155. Р е ш е н и е. Рассмотрим бесконечно малый участон веревки АВ (рис. 2!3). Сила нормального давления его на поверхность столба бТ будет Т ди. Разность натяжений на концах веревнн г(Т= — Ыи должна ба быть уравновешена силой трения йТ г(и.
Это приводит к уравнению г(Т/г(и=йТ, интегрирование которого дает Т„= Т,е-™ (формула Эйлера). вдоль ребер тетраэдра. Силы Е„Еа, (та, с которыми шары А, В, С давят на шар Т), можно представить в виде Ег= — аеп Ез= — ае,, Е = — аеэ, где а — положительный численный коэффициент. Сила трения ум с которой шар А действует на шар Р, лежит в плоскости АРЕ, где Š— середина ребра СВ. Вдоль прямой 0Е напРавлен вентоР (е,+еэ). Таким обРазом, вехтоРы е, и (еэ-Вез) лежат также в плосностн АОЕ, а потому по ним можно разложить силу /ы т. е, уз=-() (ее+ е,)-';Те,.
Так как сила уз перпендикулярна к е,, то скалярным умножением на ег отсюда получаем р+7=0. (Мы воспользовались соотношениями ез=ез=ез=1, еге, еэез = = еэе,=-сов 60'=-'/,.) Следовательно, Л=() (е,-(-еэ — ег). Коэффи- циент () отрицателен, так как сила уг должна быть направлена наружу тетраэдра. Возведением в квадрат и последующим извлече- нием квадратного корня из последнего равенства находим /г — () гг2 . С другой стороны, величина силы трения уг может быть представ- лена в виде /г=йГг=яа. Зто дает р= — йа/$' 2. Аналогичные рас- суждения применимы и к силам трения уэ и уз, с которыми на шар 0 действуют шары В и С. З результате пачучается йа — — и (е, -~- ев — е,), Р2 йа .
,гэ=- — (е,+е,— ез), Р'2 яа ,уз= — — (е, +е,— еэ). )2 Результирующая снл давления н трения, действующих на шар О, будет — а(1+А/~~ 2) (е,+е,+е,). Она должна быть уравновешена весом шапа тя. Это дает аз(1+й/У 2)з(е,+езфез)з=баэ(1+й/Р'2)з=тзяз. Отсюда а=- те Найдем, наконец, силы трения т,, т„тз, действующие на шары А, В, С со стороны горизонтальной плоскости, иа которой они лежат, (Чтобы не усложнять рисунок, мы приложили эти силы к центрам шаров, хотя на самом деле онн приложены в точках касания шаров с упомянутой плоскостью.) Лля наших целей достаточно найти одну из этих сил, капример тг. Эта сила направлена вдоль биссектрисы АЕ угла ВАС.
Туда же направлен вектор (ез+ез)/2 — е,. Поэтому можно положить тг=в(ез+еэ — 2ег), где е — численный коэффициент. Возведя в квадрат, а затем извлекая квадратный ко- 171 рень, получим т, =е $' 3. С другой стороны, давление на плоскость всех четырех шаров равно 4тл, а давление в точке касания шара А = 4/з шй.
Поэтому тг — — е/зйглл, а следовательно, 4 4 е= зу 3 Ор'3 Ьпд и т,=,=йтй(ее+аз — 2е,). Остается толька написать условие равновесна шара А. (Условия равновесия шэрон 8 и С не дают ничего нового.) Оно имеетвид го, +уг ! тг-!.!т'=..О, где Г,.= — йм /г == †уз †давления и тре. ния, действующие на гпар Л со стороны шара Р, а через ЛГ обозначена сила, нормальная к плоскости опоры. Для исключения М умножаем написанное условие скалярно на вектор (е,+вз — 2в,), нормальный к йд После простых преобразований приходим к квМ- ратному уравнению 4аа-'3 $' 24 — 1=0, из которого находим й= (У 34 — 3 )г 2)/8=0 198.
Ото и есть минимальное значение коэффициента трепни, при котором равновесие возможно. 6 4. Работа, мощиостгь энергия 160. Работа А=200 кгс и. Потенциальная энергия (Г=!00 кгс и. Половина работы идет на увеличение кинетической энергии поднимаемого тела. 161. 0,08 кгс м; 0,038 кгс м. 162. 4,25 и; =8,!8 м/с. 163. А=тй(!!+йЕ) 164. Л=п!8(Н вЂ” йй). Необходимо, чтобы в любом положении тела соблюдалось условие 8 — йх>0, где й — высота, с которой спустилось тело к рассматриваемому моменту, а х — пройденный им путь в горизонтальном направление к тому же моменту. В противном случае тело скатиться с горки не сможет. г( /шов~ Ыо Л! Ло 165. — ( — /! = т- — — =ш — =Г.
Лз (, 2 ) ЛГ Лз Я 166. А= 4,3 !Оа кгс м. 167. ЕГ=О,О кгс и. 168. 1 кгс м. !000 169. В' = — 5И~ л. с. 75 170. Яг — тро, 41 а 171. 1) ег=гпя!(! — соз а). 2) А= )ша! соэ а ли=та! юп оь о 172 3) Приравнввая работу силы инерции потенциальной энергии отвеса, отклоненного на угол сг, находим 8(1 — соз гомоос)=аз(п аманы откУда легко полУчаем 18 2 —— — или гхяоос=2агс18 —. 4) Сравнивая найденный результат с результатами задачи 91, получаем, что, действительно, амоко=2ао, так иак аз=асс(п о . й 3) После освобождения отвеса он сначала отклонится на угол а ,„„ а затем начнет колебаться от направления, определяемого этим углом, до вертикали, т.
е. около направления, определяемого значением угла по. Постепенно колебания затухнут и о~вес остановится в положении, задаваемом этим утлом. В этом положении сумма действующих на отвес сил будет равна та, н отвес будет двигаться вместе с вагоном. 172. 330 и. Р е ш е н и е. При торможении с ускорением а возникнут колебания (см.
решение предыдущей задачи), и отвес отклонится на наибольший угол 2а/д = Зи/180 =0,052, следовательно, 2а=0,3! м/с н 5=по/2а. 173. о= ) 2ф~= 11,2 км/с, где /7 — радиус земного шара. 174. Ввиду того, что поле тяготения является потенциальным полем н все механические процессы в нем обратимы, очевидно, что ракета, начальная скорость которой превышает значение, найденное в предыдущей задаче, преодолеет силу земного тяготения и уйдет в межпланетное пространство. 173.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
