1611143573-8e94d034ccd828efcd3c13ed070577fb (825037), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Пользуясь формулами преобразования Лоренца, показать, что в момент 1=0 (в системе К) все часы системы К', находящиеся на положительной оси х, отстают от часов 146 системы К, а все часы иа К' на отрицательной оси х опережают часы системы К. Разница показаний часов возрастает по мере удаления от начала координат 0 по закону — Г— У с' Аналогично в момент К=О (в системе К') все часы системы К, находящиеся в точках х' О оси х', опережают часы из системы К', а находящиеся в точках х'(Π— отстают.
Разница показаний часов возрастает по мере удаления от начала координат 0' по закону г =à —,х. В чем причина различия в знаках в полученных формулах? Не нарушается ли этим равноправие систем К и К'? Что нужно сделать, чтобы добиться симметрии в формулах? 735. Стержень, собственная длина которого равна расположен параллельно осн х и движется в положительном направлении оси у. Скорость его в системе К равна «э. В системе К' этот же стержень оказывается несколько наклоненным относительно положительного направления оси х'.
Объясните этот результат, не пользуясь преобразованиями Лоренца. Пусть центр стержня проходит через точку х-О, р-О, х'=О, у'=О в момент времени 8=К=О. Вычислите угол ~р', образованный стержнем и осью х' в системе К'. 736. Метровый стержень, расположенный параллельно оси х системы К, движется вдоль оси х со скоростью У. Тонкая пластинка, параллельная плоскости хг системы К, двгпкется вверх вдоль оси у со скоростью «в.
В пластинке проделано круглое отверстие диаметром в 1 м, центр которого лежит на оси у. Середина метрового стержня оказывается в начале координат системы К в тот самый момент, когда движущаяся вверх пластинка достигает плоскости у=О. Но метровый стержень относительно К испытал лоренцево сокращение и, следовательно, свободно проходит через отверстие. Соударения между стержнем и пластинкой по этим соображениям не произойдет.
Однако рассмотрим это «столкновение» с точки зрения системы К', связанной со стержнем. В системе К' стержень ие подвержен сокращению, поскольку он покоится, зато лоренцево сокращение испытывает отверстие в пластине. Следовательно, по этим соображениям соударение между метровым стержнем и отверстием будто бы неизбежно.
147 Произойдет ли соударение стержня с пластинкой в действительности? (Парадокс метрового стержня.) 737. Имеются три ннерцнальные системы отсчета К, К', К", все оси координат которых параллельны друг другу. Система К' движется равномерно и прямолинейно со скоростью Г, относительно системы К, причем вектор ее скорости параллелен осям х. Система К" движется с постоянной скоростью Ф'„параллельной Ф',, относительно системы К . В начальный момент времени начала координат всех трех систем совпадают между собой, Показать, что результат последовательно выполненных преобразований Лоренца для координат и времени при переходе от системы К к системе К' и затем от системы К'к системе К" эквивалентен преобразованию Лоренца, осуществляемому непосредственно прн переходе от системы К к системе К", с соответствующим значением их относительной скорости.
Показать, что результат двойного преобразования Лоренца в этом случае коммутативен относительно скоростей 1', и $', систем координат К' и К". 738. Пусть система К' движется относительно системы К так, как описано в условии предыдущей задачи, но система К" движется равномерно относительно системы К' со скоростью Ъ'м параллельно осям у. Выразить координаты х", у", г" и время 1", измеряемые в системе К", через х, у, г и 1 в системе К. Заметьте, что в этом случае окончательный результат преобразования времени 1"- 1 н координат х", у", г"-~ х, у, г не коммутативен относительно скоростей 1~, и 1/, (ср. предыдущую задачу). 739. Пусть в системе К движение частицы задано выражениями: х=х 11), у=у(г), г=г(1).
Определяя скорость обычными формулами, например, о„=ахи н т. д., и применяя преобразования Лоренца, найти формулы преобразования компонент скоростей при переходе от системы отсчета К к системе К', где соответственно о,' =дх'lг)1' и т. д. 740. 1) Используя формулы преобразования компонент скорости, полученные в предыдущей задаче, рассмотреть случай, когда в системе К частица движется вдоль оси х, так что о„=щ Найти формулу преобразования величины скорости для этого случая. 2) Для случая движения частицы вдоль оси х, рассмотренного в п. (1), доказать следующую теорему. Если скорость движения частицы о в системе К меньше с, то в любой другой системе отсчета ее скорость также меньше с. При ыв этом предполагается, что относительная скорость систем отсчета также всегда меньше с.
741. С помощью формулы преобразования скоростей (см. задачу 740) получить результат опыта Физо. В этом опыте в лабораторной системе отсчета определялась скорость света в воде, текущей со скоростью У. В результате опыта Физо получил для скорости света значение с, ? 11 о= — +У (1 — — «), где п — показатель преломления воды. я (, л«)' Какого порядка члены относительно У/с отброшены при выводе теоретической формулы? 742. Пусть в системе К две частицы движутся вдоль оси х навстречу друг другу со скоростями о,=-а,с и о,=а,с, где а, и с««больше 1!2, но меньше 1. Найти скорость сближения этих частиц в системе К. Эта скорость превосходит с, что, однако, не противоречит основам теории относительности. Почему? Найти относительную скорость частиц согласно формуле преобразования скоростей и убедиться, что эта скорость всегда меньше с.
743. 1) В системе К' частица движется в плоскости (х', у') со скоростью о' под углом д' к оси х'. Найти абсолютную величину скорости о в системе К и угол О, который составляет скорость частицы с осью х. 2) Пусть в системе К' луч света распространяется в вакууме вдоль оси у'. Найти угол, который образует этот луч света с осью у системы К (угол аберрации), применяя формулы, полученные в предыдущей задаче. Оси у и у направить вниз. Найти выражение для угла аберрации классической теории, т. е. применяя преобразования Галилея и классическую формулу «сложения» скоростей. На какой порядок относительно величины У?с отличаются классическая и релятивистская формулы? 744.
Проверить, что преобразования Лоренца оставляют ннвариантным интервал между событиями. 745. Имея в виду, что положение частицы в данный момент времени является событием, записать интервал между двуми такими событиями в системе К, относительно которой она движется, и в системе К', относительно которой она покоится. В силу инвариантности интервала еще раз получить связь между промежутком собственного времени между двумя событиями и промежутком координатного (лабораторного) времени между теми же событиями. 746. Найти условие того, что можно подобрать такую систему К', в которой два события, происходящие в системе 149 отсчета К в разных точках пространства и в разные моменты времени, происходили бы: 1) в одной точке системы К; 2) одновременно в системе К'; 3) наступали бы в системе К' в одной точке и в один и тот же момент времени.
747. Исходя из классического и релятивистского уравнений движения, вывести выражения для энергии частицы. 748. Найти зависимость координаты и скорости частицы от времени, если движение одномерное, сила постоянна, а уравнение движения — релятивистское. Сравнить полученное решение с решением для того же случая, но для классического уравнения. Убедиться, что прн решении релятивистского уравнения — в соответствии с основными принципами теории относительности — скорость частицы в любой момент времени остается меньше с. 749. Сравнить величину релятивистского и классического импульсов электрона при скорости о=(24/25) с =0,96 с.
750. Найти выражение для трехмерного ускорения частицы из релятивистского уравнения движения (9). 751. Рассмотреть движение электрона в плоском конденсаторе (напряженность электрического поля Е) на основе классического и релятивистского уравнений динамики, Начальные условия: в момент 1=-0 электрон влетает в конденсатор со скоростью оп параллельной пластинам. Найти скорость и координаты электрона как функцию времени и траекторию электрона. Сравнить классический и релятивистский случаи и убедиться, что при условии (ма)(<1 релятивистские результаты переходят в классические. Почему проекция скорости электрона на направление, параллельное пластинам конденсатора, остается постоянной в классическом случае и убывает в релятивистскомй 752.
Найти скорость частицы (заряд е, масса т), прошедшей разность потенциалов Г без начальной скорости. Найти предельные выражения для скорости: 1) для классического случая (о((с) и 2) для ультрарелятивистского (о=с). 753. Две одинаковые частицы движутся в лабораторной системе отсчета К навстречу друг другу с одинаковыми релятивистскими скоростями.
Система К является для них системой центра масс и их энергия в этой системе равна 247 (к7 — энергия каждой частицы). Найти суммарную энергию частиц в системе отсчета, где одна из частиц покоится. Найти выигрыш в энергии столкновения, если две частицы, каждая с энергией 4', идут навстречу друг другу, по сравнению с тем случаем, когда одна частица с энергией 47 падает на неподвижную. 754. Показать, что релятивистское уравнение движения заряженной частицы в постоянном магнитном поле совпадает с классическим уравнением движения при тех же условиях, но с некоторым другим значением массы.
755, Найти пробег 1 релятивистской заряженной частицы с зарядом е и массой и при начальной полной энергии б, в тормозящем однородном электрическом поле, параллельном начальной скорости частицы. 756. Какую часть энергии покоя частицы должна составлять релятивистская кинетическая энергия, чтобы относительная ошибка, полученная при использовании нерелятивистского выражения для кинетической энергии, составляла бы 19ъ? Найти соответствующую энергию для протона и электрона.
757. Выразить в мегаэлектроновольтах энергию покоя электрона и протона. 758. На 1 м'-' поверхности, перпендикулярной направлению солнечных лучей, около Земли вне ее атмосферы приходит примерно 1,4 кВт световой энергии ог Солнца. (Значение 1,4 кВт1м' называется солнечной постоянной.) Какое количество массы теряет Солнце в секунду за счет излученвя света? На какое время хватит 0,1 массы Солнца, чтобы поддерживать его излучение? Расстояние от Солнца до Земли составляет около 150 10' км.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
