1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Тележкаможет катиться по рельсам без трения. Тележке сообщили начальную скорость V0 так, что при этом нить маятника осталась вертикальной. Найти законы движения маятника и тележки относительно лабораторной системы отсчета при малых углах отклонения нити маятника от вертикали. Определить, при каких соотношенияхмасс маятника и тележки амплитуды их колебаний Am и AM будутмаксимальными.РешениеOI. При решении задачи используем две системы отсчета:αинерциальную лабораторную систему, связанную с рельсами, и неТинерциальную, связанную с тележкой.
Направим ось Х инерциFпер mgальной системы отсчета вдольрельсов, по которым катится тележка (см. рис. 8.18), начало отХсчета которой совпадает с положеРис. 8.18нием маятника в начальный момент времени.После сообщения начальной скорости V0 тележке маятник внеинерциальной системе отсчета будет колебаться относительнонеподвижной оси, проходящей через точку подвеса O, в то времякак в инерциальной системе отсчета его движение является супер-290МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧпозицией поступательного движения вместе с тележкой и колебательного движения относительно тележки.Задачу решаем динамическим методом. На маятник в неинерциальной системе отсчета действуют три силы (рис. 8.18) –сила тяжести mg, сила натяжения нити Т и переносная сила инерции Fïåð .
Силами трения и сопротивления воздуха пренебрегаем.II. Переносная сила инерции, действующая на маятник, в соответствии с (4.16) в п. 4.1. Теоретический материал Главы 4 равна:Fпер = −m&x&M ,(8.73)где &x&M – ускорение тележки (и жестко связанной с ней неинерциальной системы) относительно инерциальной системы отсчета.Запишем уравнение вращательного движения (уравнениемоментов; см. (6.48) в п.
6.1.2 Главы 6) маятника в неинерциальнойсистеме отсчета относительно оси, проходящей через точку подвеса O перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 8.18):ml 2α&& = −mgl sin α − m&x&M l cos α ,(8.74)где α – угол отклонения маятника от вертикали (см. рис. 8.18).При записи уравнения (8.74) учтено, что относительно выбраннойоси момент инерции маятника равен ml 2 , а момент силы натяжения нити равен нулю.В соответствии с принципом суперпозиции движений координата маятника xm (t ) относительно инерциальной системы отсчета равна:(8.75)xm (t ) = xM (t ) + l sin α (t ) ,где x M (t ) – координата точки подвеса маятника, жестко связаннойс тележкой, относительно инерциальной системы отсчета.Уравнение кинематической связи (уравнение, связывающееугловое ускорение маятника α&&(t ) и ускорение тележки &x&M (t ) )можно получить, рассматривая движение центра масс системы тел«маятник + тележка» относительно инерциальной системы отсчета.Координата центра масс xцм системы тел (см.
(3.1) вп. 3.1. Теоретический материал Главы 3) равна:mx + MxM.(8.76)xцм = mm+MГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания291По условию задачи на указанную систему тел не действуютвнешние силы вдоль оси Х (силами трения и сопротивления воздуха пренебрегаем), следовательно, в соответствии со вторым законом Ньютона ускорение центра масс равно нулю:&x&цм = 0 .(8.77)При этом центр масс данной системы тел в зависимости от начальных условий будет двигаться вдоль оси X с постоянной скоростьюили покоиться.Дифференцируя (8.76) дважды по времени с учетом (8.75) и(8.77), получаем следующее уравнение кинематической связи дляускорений:( m + M ) &x&M + ml − α& 2 sin α + α&& cos α = 0 .(8.78)При малых углах отклонения маятника ( sin α ≅ α ) уравнения(8.74), (8.75) и (8.78) преобразуются к виду:(8.79)ml 2α&& = −mglα − m&x&M l ,(8.80)xm (t ) = xM (t ) + lα (t ) ,(8.81)( m + M ) &x&M + mlα&& = 0 .Полученная система уравнений (8.79) – (8.81) позволяет найти искомые законы движения маятника x m (t ) и тележки x M (t ) относительно лабораторной инерциальной системы отсчета.III.
Преобразуя систему уравнений (8.79) – (8.81), получаемуравнение гармонических колебаний (см. формулу (8.1) вп. 8.1.1. Собственные гармонические колебания) маятника относительно тележки:gα&& + (1 + m / M )α = 0 .(8.82)lСледовательно, частота собственных колебаний маятника ω0равна:g(1 + m / M ) .ω0 =(8.83)lНа рис. 8.19 изображена зависимость частоты колебаний маятника ω0 от отношения масс m / M маятника и тележки (приl = 2 м). Отметим, что при увеличении массы маятника частота колебаний монотонно возрастает, а при достаточно малой массе маятника m << M частота его колебаний совпадает с частотой коле-()МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ292баний математического маятника с неподвижной точкой подвесаg(8.17) – ω0 =.lω0 , c −186420051015m/MРис. 8.19Решением уравнения (8.82) является гармоническая функция:α (t ) = A cos(ω0t + ϕ0 ) .(8.84)Амплитуда A и начальная фаза ϕ 0 в (8.84) определяются начальными условиями, которые в соответствии с условиями задачи записываются в виде:α (t = 0) = 0 ,(8.85)Vα& (t = 0) = − 0 .(8.86)lВ результате для угла отклонения маятника имеем:VVα (t ) = 0 cos(ω0t + π / 2) = − 0 sin(ω0t ) .(8.87)lω 0lω 0Дифференцируя (8.87) дважды по времени и подставляя α&& в(8.81) получаем дифференциальное уравнение второго порядка длякоординаты тележки x M :m/M&x&M = −V0ω0 sin(ω0 t ) .(8.88)1+ m / MИнтегрируя (8.88) с начальными условиямиxM (t = 0) = 0 ,(8.89)x& M (t = 0) = V0 ,(8.90)ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания293находим искомый закон движения тележки относительно лабораторной инерциальной системы отсчета:1xM (t ) =V0t + AM sin(ω0t ) ,(8.91)1+ m / Mгдеm / M V0⋅.(8.92)AM =1 + m / M ω0На рис.
8.20 изображены зависимости координаты тележкиx M (t ) от времени при различных значениях отношения массm / M маятника и тележки.Зависимости получены в соответствии с (8.91) при значенияхначальной скорости тележки V0 = 1 м/с и длины маятника l = 2 м .Как видим, поступательное движение тележки представляет собой1суперпозицию движения с постоянной скоростьюV0 и1+ m / Mгармонических колебаний с частотой ω0 и амплитудой AM (см.(8.91)).xM , мm/ M → 06xm , м0,255m/ M → 060,255143143242110141000024t, cРис.
8.2068024t, cРис. 8.2168294МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗаметим, что при достаточно малой массе маятника m << Mколебательное движение тележки практически незаметно, поскольку происходит с малыми амплитудой AM и частотой.Искомый закон движения маятника x m (t ) относительно лабораторной инерциальной системы отсчета находим, используяпринцип суперпозиции движений (8.90) и полученные законы изменения угла отклонения α (t ) маятника (8.87) и движения x M (t )тележки (8.91):1xm (t ) =V0t − Am sin(ω0t ) ,(8.93)1+ m / MгдеV1Am =⋅ 0 .(8.94)1 + m / M ω0На рис. 8.21 изображены зависимости координаты маятникаxm (t ) от времени при различных значениях отношения масс m / Mмаятника и тележки.
Зависимости получены в соответствии с (8.93)при тех же значениях начальной скорости тележки и длины маятника, что и в случае расчета зависимостей координаты тележки (см.рис. 8.20). Как видим, движение маятника, как и в случае тележки,представляет собой суперпозицию движения с той же постоянной1скоростьюV0 и гармонических колебаний с той же часто1+ m / Mтой ω0 , но другой амплитудой Am (см. (8.94)). Заметим, что колебательное движение маятника практически незаметно при достаточно большой массе маятника m >> M , поскольку происходит смалой амплитудой Am .На рис.
8.22 изображены зависимости амплитуд колебанийтележки AM и маятника Am от соотношения их масс при указанных выше значениях начальной скорости тележки и длины маятника. Как видим, амплитуда колебаний маятника Am монотонноуменьшается с увеличением отношения масс m / M . При этом амплитуда колебаний тележки AM сначала возрастает, достигая максимума, а затем монотонно убывает.ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания295Амплитуда колебаний маA, мятника Am в соответствии с (8.94)0.4стремится к своему максимальноAmlmaxму значению Am = V0приgAMAMmaxнеограниченном уменьшении отношения масс маятника и тележки0m/ M → 0.0 2 51015Амплитуда колебаний теm/Mлежки AM в соответствии с (8.92)Рис.
8.22максимальна при значении отношения масс маятника и тележкиm / M = 2 независимо от начальной скорости тележки и длины маl2V0.ятника и равна AMmax =g3 3Задача 8.4(Свободные незатухающие колебания)Тело вращения с максимальным радиусом r , моментоминерции J (относительно его оси симметрии) и массой m катаетсябез проскальзывания по цилиндрической поверхности опоры радиусом R , совершая малые колебания около положения равновесия (рис. 8.23).
Найти частоту этих колебаний.OVmgN αRFтрРис. 8.23МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ296РешениеI. На тело в процессе движения действуют сила тяжести mg ,сила нормальной реакции опоры N и сила трения покоя Fтр вточке соприкосновения тела с цилиндрической поверхностью (см.рис. 8.23). Силой сопротивления воздуха пренебрегаем. Тело вращения и опору считаем абсолютно твердыми телами, поэтому трение качения не учитываем.Задачу решаем энергетическим методом. Механическая энергия тела, катающегося без проскальзывания по цилиндрическойповерхности, сохраняется, поскольку суммарная работа всех непотенциальных сил, действующих на него, равна нулю (см.
п. 3.1.3 вГлаве 3).II. Кинетическая энергия тела по теореме Кенига равна суммекинетической энергии поступательного движения тела со скоростью, равной скорости центра масс V , и энергии вращательногодвижения с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей черезцентр масс (см. (7.10) в п. 7.1. Теоретический материал в Главе 7):mV 2 Jω 2Ek =+.(8.95)22Здесь J – момент инерции тела, относительно оси, проходящей через центр масс, а скорость центра масс тела в соответствии срис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
