1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 38
Текст из файла (страница 38)
сплошные линии нарис. 8.12 и 8.13):BA( p ) =,(8.45)2ω02 − p 2 + 4δ 2 p 2()2δp.(8.46)p − ω02На рис. 8.12 и рис. 8.13 штриховыми линиями изображенызависимости амплитуды и фазы установившихся вынужденных колебаний для удвоенного значения коэффициента затухания 2δ.При t >> 1/δ, собственными затухающими колебаниямиξ соб (t ) можно пренебречь:ξ (t ) = ξ вын (t ) = A( p ) cos( pt + ϕ ( p) ) .(8.47)tg ϕ ( p) =2МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ282A(p)δ2δAст0pрез = ω02 − 2δ 2pРис. 8.12. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний A(p) отчастоты p при различных коэффициентах затухания δϕ(p)ω00p–π/2–πδ2δРис.
8.13. Зависимость начальной фазы вынужденных колебаний ϕ(p)от частоты p при различных коэффициентах затухания δРезонанс смещения (обобщенной координаты) – явлениерезкого возрастания амплитуды A( p) вынужденных колебанийпри изменении частоты вынуждающей силы (рис. 8.12).В случае резонанса смещения резонансная частота pрез выd A( p)нуждающей силы находится из условия=0:dppрез = ω02 − 2δ 2 .(8.48)При резонансной частоте амплитуда вынужденных колебаний равна:BAрез = A( pрез ) =.(8.49)2δ ω02 − δ 2ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания283При постоянной ( p = 0 ) обобщенной вынуждающей силе Вобобщенная координата ξ будет также постоянна и равна:BAст = A(0) = 2 .(8.50)ω0При стремлении частоты вынуждающей силы к бесконечности (при p >> ω0 ) амплитуда вынужденных колебаний стремится кнулю (рис. 8.12):Bp →∞A( p ) ~ 2 ⎯⎯⎯→ 0 .(8.51)pЗаметим, что добротность колебательной системы можетбыть выражена через Aрез и Aст .
В соответствии с (8.40), (8.49) и(8.50):Q=ω Aрез≅(при ω0 >> δ ).2δAст(8.52)Закон изменения со временем обобщенной скорости в случаевынужденных установившихся колебаний под действием гармонической вынуждающей силы имеет вид:ξ&(t ) = ξ&вын (t ) = − A( p) p sin ( pt + ϕ ( p ) ) == A( p ) p cos( pt + ϕ ( p ) + π / 2 ) .(8.53)Здесь A( p ) p – амплитуда изменения обобщенной скорости (см.сплошную линию на рис. 8.14):Bp.(8.54)A( p ) p =22 22 2ω0 − p + 4δ p()Штриховой линией на рис. 8.14 изображена зависимость амплитуды изменения обобщенной скорости при вынужденных колебаниях в случае удвоенного значения коэффициента затухания 2δ.Резонанс скорости – явление резкого возрастания амплитуды A( p ) p изменения обобщенной скорости ξ&(t ) при изменениичастоты вынуждающей силы (рис.
8.14).В случае резонанса скорости резонансная частота находитсяd ( A( p) p )= 0 и в соответствии с (8.54) равна:из условияdppрез = ω0 .(8.55)МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ284A(p)pδ2δ0pрез = ω0pРис. 8.14. Зависимость амплитуды изменения обобщенной скоростиA(p)p при вынужденных колебаниях от частоты p для различных коэффициентов затухания δПри постоянной ( p = 0 ) вынуждающей силе обобщеннаяскорость ξ&(t ) будет равна нулю (рис. 8.14):( Ap )ст = 0 .(8.56)При частоте вынуждающей силы много больше частоты собственных незатухающих колебаний ( p >> ω0 ) амплитуда изменения обобщенной скорости близка к нулю:B p →∞(8.57)A( p ) p ~ ⎯⎯⎯→ 0 .p8.2. Основные типы задач и методы их решения8.2.1.
Классификация задачБольшинство задач по теме "Свободные и вынужденные колебания систем с одной степенью свободы. Резонанс" можно условно отнести к следующим типам задач или их комбинациям. Задачи на:1) свободные незатухающие колебания,2) свободные затухающие колебания,3) вынужденные колебания, резонанс.Возможны два метода решения – так называемые динамический и энергетический методы. Динамический метод предполагаетиспользование уравнений движения, а энергетический – закона сохранения механической энергии колеблющейся системы тел.ГЛАВА 8.
Свободные и вынужденные колебания2858.2.2. Общая схема решения задачЕсли задача сводится к колебаниям материальной точки, тоосновные этапы решения определяются общими схемами решениязадач, описанными в Главе 2 (динамический метод) и Главе 3(энергетический метод). При решении задачи о колебаниях абсолютно твердого тела используются схемы, описанные в Главе 6(динамический метод) и Главе 7 (энергетический метод).
Как правило, при использовании обоих методов на последнем этапе решения получаются уравнение и закон движения рассматриваемой механической системы. В любом случае при решении задачи необходимо последовательно реализовать следующие три основных этапа.I. Определиться с моделями материальных объектов иявлений.II. Записать полную систему уравнений для искомых величин.III. Получить искомый результат в аналитическом и численном видах.8.3. Примеры решения задачЗадача 8.1(Свободные незатухающие колебания)Сплошной однородный цилиндр массой m и радиусом R ,шарнирно закрепленный в нижнейkkточке, совершает малые колебанияпод действием двух горизонтальныходинаковых легких пружин, жестm, Rкость каждой из которых равна k(рис. 8.15).
Пружины прикреплены кверхней точке цилиндра и нерастянуты в положении равновесия цилиндра. Определить угловую частотуРис. 8.15малых колебаний цилиндра.РешениеI. Задачу решаем динамическим методом в лабораторнойинерциальной системе отсчета, связанной с опорой цилиндра. ОсьX декартовой системы координат направим горизонтально. Начало286МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧотсчета оси X соответствует положению точки шарнирного закрепления цилиндра. Цилиндр считаем абсолютно твердым телом.
Нанего действуют четыре силы (см. рис. 8.16):сила тяжести mg, упругие силы со стороны2Fупрдвух пружин 2Fупр и сила реакции опоры, неαизображенной на рисунке. Силами тренияпренебрегаем. Пружины считаем невесомыми, их деформации – малыми.II. Запишем уравнение моментов (см.mg(6.48) в Главе 6) для цилиндра относительно0Xоси (рис. 8.16), проходящей через точку егошарнирного закрепления перпендикулярноРис.
8.16плоскостям колебаний материальных точекцилиндра:(8.58)Jα&& = mgR sin α − 2kx ( 2 R ) ≈ mgRα − 4kxR .Здесь J – момент инерции цилиндра относительно выбранной оси,α – угол поворота цилиндра (рис. 8.16), х – координата точки крепления пружин к цилиндру. При записи уравнения (8.58) учтено, чтомомент силы реакции опоры относительно оси вращения равен нулю, и при малых углах поворота цилиндра плечо силы упругостиравно 2 R , а sin α ≈ α .Запишем уравнение кинематической связи – уравнение, связывающее координату точки крепления пружин к цилиндру и уголего поворота:x = 2 Rα .(8.59)Момент инерции цилиндра относительно оси, проходящейчерез точку его шарнирного крепления, находим в соответствии стеоремой Гюйгенса – Штейнера (см. (6.42) в Главе 6):mR 23J=+ mR 2 = mR 2 .(8.60)22III.
Подставляя выражения (8.59) и (8.60) в (8.58), получаемуравнение гармонических колебаний:2 ⎛ 8k g ⎞(8.61)α&& + ⎜ − ⎟α = 0 .3⎝ m R⎠Следовательно, искомая угловая частота собственных незатухающих колебаний равнаГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания2872 ⎛ 8k g ⎞(8.62)⎜ − ⎟.3⎝ m R⎠Полученное выражение для частоты колебаний справедливо8k g8k g> . Если≤ , то вертикальное равновесное состояниеприm Rm Rявляется неустойчивым и колебания в системе не возникают (см.
вп. 8.1.1 необходимые условия существования собственных гармонических колебаний).ω0 =Задача 8.2(Свободные незатухающие колебания)Тонкая однородная палочка совершает малые колебаниявнутри гладкого полуцилиндра радиусом R , оставаясь в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра (рис. 8.17).ON1N2αmgРис.
8.17Длина палочки равна радиусу полуцилиндра. Найти закондвижения центра масс палочки, считая, что в начальный моментвремени она покоилась и была отклонена от положения равновесияна малый угол α 0 .РешениеI. Задачу решаем динамическим методом в лабораторнойинерциальной системе отсчета, связанной с полуцилиндром. Палочку считаем абсолютно твердым телом. На нее действуют трисилы – сила тяжести mg и силы нормальной реакции поверхностиполуцилиндра N1 и N2 (рис.
8.17). Силами трения и сопротивлениявоздуха пренебрегаем.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ288II. Запишем уравнение моментов (см. (6.48) в Главе 6) дляпалочки относительно оси, совпадающей с осью полуцилиндра,проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа(рис. 8.17):Jα&& = −mgl sin α ,(8.63)где J – момент инерции палочки относительно указанной оси, α –угол отклонения палочки от положения равновесия, l – расстояниеот оси вращения до центра масс палочки. При записи (8.63) учтено,что моменты сил нормальной реакции поверхности полуцилиндраN1 и N2 относительно оси вращения равны нулю.Поскольку длина палочки равна радиусу цилиндра, то расстояние от оси вращения до центра масс палочки равно:R 3l = R sin(π / 3) =.(8.64)2Момент инерции палочки относительно указанной оси находим в соответствии с теоремой Гюйгенса – Штейнера (6.42):J = J 0 + ml 2 .(8.65)Момент инерции тонкой палочки относительно оси, проходящей через ее центр масс, равен:mR 2J0 =.(8.66)12III.
Преобразуя систему уравнений (8.63) − (8.66) с учетоммалости угла отклонения палочки от положения равновесия(sin α ≈ α ) , получаем уравнение гармонических колебаний:3 3gα = 0.(8.67)5RКак видим (ср. с (8.1)), частота собственных колебаний палочкиопределяется соотношениемα&& +3 3g,(8.68)5Rа закон движения (решение уравнения движения (8.67)) имеет вид:α (t ) = A cos(ω0 t + ϕ0 ) .(8.69)Амплитуда A и начальная фаза ϕ 0 в соответствии с условиямизадачи определяются начальными значениями угла отклонения искорости его изменения:ω0 =ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания289α (0) = α 0 = A cos ϕ0 , α& (0) = 0 = − A sin ϕ 0 .(8.70)Совместное решение уравнений (8.70) дает значения амплитуды и начальной фазы:A = α 0 , ϕ0 = 0 .(8.71)В результате искомый закон движения центра масс палочкипринимает вид:⎛ 3 3g ⎞α (t ) = α 0 cos ⎜(8.72)t⎟ .⎜ 5R ⎟⎝⎠Задача 8.3(Свободные незатухающие колебания)На тележке массой М, стоящей на горизонтальных рельсах,подвешен математический маятник длиной l и массой m.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
