1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 34
Текст из файла (страница 34)
решение Задачи 8 в Главе 3).Задача. 7.5Тонкий однородный стержень длиной l0 и массой m0 = 10 гвращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точку егоподвеса, описывая при этом коническую поверхность (см.рис. 7.13). Жук, сидящий на стержне, начинает медленно ползти сверхнего закрепленного его конца к нижнему концу.
Начальный252МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧугол отклонения стержня от вертикалисоставляет α 0 = 60°. При какой массе жукаm угол отклонения стержня от вертикалиmαсоставит α1 = 45° после того, как жук достигнет нижнего конца стержня?РешениеI. При движении жука вдоль стержl0, m0ня на систему тел «стержень + жук» действуют силы тяжести и силы реакции состороны подвеса. Поскольку моментыРис. 7.13этих сил относительно вертикальной оси,проходящей через точку подвеса, равны нулю, момент импульсарассматриваемой системы тел относительно этой оси в лабораторной инерциальной системе отсчета не изменяется. Поэтому прирешении задачи будем использовать закон сохранения моментаимпульса относительно вертикальной оси для двух моментов времени: начала движения (l = 0, α = α 0 ) и момента достижения жуком конца стержня (l = l0, α = α1 ).
Здесь введены обозначения: l −расстояние от жука до точки подвеса стержня и α − угол отклонения стержня от вертикали.В процессе движения жука расстояние l, угол α , а также угловая скорость вращения стержня ω изменяются. Для нахождениявзаимосвязи между углом отклонения α и угловой скоростью ωудобно перейти к неинерциальной системе отсчета, жестко связанной с вращающимся стержнем. В этой системе отсчета на системутел «стержень + муфта» действуют силы тяжести, сила реакцииподвеса в точке крепления стержня и силы инерции.Поскольку жук в соответствии с условием задачи движетсяпо стержню медленно, то угловая скорость вращения стержня ωтакже медленно изменяется ( ω& ≅ 0 ), следовательно, переноснаясила инерции (см.
(4.16) в Главе 4) примерно равна центробежнойсиле инерции: Fпер ≅ Fцб . Силой инерции Кориолиса (см. (4.17) вГлаве 4), действующей на медленно движущегося жука, также пренебрегаем: FКор ≅ 0 .Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии253Сумма моментов внешних сил, действующих на систему тел«стержень + жук, равна нулю относительно любой оси, неподвижной относительно выбранной неинерциальной системы отсчета.Заметим, что центробежная сила инерции, действующая наразличные элементы стержня, зависит от расстояния между данным элементом и вертикальной осью вращения неинерциальнойсистемы отсчета. Следовательно, для расчета суммарного моментасил инерции, действующих на стержень, необходимо просуммировать моменты сил инерции, действующих на каждый из элементовстержня.
Заметим также, что момент силы реакции подвеса в точкекрепления стержня равен нулю относительно оси, проходящей через точку подвеса.Таким образом, для решения задачи воспользуемся закономсохранения момента импульса системы тел «стержень + жук» относительно вертикальной оси в лабораторной инерциальной системе отсчета и условием равенства нулю суммарного момента сил,действующих на эту систему тел относительно оси, жестко связанной с вращающимся стержнем и проходящей через точку подвеса,в неинерциальной системе отсчета.II.
Момент импульса системы тел «стержень + жук» L складывается из моментов импульсов стержня Lст и жука Lж в отдельности. Момент импульса элемента стержня Lст зависит от расстояния между данным элементом и вертикальной осью вращениястержня. Следовательно, для расчета суммарного момента импульса стержня необходимо просуммировать моменты импульсов всехэлементов стержня. Запишем момент импульса системы тел «стержень + жук» в лабораторной инерциальной системе отсчета относительно вертикальной оси вращения:l0L = Lст + Lж = ∫ x sin α0m0dxωx sin α + l sin α mωl sin α =l0⎛1⎞2(7.74)= ω sin 2 α ⎜ m0l0 + ml 2 ⎟ ,⎝3⎠где x − координата элемента стержня длиной dx вдоль стержня относительно точки подвеса.Запишем также закон сохранения момента импульса системытел «стержень + жук» относительно вертикальной оси в лабораторной инерциальной системе отсчета на интервале времени от началаМЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ254движения жука (l = 0, α = α 0 ) до момента достижения им нижнегоконца стержня (l = l0, α = α1 ):112L1 − L0 = ω1 sin 2 α1 (m0 + 3m )l02 − ω0 sin 2 α 0 m0l0 = 0 ,(7.75)33где L0 и ω0 − момент импульса системы тел и Oугловая скорость их вращения в начальныймомент времени, а значения этих величин вFцбжαконечный момент времени − L1 и ω1.Запишем равенство нулю суммы моmgментов внешних сил, действующих на систеdFцбстму тел «стержень + жук», относительно гориdlзонтальной оси, неподвижной в выбраннойнеинерциальной системе отсчета и проходяm0gщей через верхний конец стержня O (см.Рис. 7.14рис. 7.14):стжстжM тж+ M тж+ M цб+ M цб= 0.(7.76)стМоменты сил тяжести, действующих на стержень M тжи жукажM тж, равны:1стM тж= − m0 gl0 sin α ,2жM тж = −mgl sin α .(7.77)(7.78)ж(см.
(4.16) в Главе 4),Момент центробежной силы инерции M цбдействующей на жука, определяется выражением:жM цб= mω 2l 2 sin α cos α .(7.79)Для нахождения суммарного момента сил инерции, дейстст, рассмотрим элемент стержня длиной dx,вующих на стержень M цбнаходящийся на расстоянии x от верхнего конца стержня.
Центробежная сила инерции (см. (4.16)), действующая на этот элемент,равнаmdFцбст = 0 dxω 2 x sin α ,(7.80)l0где x sin α – расстояние от элемента стержня до вертикальной осивращения выбранной неинерциальной системы отсчета.Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии255Момент силы инерции, действующей на элемент стержня,относительно горизонтальной оси, неподвижной в выбранной неинерциальной системе отсчета и проходящей через верхний конецстержня O, можно записать в виде (см. рис.
7.21):mстdM цб= dFцбст x cos α = 0 dxω 2 x 2 sin α cos α .(7.81)l0Интегрируя (7.104) по всей длине стержня, получим суммарный момент сил инерции, действующих на стержень:l0m01dxω 2 x 2 sin α cos α = m0ω 2l02 sin α cos α .l30 0стM цб=∫(7.82)III. Определим взаимосвязь между угловой скоростью вращения стержня (и жука) и угла отклонения стержня от вертикали впроизвольный момент времени.
Решая совместно уравнения(7.76) − (7.79) и (7.82), получаем:3g (m0l0 + 2ml )ω=(7.83).2 m0l02 + 3ml 2 cos α()В соответствии с (7.83) для начального (l = 0, α = α 0 ) и конечного (l = l0, α = α1 ) моментов времени можно записать:ω0 =3g,2l0 cos α 0(7.84)ω1 =3 g (m0 + 2m ).2l0 cos α1 (m0 + 3m )(7.85)Преобразуя закон сохранения момента импульса системы тел«стержень + жук» (7.75), получаем:ω1 sin 2 α1 (m0 + 3m ) − ω0 sin 2 α 0 m0 = 0 .(7.86)Подстановка (7.84) и (7.85) в (7.86) дает квадратное уравнение для определения искомой массы жука m:sin 4 α 0 cos α1 ⎞2⎛⎟=0.6m 2 + 5m0 m + m0 ⎜⎜1 −⋅(7.87)4⎟⎝ sin α1 cos α 0 ⎠Решая уравнение (7.87), окончательно получим:1⎛sin 4 α cos α1 ⎞⎟m = ⎜ − 5 + 1 + 24 4 0 ⋅m0 .12 ⎜⎝sin α1 cos α 0 ⎟⎠(7.88)МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ256Воспользовавшись численными значениями физических величин, заданных в условии задачи, находимm ≈ 0,32 m0 = 3,2 г .Задача 7.6Спутник массой m движется по эллиптической траекториивокруг планеты, находящейся в одном из ее фокусов (см. рис. 7.15).υ1υmrMr2r1υ2Рис. 7.15Известны наименьшее r1 и наибольшее r2 расстояния отспутника до центра планеты, а также модуль его скорости υ1 в наиболее близкой к планете точке траектории. Найти массу планетыM, а также радиусы кривизны траектории спутника и в наиболееблизкой R1 и наиболее удаленной R2 от планеты точках его траектории.РешениеI. Лабораторную систему отсчета, связанную с планетой, будем считать инерциальной.
При дальнейшем рассмотрении будемсчитать спутник материальной точкой, а планету − сферическисимметричным телом. Движение спутника по эллиптической траектории происходит под действием одной силы – силы гравитационного взаимодействия (см. п. 2.1.2.А в Главе 2) спутника и планеты.
Поскольку эта сила является центральной (п. 3.1.2.А в Главе 3),то момент импульса спутника относительно оси, проходящей черезцентр планеты перпендикулярно плоскости траектории спутника, всоответствии с законом сохранения момента импульса механической системы относительно оси (см. п.
7.1. Теоретический материал) не меняется со временем.Будем считать, что система тел «спутник + планета» являетсяизолированной, а центральные силы взаимодействия тел системы −Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии257потенциальны (п. 3.1.2.А в Главе 3). В этом случае можно воспользоваться законом сохранения механической энергии рассматриваемой системы (п. 7.1. Теоретический материал).II. Запишем закон сохранения момента импульса спутникаотносительно оси, проходящей через центр планеты перпендикулярно плоскости траектории спутника (см. рис. 7.15), для моментоввремени нахождения спутника на минимальном r1 и максимальномr2 расстоянии от планеты:r2 mυ 2 − r1mυ1 = 0 ,(7.89)где υ 2 − модуль скорости спутника при максимальном удалении отпланеты.
При записи (7.89) было учтено, что скорость υ и радиусвектор r спутника относительно центра планеты в рассматриваемые моменты времени взаимно перпендикулярны. Заметим, что востальные моменты времени угол между скоростью υ и радиусвектором r не равен π / 2 (рис. 7.15).Запишем закон сохранения механической энергии системытел «спутник + планета» для моментов времени нахождения спутника на минимальном r1 и максимальном r2 расстоянии от планеты:mυ 22mυ12+ E2p −− E1p = 0 .(7.90)22Здесь E1p и E2p − потенциальные энергии системы тел «спутник + планета» в рассматриваемые моменты времени.Определим потенциальную энергию системы при произвольном расстоянии r между спутником и центром планеты.Выберем ноль отсчета потенциальной энергии, соответствующий положению спутника на физически бесконечно большомрасстоянии от планеты.
Тогда в соответствии с определением потенциальной энергии механической системы (см. (3.32) в Главе 3)можно записать:∞mMmMd r = −G.(7.91)2rrrСледовательно, потенциальная энергия системы тел «спутник + планета» в моменты нахождения спутника на минимальномr1 и максимальном r2 расстоянии от планеты равна:mM,(7.92)E1P = −Gr1E = ∫−GpМЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ258mM.(7.93)r2Для определения радиуса кривизны траектории спутника запишем уравнение его движения в проекции на нормальную ось,направленную к центру кривизны траектории перпендикулярноскорости спутника, в рассматриваемые моменты времени:mMυ2m 1 =G 2 ,(7.94)R1r1E2P = −Gυ 22mM.(7.95)R2r22III. Решая записанную в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
