1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 36
Текст из файла (страница 36)
7.18):M = [ΩL] ,(7.113)где M − сумма моментов внешних сил, действующих на гироскоп,Ω − угловая скорость прецессии.Дополним это уравнение выражением (7.18) для момента импульса гироскопа относительно его собственной оси OO':L = J 0ω .(7.114)Здесь момент инерции гироскопа, представляющего собой однородный диск, закрепленный на невесомом стержне, в соответствиис формулой (6.44) в Главе 6 равенm R2J0 = 0 ,(7.115)2а угловая скорость вращения гироскопа ω связана с числом егооборотов n вокруг собственной оси соотношением:ω = 2πn .(7.116)Подвешенные к стержню гироскопа тела массой m0 и m неперемещаются вдоль вертикальной оси CD в процессе движениягироскопа, поэтому в соответствии со вторым законом Ньютонасила натяжения нити подвеса тел F равнаF = (m0 + m )g .(7.117)Глава 7.
Законы сохранения момента импульса и механической энергии265Сумма моментов силы тяжести, действующей на диск гироскопа массой m0, и силы натяжения нити подвеса тел массой m0 и mотносительно точки пересечения осей вращения OO' и CD гироскопа направлена вдоль оси AB (см. рис.
7.22) и равна по модулюM = −m0 gl + (m0 + m )gl = mgl .(7.118)CΩMOBLO'ADРис. 7.22Вследствие быстрого вращения гироскопа вокруг своей осиего момент импульса будем считать направленным вдоль оси вращения OO' (рис. 7.22). При этом угловая скорость прецессии Ω всоответствии с (7.113) направлена вдоль оси CD (рис. 7.22).Подставляя (7.114) – (7.118) в (7.113) с учетом направлениявекторов M , L и Ω , для модуля угловой скорости прецессии гироскопа Ω получаем:Mmgl=.(7.119)Ω=L πnm0 R 2Искомый период вращения гироскопа вокруг оси CD в соответствии с (7.118) равен:m R22πT== 2π 2 n 0 .(7.120)mglΩПодставляя численные значения физических величин, заданных в условии задачи, получимT = 12,5 c .266МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ7.4. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 1Диск, вращающийся с угловой скоростью ω1 вокруг вертикальной оси, проходящий через его центр масс, падает на другойдиск, вращающийся на гладкой горизонтальной поверхности с угловой скоростью ω2 вокруг той же оси (см.
рис.). Моменты инерции дисков относительно оси вращеω1ния равны J1 и J2. После паденияJ1верхнего диска на нижний оба диска,благодаря трению между ними, черезω2некоторое время стали вращаться какJ2единое целое. Найти работу A, которую совершили при этом силы трения,действующие между дисками.1 JJОтвет: A = ⋅ 1 2 (ω1 − ω2 ) 2 .2 J1 + J 2Задача 2По внутренней поверхности конической воронки, стоящей вертикально, без трения скользит маленький шарик (см.
рис.). Вначальный момент времени шарик находитсяна высоте h0 и имеет скорость υ0, направлен- hυ0ную горизонтально. На какую максимальнуюh0высоту h поднимется шарик в процессе движения? Чему равна его скорость υ на этойвысоте?8 gh ⎞υ2 ⎛Ответ: h = 0 ⎜1 + 1 + 2 0 ⎟ ; скорость шарика направлена гори4 g ⎜⎝υ0 ⎟⎠8 ghυзонтально и ее модуль равен: υ = 0 1 + 2 0 .2υ0Задача 3Тонкая палочка длиной l и массой m лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Пуля массой m0 = m / 8 , летевшая перпен-Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии267дикулярно палочке и параллельно поверхности со скоростью υ0,попадает в палочку на расстоянии l0 = l / 4 от ее конца и застреваетв ней.
Найти угловую скорость вращения системы тел после соударения.4 υОтвет: ω = ⋅ 0 .13 lЗадача 4На гладком горизонтальном стержне, вращающемся вокругвертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω, на расстоянии l0 от оси находится муфта массой m (см. рис.). В некоторыймомент времени муфте сообщают скорость υ0 = l0ω вдоль стержня, направl0ленную от оси вращения. Какой мо- ωυ0мент сил M должен быть приложен кстержню для того, чтобы он продолжалmравномерное вращение? Как меняетсярасстояние муфты от оси вращения взависимости от времени?2Ответ: M (t ) = 2ml0 ω 2e 2ωt , l (t ) = l0 eωt .Задача 5Корабль движется со скоростью υ = 40 км/час по дуге окружности радиуса R = 300 м.
Найти момент гироскопических силMГ, действующих на подшипники двигателя корабля со стороныротора, который имеет момент инерции относительно оси вращения J0 = 3,6⋅103 кг⋅м2 и делает n = 150 об./мин. Ось вращения расположена вдоль корабля.Ответ: M Г = 2πnJ 0υR= 2,1⋅103 Н ⋅ м .Задача 6Гироскоп массой m = 0,5 кг вращается с угловой скоростьюω = 200 рад/с. Момент инерции гироскопа J = 5 10-4 кг м2. Угловаяскорость прецессии в поле сил тяжести Земли Ω = 0,5 рад/с.
Уголмежду вертикалью и осью гироскопа α = 30 0 . Определить расстоя-268МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧние l от точки опоры до центра масс и угловое ускорение гироскопа.ΩJωОтвет: l == 0,5 см, β = ωΩ sin α = 50 рад/с2.mgЗадача 7Горизонтальный желоб состоит издвух взаимно перпендикулярных досок.Сплошной однородный цилиндр раскрутили до угловой скорости ω и поместилив желоб так, как показано на рисунке.Коэффициент трения между стенкамижелоба и цилиндром равен μ. Найтивремя вращения цилиндра в желобе.2 RωОтвет: T =⋅.4 gμωRmgЗадача 8Волчок массой m, опирающийся о горизонтальную поверхность, вращается с угловой скоростью ω воωкруг своей геометрической оси (см. рис.).Момент инерции волчка относительно указанной оси равен J, расстояние от точки опоры до центра масс волчка – l.
Найти угловуюскорость прецессии волчка под действиемсилы тяжести.mglОтвет: Ω =.JωЗадача 9В точке A подвешены шарик на нитидлиной l и однородный стержень длиной L.Стержень отклоняют в сторону на некоторыйугол и отпускают без начальной скорости. Вположении равновесия стержень упруго соударяется с шариком. При каком соотношении между массами стержня M и шарика mAM, LlmГлава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии269стержень после удара остановится?Ml2=3 2 .Ответ:mLЗадача 10Частица массой m движется по эллиптической траекториипод действием центральной упругой силы F = −kr .
Минимальнаяскорость частицы достигается при значении ее радиус-вектораr = r0 относительно силового центра, совпадающего с одним изфокусов эллипса. Найти модуль максимальной скорости частицыυ max .Ответ:υ max =kr0 .mЗадача 11Две одинаковые шайбы скользят навстречу друг другу погладкой горизонтальной поверхности со скоростями υ1 и υ 2 , вра-щаясь с угловыми скоростями ω1 и ω 2 (см. рис.).
В некоторый момент времени происходит их центральное абсолютно неупругоесоударение, в результате которого шайбы начинают скользить поповерхности и вращаться вместе. Считая известными массу m ирадиус R каждой из шайб, найти изменение кинетической энергиишайб ΔE k и угловую скорость их вращения ω после соударения.ω1[υ1 υ 2ω2]m6(υ1 + υ 2 ) 2 + 6 R 2 (ω12 + ω22 ) − R 2 (ω1 + ω2 ) 2 ,24ω1 + ω2.ω=6Ответ: ΔE k = −МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ270ГЛАВА 8СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМС ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ.
РЕЗОНАНС8.1. Теоретический материалМеханические колебания – это повторяющееся ограниченное движение тел механической системы относительно некоторогосвоего положения. При этом обобщенные координаты, определяющие положения тел системы в пространстве (см. п. 6.1.1 в Главе 6), ограничено изменяются около некоторого своего значения(см. рис. 8.1).ξ (t )tРис. 8.1. Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) отвремени в случае колебанийПериодический механический процесс – движение тел механической системы, точно повторяющееся во времени. Для системы с одной степенью свободы, этот колебательный процесс можетбыть описан одной физической величиной ξ (t ) , периодически зависящей от времени (см.
рис. 8.2).ξ (t )TtРис. 8.2. Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) отвремени в случае периодического процессаПериод T – минимальный интервал времени, через которыйпроцесс в точности повторяется (рис. 8.2).ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания271Гармонические колебания – процесс, при котором физическая величина ξ (t ) меняется по гармоническому закону (см.рис. 8.3).ξ (t )TtРис.
8.3. Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) отвремени в случае гармонических колебанийСвободные (собственные) колебания – колебания системы,предоставленной самой себе (при постоянных внешних условиях).8.1.1. Собственные гармонические колебанияУравнение собственных гармонических колебаний, которое следует из уравнений движения механической системы, имеетвид:ξ&& + ω02ξ = 0 ,(8.1)где ξ – одна из обобщенных координат – независимых физических величин, определяющих положение тел системы; ω0 – угло2πвая частота и T0 =– период собственных гармонических ко-ω0лебаний, определяемые характеристиками системы.Закон движения при собственных гармонических колебаниях (зависимость обобщенной координаты от времени) – решениеуравнения собственных гармонических колебаний:ξ (t ) = A cos(ω0t + ϕ0 ) .(8.2)Здесь (ω0t + ϕ 0 ) – фаза колебаний; A – амплитуда и ϕ 0 – начальная фаза собственных гармонических колебаний, определяемые начальными условиями – значениями физической величиныξ 0 ≡ ξ (t = t0 ) и скоростью ее изменения ξ&0 ≡ ξ&(t = t0 ) в начальныймомент времени t0:МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ2722⎛ ξ& ⎞A = ξ + ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ,⎝ ω0 ⎠20(8.3)⎛ ξ&0 ⎞⎟.(8.4)⎟⎝ ω0ξ 0 ⎠Скорость изменения обобщенной координаты ξ& (обобщенная скорость):ξ&(t ) = − Aω0 sin (ω0 t + ϕ 0 ) .(8.5)Как видим, в случае гармонических колебаний амплитудыобобщенной скорости и обобщенной координаты связаны множителем ω0 , а фаза обобщенной скорости опережает фазу обобщенной координаты на π/2.Необходимые условия существования собственных гармонических колебаний:1) наличие положения устойчивого равновесия,2) наличие возвращающей квазиупругой обобщенной силы.В качестве примера рассмотрим колебания пружинного, математического и физического маятников.Пружинный маятник − это тело, прикрепленное к невесомой пружине (см. рис.
8.4).mkϕ 0 = −ω0 t0 − arctg⎜⎜Fупр0xXРис. 8.4. Пружинный маятникРассмотрим случай горизонтального расположения пружинного маятника на гладкой горизонтальной поверхности. Ось X лабораторной инерциальной системы отсчета, связанной с горизонтальной поверхностью, направим вдоль оси пружины, а ее началоГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания273отсчета совместим с центром масс тела в положении равновесия,соответствующего нерастянутой пружине (рис.
8.4).На тело в процессе колебаний действует упругая сила Fупр состороны пружины, удовлетворяющая закону Гука (см.п. 2.1. Теоретический материал в Главе 2). Уравнение движениятела в проекции на ось X выбранной системы отсчета имеет вид:m&x& = −kx ,(8.6)где m − масса тела, k − коэффициент жесткости пружины.Преобразуем (8.6) к виду уравнения гармонических колебаний:k&x& + x = 0 .(8.7)mСравнивая (8.7) с (8.1), для угловой частоты колебаний пружинного маятника получим:kω0 =.(8.8)mЗаметим, что при вертикальном расположении пружинногомаятника его частота не изменится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
