Главная » Просмотр файлов » 1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107

1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 36

Файл №825033 1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (Русаков метод реш зад механике) 36 страница1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033) страница 362021-01-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

7.18):M = [ΩL] ,(7.113)где M − сумма моментов внешних сил, действующих на гироскоп,Ω − угловая скорость прецессии.Дополним это уравнение выражением (7.18) для момента импульса гироскопа относительно его собственной оси OO':L = J 0ω .(7.114)Здесь момент инерции гироскопа, представляющего собой однородный диск, закрепленный на невесомом стержне, в соответствиис формулой (6.44) в Главе 6 равенm R2J0 = 0 ,(7.115)2а угловая скорость вращения гироскопа ω связана с числом егооборотов n вокруг собственной оси соотношением:ω = 2πn .(7.116)Подвешенные к стержню гироскопа тела массой m0 и m неперемещаются вдоль вертикальной оси CD в процессе движениягироскопа, поэтому в соответствии со вторым законом Ньютонасила натяжения нити подвеса тел F равнаF = (m0 + m )g .(7.117)Глава 7.

Законы сохранения момента импульса и механической энергии265Сумма моментов силы тяжести, действующей на диск гироскопа массой m0, и силы натяжения нити подвеса тел массой m0 и mотносительно точки пересечения осей вращения OO' и CD гироскопа направлена вдоль оси AB (см. рис.

7.22) и равна по модулюM = −m0 gl + (m0 + m )gl = mgl .(7.118)CΩMOBLO'ADРис. 7.22Вследствие быстрого вращения гироскопа вокруг своей осиего момент импульса будем считать направленным вдоль оси вращения OO' (рис. 7.22). При этом угловая скорость прецессии Ω всоответствии с (7.113) направлена вдоль оси CD (рис. 7.22).Подставляя (7.114) – (7.118) в (7.113) с учетом направлениявекторов M , L и Ω , для модуля угловой скорости прецессии гироскопа Ω получаем:Mmgl=.(7.119)Ω=L πnm0 R 2Искомый период вращения гироскопа вокруг оси CD в соответствии с (7.118) равен:m R22πT== 2π 2 n 0 .(7.120)mglΩПодставляя численные значения физических величин, заданных в условии задачи, получимT = 12,5 c .266МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ7.4. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 1Диск, вращающийся с угловой скоростью ω1 вокруг вертикальной оси, проходящий через его центр масс, падает на другойдиск, вращающийся на гладкой горизонтальной поверхности с угловой скоростью ω2 вокруг той же оси (см.

рис.). Моменты инерции дисков относительно оси вращеω1ния равны J1 и J2. После паденияJ1верхнего диска на нижний оба диска,благодаря трению между ними, черезω2некоторое время стали вращаться какJ2единое целое. Найти работу A, которую совершили при этом силы трения,действующие между дисками.1 JJОтвет: A = ⋅ 1 2 (ω1 − ω2 ) 2 .2 J1 + J 2Задача 2По внутренней поверхности конической воронки, стоящей вертикально, без трения скользит маленький шарик (см.

рис.). Вначальный момент времени шарик находитсяна высоте h0 и имеет скорость υ0, направлен- hυ0ную горизонтально. На какую максимальнуюh0высоту h поднимется шарик в процессе движения? Чему равна его скорость υ на этойвысоте?8 gh ⎞υ2 ⎛Ответ: h = 0 ⎜1 + 1 + 2 0 ⎟ ; скорость шарика направлена гори4 g ⎜⎝υ0 ⎟⎠8 ghυзонтально и ее модуль равен: υ = 0 1 + 2 0 .2υ0Задача 3Тонкая палочка длиной l и массой m лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Пуля массой m0 = m / 8 , летевшая перпен-Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии267дикулярно палочке и параллельно поверхности со скоростью υ0,попадает в палочку на расстоянии l0 = l / 4 от ее конца и застреваетв ней.

Найти угловую скорость вращения системы тел после соударения.4 υОтвет: ω = ⋅ 0 .13 lЗадача 4На гладком горизонтальном стержне, вращающемся вокругвертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω, на расстоянии l0 от оси находится муфта массой m (см. рис.). В некоторыймомент времени муфте сообщают скорость υ0 = l0ω вдоль стержня, направl0ленную от оси вращения. Какой мо- ωυ0мент сил M должен быть приложен кстержню для того, чтобы он продолжалmравномерное вращение? Как меняетсярасстояние муфты от оси вращения взависимости от времени?2Ответ: M (t ) = 2ml0 ω 2e 2ωt , l (t ) = l0 eωt .Задача 5Корабль движется со скоростью υ = 40 км/час по дуге окружности радиуса R = 300 м.

Найти момент гироскопических силMГ, действующих на подшипники двигателя корабля со стороныротора, который имеет момент инерции относительно оси вращения J0 = 3,6⋅103 кг⋅м2 и делает n = 150 об./мин. Ось вращения расположена вдоль корабля.Ответ: M Г = 2πnJ 0υR= 2,1⋅103 Н ⋅ м .Задача 6Гироскоп массой m = 0,5 кг вращается с угловой скоростьюω = 200 рад/с. Момент инерции гироскопа J = 5 10-4 кг м2. Угловаяскорость прецессии в поле сил тяжести Земли Ω = 0,5 рад/с.

Уголмежду вертикалью и осью гироскопа α = 30 0 . Определить расстоя-268МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧние l от точки опоры до центра масс и угловое ускорение гироскопа.ΩJωОтвет: l == 0,5 см, β = ωΩ sin α = 50 рад/с2.mgЗадача 7Горизонтальный желоб состоит издвух взаимно перпендикулярных досок.Сплошной однородный цилиндр раскрутили до угловой скорости ω и поместилив желоб так, как показано на рисунке.Коэффициент трения между стенкамижелоба и цилиндром равен μ. Найтивремя вращения цилиндра в желобе.2 RωОтвет: T =⋅.4 gμωRmgЗадача 8Волчок массой m, опирающийся о горизонтальную поверхность, вращается с угловой скоростью ω воωкруг своей геометрической оси (см. рис.).Момент инерции волчка относительно указанной оси равен J, расстояние от точки опоры до центра масс волчка – l.

Найти угловуюскорость прецессии волчка под действиемсилы тяжести.mglОтвет: Ω =.JωЗадача 9В точке A подвешены шарик на нитидлиной l и однородный стержень длиной L.Стержень отклоняют в сторону на некоторыйугол и отпускают без начальной скорости. Вположении равновесия стержень упруго соударяется с шариком. При каком соотношении между массами стержня M и шарика mAM, LlmГлава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии269стержень после удара остановится?Ml2=3 2 .Ответ:mLЗадача 10Частица массой m движется по эллиптической траекториипод действием центральной упругой силы F = −kr .

Минимальнаяскорость частицы достигается при значении ее радиус-вектораr = r0 относительно силового центра, совпадающего с одним изфокусов эллипса. Найти модуль максимальной скорости частицыυ max .Ответ:υ max =kr0 .mЗадача 11Две одинаковые шайбы скользят навстречу друг другу погладкой горизонтальной поверхности со скоростями υ1 и υ 2 , вра-щаясь с угловыми скоростями ω1 и ω 2 (см. рис.).

В некоторый момент времени происходит их центральное абсолютно неупругоесоударение, в результате которого шайбы начинают скользить поповерхности и вращаться вместе. Считая известными массу m ирадиус R каждой из шайб, найти изменение кинетической энергиишайб ΔE k и угловую скорость их вращения ω после соударения.ω1[υ1 υ 2ω2]m6(υ1 + υ 2 ) 2 + 6 R 2 (ω12 + ω22 ) − R 2 (ω1 + ω2 ) 2 ,24ω1 + ω2.ω=6Ответ: ΔE k = −МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ270ГЛАВА 8СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМС ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ.

РЕЗОНАНС8.1. Теоретический материалМеханические колебания – это повторяющееся ограниченное движение тел механической системы относительно некоторогосвоего положения. При этом обобщенные координаты, определяющие положения тел системы в пространстве (см. п. 6.1.1 в Главе 6), ограничено изменяются около некоторого своего значения(см. рис. 8.1).ξ (t )tРис. 8.1. Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) отвремени в случае колебанийПериодический механический процесс – движение тел механической системы, точно повторяющееся во времени. Для системы с одной степенью свободы, этот колебательный процесс можетбыть описан одной физической величиной ξ (t ) , периодически зависящей от времени (см.

рис. 8.2).ξ (t )TtРис. 8.2. Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) отвремени в случае периодического процессаПериод T – минимальный интервал времени, через которыйпроцесс в точности повторяется (рис. 8.2).ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания271Гармонические колебания – процесс, при котором физическая величина ξ (t ) меняется по гармоническому закону (см.рис. 8.3).ξ (t )TtРис.

8.3. Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) отвремени в случае гармонических колебанийСвободные (собственные) колебания – колебания системы,предоставленной самой себе (при постоянных внешних условиях).8.1.1. Собственные гармонические колебанияУравнение собственных гармонических колебаний, которое следует из уравнений движения механической системы, имеетвид:ξ&& + ω02ξ = 0 ,(8.1)где ξ – одна из обобщенных координат – независимых физических величин, определяющих положение тел системы; ω0 – угло2πвая частота и T0 =– период собственных гармонических ко-ω0лебаний, определяемые характеристиками системы.Закон движения при собственных гармонических колебаниях (зависимость обобщенной координаты от времени) – решениеуравнения собственных гармонических колебаний:ξ (t ) = A cos(ω0t + ϕ0 ) .(8.2)Здесь (ω0t + ϕ 0 ) – фаза колебаний; A – амплитуда и ϕ 0 – начальная фаза собственных гармонических колебаний, определяемые начальными условиями – значениями физической величиныξ 0 ≡ ξ (t = t0 ) и скоростью ее изменения ξ&0 ≡ ξ&(t = t0 ) в начальныймомент времени t0:МЕХАНИКА.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ2722⎛ ξ& ⎞A = ξ + ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ,⎝ ω0 ⎠20(8.3)⎛ ξ&0 ⎞⎟.(8.4)⎟⎝ ω0ξ 0 ⎠Скорость изменения обобщенной координаты ξ& (обобщенная скорость):ξ&(t ) = − Aω0 sin (ω0 t + ϕ 0 ) .(8.5)Как видим, в случае гармонических колебаний амплитудыобобщенной скорости и обобщенной координаты связаны множителем ω0 , а фаза обобщенной скорости опережает фазу обобщенной координаты на π/2.Необходимые условия существования собственных гармонических колебаний:1) наличие положения устойчивого равновесия,2) наличие возвращающей квазиупругой обобщенной силы.В качестве примера рассмотрим колебания пружинного, математического и физического маятников.Пружинный маятник − это тело, прикрепленное к невесомой пружине (см. рис.

8.4).mkϕ 0 = −ω0 t0 − arctg⎜⎜Fупр0xXРис. 8.4. Пружинный маятникРассмотрим случай горизонтального расположения пружинного маятника на гладкой горизонтальной поверхности. Ось X лабораторной инерциальной системы отсчета, связанной с горизонтальной поверхностью, направим вдоль оси пружины, а ее началоГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания273отсчета совместим с центром масс тела в положении равновесия,соответствующего нерастянутой пружине (рис.

8.4).На тело в процессе колебаний действует упругая сила Fупр состороны пружины, удовлетворяющая закону Гука (см.п. 2.1. Теоретический материал в Главе 2). Уравнение движениятела в проекции на ось X выбранной системы отсчета имеет вид:m&x& = −kx ,(8.6)где m − масса тела, k − коэффициент жесткости пружины.Преобразуем (8.6) к виду уравнения гармонических колебаний:k&x& + x = 0 .(8.7)mСравнивая (8.7) с (8.1), для угловой частоты колебаний пружинного маятника получим:kω0 =.(8.8)mЗаметим, что при вертикальном расположении пружинногомаятника его частота не изменится.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,55 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее