1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Решение системы уравнений (7.34) – (7.38) относительноискомых величин имеет вид:(m − M ) J 0 + Mml 2υ′ = υ,(7.39)(m + M ) J 0 + Mml 2m2 MJ 0υ ′′ = υ ⋅,(7.40)M (m + M ) J 0 + Mml 2ml2 MJ 0ω =υ ⋅,(7.41)J 0 (m + M ) J 0 + Mml 2⎛ 12mMJ 0lL ⎞⎜ −⎟.(7.42)2 ⎜(m + M ) J 0 + Mml ⎝ M 2 J 0 ⎟⎠Расстояние l от точки соударения до начала координат, прикотором шайба остановится после удара, найдем из (7.39) приυ ′ = 0 с учетом (7.37):M −m.(7.43)l=L12mКак следует из (7.40), максимальное значение скорости центра стержня достигается при l = 0. При этом условии шайба передаст стержню максимальный импульс.Значение l, при котором скорость точки A сразу после ударабудет равна нулю, находим из (7.42) с учетом (7.37):1l = L.(7.44)6После попадания шайбы в точку с такими координатамистержень сразу после удара будет совершать только вращательноеυA =Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии245движение вокруг мгновенной оси вращения, проходящей черезточку A.Ответ:M −m1) шайба остановится сразу после удара, если l = L;12m2) шайба передаст стержню максимальный импульс, если онапопадет в центр масс стержня (l = 0);3) скорость точки A сразу после удара будет равна нулю при1условии l = L .6Задача 7.3Два одинаковых однородных вращающихся тела сферической формы массой m и радиусом r движутся навстречу друг другус одинаковыми по модулю скоростями υ 0 .
Угловые скорости вращения тел, ω1 и ω2 , составляют угол α и равны по модулюω1 = ω2 = ω0 . В результате лобового абсолютно неупругого соударения образуется одно тело той же плотности, форму которогоможно также считать сферической. Определить угловую скоростьω вращения образовавшегося тела и изменение кинетическойэнергии системы ΔE k .РешениеI.
Система двух тел в данной задаче предполагается изолированной. Следовательно, суммарный импульс системы и суммарныймомент импульса в лабораторной инерциальной системе отсчетасохраняются. Направим ось X лабораторной системы отсчета вдольлинии, соединяющей центры масс двух тел до соударения.II. Запишем закон сохранения проекции импульса рассматриваемой системы тел на ось X для интервала времени, включающегомомент их соударения:mυ0 − mυ0 = 2mυ ,(7.45)где υ – проекция на ось X скорости поступательного движенияобразовавшегося после соударения тела массой 2m. Как видим,υ = 0 , следовательно, движение образовавшегося тела являетсячисто вращательным.246МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗапишем закон сохранения момента импульса рассматриваемой системы тел относительно их общего центра масс на интервалевремени, включающем момент их соударения:L1 + L2 = L ,(7.46)где L1 и L2 – моменты импульса первого и второго тел до соударения, L – момент импульса образовавшегося тела после соударения. Поскольку скорости тел до соударения направлены вдоль линии, на которой находится центр масс системы, то в соответствии сформулой (6.27) Главы 6 момент импульса каждого из рассматриваемых тел относительно центра масс системы тел равен моментуимпульса тела относительно его центра масс.Моменты импульса каждого из сферически симметричныхтел относительно их собственных центров масс в соответствии сформулой (6.32) Главы 6 равны:L1 = J 0 ω1 ,(7.47)L2 = J 0ω2 ,(7.48)L = Jω ,(7.49)где J 0 и J – моменты инерции каждого из соударяющихся тел иобразовавшегося тела относительно их собственных осей вращения. В соответствии с (6.45):2J 0 = mr 2 ,(7.50)52J = ( 2m ) R 2 .(7.51)5Радиус R образовавшегося тела находим из условия сохранения плотности (а, следовательно, и объема):442 πr 3 = πR 3 .(7.52)33Согласно условию задачи модули угловых скоростей вращения тел до их соударения равны:ω1 = ω2 = ω0 .(7.53)Изменение кинетической энергии рассматриваемой системытел ΔE k в результате их абсолютно неупругого соударения в соответствии с (7.6) равно:Глава 7.
Законы сохранения момента импульса и механической энергии247⎛ mυ0 2 J 0ω0 2 ⎞Jω 2⎟.− 2⎜⎜+(7.54)22 ⎟⎠⎝ 2III. Решая систему уравнений (7.46) – (7.53), получаем модуль угловой скорости вращения образовавшегося в результате соударения тела:3αα2Jω = 2ω0 0 cos = ω0cos .(7.55)222JПоскольку в соответствии с (7.46) – (7.49)Jω = 0 (ω1 + ω2 ) ,(7.56)Jа модули угловых скоростей вращения тел до их соударения равны(7.53), то угловая скорость вращения образовавшегося тела ω направлена по биссектрисе угла α, образованного векторами угловыхскоростей ω1 и ω2 .Искомое изменение кинетической энергии рассматриваемойсистемы тел в результате соударения получим, подставляя (7.55) в(7.54) с учетом (7.50) – (7.52):⎞⎛J2ΔE k = J 0ω02 ⎜ 0 (1 + cos α ) − 1⎟ − mυ0 =⎠⎝ JΔE k ==⎞2 2 2⎛ 3 2(1 + cos α ) − 1⎟⎟ − mυ 0 2 .mr ω0 ⎜⎜5⎠⎝ 4(7.57)Задача 7.4Две одинаковые гантели массой m в виде шариков, соединенных стержнем, скользят по гладкойDгоризонтальной поверхности навстречуυ2друг другу со скоростями υ1 и υ2 так, какCизображено на рис.
7.7. Момент инерцииAкаждой гантели относительно оси, проходящей через ее центр масс перпендикуυ1лярно плоскости чертежа, равен J, а расBстояние между центрами шариков гантели – l. Как будут двигаться гантели послеРис. 7.7абсолютно упругого соударения?МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ248РешениеI. Задачу решаем в двух системах отсчета: лабораторной системе, ось X декартовой системы координат которой направим так,как показано на рис. 7.8, и системе отсчета, связанной с центроммасс системы тел, с осью X', изображенной на рис.
7.9.По условию задачи гантели движутся по гладкой горизонтальной поверхности, следовательно, центр масс системы тел, состоящей из двух гантелей, движется с постоянной скоростью, исистема отсчета, связанная с центром масс, является инерциальной.υ2DDuCAυ1BCXAX'uBРис. 7.8Рис. 7.9Поскольку рассматриваемая система тел замкнута, а соударение абсолютно упругое, то выполняются законы сохранения механической энергии, импульса и момента импульса для этой системы в любой из выбранных систем отсчета.II. По условию задачи в лабораторной системе отсчета гантели движутся поступательно со скоростями υ1 и υ2, следовательно,проекция скорости центра масс на ось X лабораторной системыотсчета (см.
Главу 3) равнаυ −υυцм = 1 2 ,(7.58)2а проекции скоростей центров масс гантелей u1 и u2 на ось X' относительно системы центра масс обеих гантелей определяются выражениями:υ +υu1 = υ1 − υцм = 1 2 = u ,(7.59)2υ +υu2 = −υ 2 − υцм = − 1 2 = −u .(7.60)2Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии249Запишем закон сохранения проекции импульса на ось X' длясистемы двух гантелей на интервале времени, включающем моментих соударения, в выбранной системе центра масс:mu1 + mu2 = mu1′ + mu ′2 ,(7.61)где u1′ и u2′ – скорости центров масс ганDтелей после соударения.ω2u2′В общем случае после соударенияCдвижение каждой гантели будет суперпозицией поступательного движения ее ценAX'u1′тра масс и вращательного движения во- ω1круг оси, проходящей через ее центр массBперпендикулярно поверхности, по котоРис.
7.10рой происходит скольжение гантелей(см. рис. 7.10).Запишем закон сохранения механической энергии системыдвух гантелей на интервале времени, включающем момент соударения, в системе их центра масс, при этом учтем, что при плоскомдвижении твердого тела его кинетическая энергия выражается формулой (7.10):mu12 mu22 mu1′ 2 mu2′2 Jω12 Jω12+=+++.(7.62)222222Здесь ω1 и ω2 – угловые скорости вращения гантелей после соударения.Запишем также закон сохранения момента импульса системыдвух гантелей относительно оси, проходящей через их центр массперпендикулярно поверхности, по которой происходит скольжениегантелей, на том же интервале времени:llllmu1 + mu2 = mu1′ + Jω1 − mu 2′ + Jω2 .(7.63)2222В (7.63) учтено, что момент импульса гантели относительновыбранной оси в соответствии с формулой (6.23) из Главы 6 равенсумме момента импульса центра масс гантели относительно этойоси в системе центра масс двух гантелей и момента импульса гантели относительно оси, проходящей через ее центр масс, в системеотсчета, связанной с этим центром масс.Учитывая симметрию задачи в системе центра масс двух гантелей, запишем очевидные соотношения между угловыми скоро-МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ250стями вращения гантелей и скоростями их центров масс после соударения (см. рис. 7.11):ω1 = ω2 = ω ,(7.64)u2′ = −u1′ = u′ .(7.65)Du′ωCAu′ωX'BРис. 7.11III. Решим систему уравнений (7.59) – (7.65) относительно′′u1 , u2 , ω1 и ω2 :u1′ = −u2′ =υ1 + υ 2 ml 2 − 4 J(7.66)⋅ 2= u′ ,2ml + 4 J4lmυ +υω1 = ω2 = 1 2 ⋅ 2=ω .(7.67)2ml + 4 JЗаметим, что момент инерции гантели при заданной массе mмаксимален в случае, когда ее масса сосредоточена на концах гантели:22ml⎛l⎞J ≤ 2 m⎜ ⎟ =.(7.68)4⎝2⎠Следовательно, в соответствии с (7.66) u′ = u1′ = −u′2 ≥ 0 (см.рис.
7.11).Скорости центров масс гантелей после соударения в лабораторной системе отсчета равны:υ ml 2 − 4υ 2 J,(7.69)υ1′ = u′ + υцм = 1 2ml + 4 Jυ ml 2 − 4υ1 J.(7.70)υ 2′ = −u′ + υцм = − 2 2ml + 4 JИтак, в результате абсолютно упругого соударения, движение гантелей представляет собой суперпозицию поступательногоГлава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии251движения их центров масс и вращательного движения с одинаковой угловой скоростью относительно осей, проходящих через ихцентры масс (см. рис. 7.12).Dωυ 2′CAυ1′ωBРис.
7.12В случае, когда масса гантели сосредоточена на ее концах,момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс,равен:ml 2(7.71)J=.4При этом скорости центров масс гантелей после первого соударения в лабораторной системе отсчета и угловая скорость их вращения равны:υ −υυ1′ = υ 2′ = 1 2 ,(7.72)2υ +υω= 1 2.(7.73)lВ соответствии с (7.65) скорости центров масс гантелей после соударения в системе центра масс системы тел равны нулю.Следовательно, в рассматриваемом частном случае гантели, вращаясь с одинаковой угловой скоростью, испытают повторное соударение (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
