1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Действительно, уравнениедвижения маятника в этом случае записывается в виде (8.7) привыборе начала отсчета вертикальной координаты тела в положенииего равновесия.Законы движения тела, прикрепленного к пружине, и изменения его скорости аналогично (8.2) и (8.5) запишем в виде:x(t ) = A cos(ω0t + ϕ 0 ) ,(8.9)x& (t ) = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ 0 ) .(8.10)Кинетическая энергия пружинного маятника равна кинетической энергии тела, прикрепленного к пружине:mx& 2 (t ) mA 2ω02E k (t ) ==sin 2 (ω0 t + ϕ 0 ) =222kA=sin 2 (ω0t + ϕ0 ) .(8.11)2Потенциальная энергия пружинного маятника, расположенного горизонтально, равна энергии упругой деформации пружины:kx 2 (t ) kA2E p (t ) ==cos 2 (ω0t + ϕ0 ) .(8.12)22МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ274Кинетическая и потенциальная энергии пружинного маятника изменяются в противофазе по гармоническому закону с частотой2ω0 и одинаковыми амплитудами (см. рис. 8.5). Механическаяэнергия пружинного маятника, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, остается постоянной в процессе колебаний:kA2E = E k (t ) + E p (t ) =.(8.13)2Ek,p(t)0Ek(t)T/2Ep(t)TkРис. 8.5.
Зависимости кинетической E и потенциальной Ep энергий маятника от времени в случае собственных гармонических колебанийМатематический маятник − материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити в поле сил тяжести (см.рис. 8.6).Рассмотрим колебания математического маятника относительно горизонαтальной оси, происходящие в однойlплоскости.FВыберем лабораторную инерциальную систему отсчета, связанную с телом, к которому подвешен математический маятник. Запишем уравнение моmgментов (6.39) для материальной точкиотносительно оси, проходящей черезРис.
8.6. Математическийточку подвеса перпендикулярно плоскомаятниксти колебаний маятника (см. рис. 8.6):dL= M mg ,(8.14)dtГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания275где L = l ( mlα& ) = ml 2α& − момент импульса материальной точки относительно выбранной оси, α − угол отклонения маятника от положения равновесия, m и l − масса и длина математического маятника, M mg = −mgl sin α − момент силы тяжести, действующей наматериальную точку относительно той же оси.При малых углах отклонения маятника уравнение (8.14) сводится к виду уравнения гармонических колебаний (8.1):ml 2α&& = − mgl sin α ,(8.15)gα&& + α = 0 .(8.16)lСравнивая (8.16) с (8.1), для угловой частоты колебаний математического маятника получим:gω0 =.(8.17)lЗаконы движения математического маятника и изменения егоугловой скорости аналогично (8.2) и (8.5) запишем в виде:α (t ) = A cos(ω0t + ϕ0 ) ,(8.18)α& (t ) = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ 0 ) .(8.19)Кинетическая энергия математического маятника равна кинетической энергии материальной точки, подвешенной на нити:ml 2α& 2 mglA2Ek ==sin 2 (ω0 t + ϕ 0 ) .(8.20)22Потенциальная энергия математического маятника равнаэнергии материальной точки в поле силы тяжести Земли.
Если заноль отсчета потенциальной энергии принять положение равновесия маятника, то его потенциальная энергия при отклонении наугол α равна:mglA2E p = mgl (1 − cos α ) ≅cos 2 (ω0t + ϕ 0 ) .(8.21)2Кинетическая и потенциальная энергии математического маятника, так же как и в случае пружинного маятника, изменяются впротивофазе по гармоническому закону с частотой 2ω0 и одинаковыми амплитудами (см. рис. 8.5). Механическая энергия математического маятника не изменяется в процессе колебаний и равна:МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ276mglA2(8.22).2Физический маятник − абсолютно твердое тело, подвешенное в поле сил тяжести (см.
рис. 8.7).Рассмотрим колебания физическогомаятника относительно горизонтальной оси,αв процессе которых все материальные точкиlфизического маятника движутся в паралJ0лельных плоскостях.Выберем лабораторную инерциальнуюmgсистему отсчета, связанную с телом, к которому подвешен физический маятник. ЗапиРис.
8.7. Физическийшем уравнение моментов (6.48) для абсомаятниклютно твердого тела относительно оси, проходящей через точку подвеса перпендикулярно плоскости колебаний маятника (см. рис. 8.7):(8.23)Jα&& = M mg .E = Ek + Ep =Здесь α − угол отклонения маятника от положения равновесия, J −момент инерции физического маятника относительно выбраннойоси, M mg = −mgl sin α − момент силы тяжести, действующей наматериальную точку относительно той же оси, m − масса физического маятника и l − расстояние от центра масс маятника до точкиего подвеса.При малых углах отклонения маятника уравнение (8.23) сводится к виду уравнения гармонических колебаний (8.1):Jα&& = −mgl sin α .(8.24)mglα&& +α =0.(8.25)JСравнивая (8.25) с (8.1), для угловой частоты колебаний физического маятника получим:mgl.(8.26)ω0 =JИспользуя теорему Гюйгенса − Штейнера (6.42), выразим угловую частоту колебаний физического маятника через его моментинерции J 0 относительно оси, проходящей через центр масс параллельно оси вращения:ГЛАВА 8.
Свободные и вынужденные колебания277mgl.(8.27)J 0 + ml 2Заметим, что в случае математического и физического маятников в качестве обобщенной координаты выступает угол отклонения маятника от положения равновесия.Законы движения физического маятника и изменения его угловой скорости идентичны случаю математического маятника:α (t ) = A cos(ω0t + ϕ0 ) ,(8.28)α& (t ) = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ 0 ) .(8.29)Кинетическая энергия физического маятника равна (см. (7.7)в п. 7.1. Теоретический материал Главы 7):Jα& 2 mglA2Ek ==sin 2 (ω0 t + ϕ 0 ) .(8.30)22Если за ноль отсчета потенциальной энергии принять положение равновесия маятника, то его потенциальная энергия при отклонении на угол α можно записать в виде:mglA2E p = mgl (1 − cos α ) ≅cos 2 (ω0t + ϕ 0 ) .(8.31)2Механическая энергия физического маятника равна:mglA2E = Ek + Ep =.(8.32)2ω0 =8.1.2.
Собственные затухающие колебанияУравнение движения в случае собственных затухающих колебаний имеет вид:ξ&&(t ) + 2δξ& + ω02ξ = 0 ,(8.33)где δ – коэффициент затухания (определяется характеристикамисистемы).Решения уравнения (8.33) различны в зависимости от соотношения коэффициента затухания и частоты собственных незатухающих колебаний.Случай собственных затухающих колебаний − с затуханиемменьше критического (δ < ω0).Закон движения в этом случае имеет вид (см. рис. 8.8):МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ278ξ (t ) = Ae −δ t cos(ωt + ϕ 0 ) .(8.34)2π2πЗдесь ω = ω02 − δ 2 и T ==– угловая частота и пеωω02 − δ 2риод затухающих колебаний.ξ (t )tРис. 8.8. Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) отвремени в случае затухающих колебанийЛогарифмический декремент затухания ϑ – логарифм отношения значений обобщенной координаты в моменты времени t иt + T:ξ (t )(8.35)ϑ ≡ ln= δT .ξ (t + T )Заметим, чтоξ (t )ln= NδT = Nϑ .(8.36)ξ (t + NT )Обратная величина логарифмического декремента затуханияравна числу периодов, за которые амплитуда колебаний уменьшится в e ≅ 2.7 раз:1ξ (t )ln= N eϑ = 1 , = N e .(8.37)ϑξ (t + N eT )Средняя механическая энергия ETза период T меняется современем по экспоненциальному закону, поскольку потенциальнаяE p и кинетическая E k энергии механической системы квадратично зависят от обобщенных координат и скоростей:ET= EkT+ EpT= E0 e −2δ t .При этом средняя мощность потерь P(8.38)Tравна:ГЛАВА 8.
Свободные и вынужденные колебания279dETdE=−= 2δ E0e − 2δ t .(8.39)dt TdtДобротность колебательной системы Q определяется отношением средней за период механической энергии системы ксредней мощности потерь:ETπ π ωE0e −2δ t= 2π== =.(8.40)Q ≡ 2π− 2δ tδT ϑ 2δP TT2δE0e TPT≡−Случай апериодического движения − с затуханием большекритического (δ > ω0).Закон движения в этом случае записывается в виде:ξ (t ) = A1e− ⎛⎜ δ + δ 2 −ω 02 ⎞⎟ t⎝⎠− ⎛⎜ δ − δ 2 − ω 02 ⎞⎟ t⎠+ A2e ⎝,(8.41)где A1 и A2 – постоянные величины, определяемые начальными условиями.В зависимости от начальных условий постоянные величиныA1 и A2 могут быть как одного, так и разных знаков.AПри 1 > 0 обобщенная координата ξ (t ) монотонно стреA2мится к нулю при t → ∞ (см.
рис. 8.9).ξ (t )tРис. 8.9. Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) от времениAв случае апериодического движения при 1 > 0A2A1< 0 обобщенная координата ξ (t ) в некоторый моA2мент времени обращается в ноль, затем достигает локального эксПриМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ280тремума и далее монотонно стремится к нулю при t → ∞ (см.рис.
8.10).ξ (t )tРис. 8.10. Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) от времеAни в случае апериодического движения при 1 < 0A2Случай критического затухания (δ = ω0).Закон движения в этом случае имеет вид:ξ (t ) = ( A1 + A2t )e −δ t ,(8.42)где A1 и A2 – постоянные величины, определяемые начальными условиями.Возможные виды зависимости обобщенной координаты отвремени при различных начальных условиях изображены нарис. 8.11.ξ (t )tРис. 8.11. Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) отвремени в случае критического затуханияНезависимо от соотношения коэффициента затухания δ ичастоты собственных незатухающих колебаний ω0 обобщеннаякоордината ξ (t ) стремится к нулю при t → ∞ .ГЛАВА 8.
Свободные и вынужденные колебания2818.1.3. Вынужденные колебания. РезонансУравнение движения в случае вынужденных колебаний поддействием гармонической вынуждающей силы имеет вид:ξ&& + 2δξ& + ω02ξ = B cos( pt ) ,(8.43)где B cos( pt ) – обобщенная вынуждающая сила, B и p – ее амплитуда и частота.В частном случае пружинного маятника в качестве обобщенной вынуждающей силы выступает отношение вынуждающей силы, действующей на тело, прикрепленного к пружине, к массе этого тела.Колебания под действием гармонической вынуждающей силы при δ < ω0 можно представить в виде суперпозиции собственных и вынужденных колебаний. Закон изменения обобщеннойкоординаты в этом случае имеет вид:ξ (t ) = ξ соб (t ) + ξ вын (t ) = ξ соб (t ) + A( p) cos( pt + ϕ ( p) ) .(8.44)Здесь ξ соб (t ) – закон изменения обобщенной координаты при собственных затухающих колебаниях в отсутствии вынуждающей силы, ξ вын (t ) – закон изменения обобщенной координаты после затухания собственных колебаний, A(p) – амплитуда и ϕ(p) – начальнаяфаза установившихся вынужденных колебаний ξ вын (t ) , которыезависят от частоты вынуждающей силы (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
