1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 41
Текст из файла (страница 41)
рис. 8.26):V0x(t ) = xравн +e −δ t sin ω02 − δ 2 t .(8.133)ω02 − δ 2)(x (t )xравнtРис. 8.26Следует отметить, что полученное решение справедливо прималом затухании, когда δ < ω0 (см. п. 8.1.2. Собственные затухающие колебания). Если неравенство не выполняется, то решениемуравнения (8.121) является функция (8.41)⎛⎜ −δ + δ 2 −ω 2 ⎞⎟ t0⎠x(t ) = xравн + A1e ⎝⎛⎜ −δ − δ 2 −ω 2 ⎞⎟ t0⎠+ A2 e ⎝,(8.134)где коэффициенты А1 и А2 определяются начальными условиями(8.129) и (8.130):V0A1 = − A2 =.(8.135)2 δ 2 − ω02При этом закон движения тела принимает вид:⎛⎜ −δ − δ 2 −ω 2 ⎞⎟ t ⎞⎛ ⎛⎜⎝ −δ + δ 2 −ω02 ⎞⎟⎠t0V0⎝⎠ ⎟⎜e−x(t ) = xравн +e⎟ . (8.136)22 ⎜2 δ − ω0 ⎝⎠Выражение (8.136) описывает апериодический процесс (см.рис. 8.27), при котором в системе не возникает колебаний, она экспоненциально приближается к положению равновесия.МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ304x(t )xравнtРис. 8.27Задача 8.7(Свободные затухающие колебания)Тонкий однородный диск массой m и радиусом R, подвешенный в горизонтальном положении к упругой нити, отклонили наугол α 0 от положения равновесия и отпустили с нулевой начальной угловой скоростью. Диск совершает крутильные колебания ввязкой жидкости (см. рис. 8.28). Сила вязкого трения, действующая на единицу площадиповерхности диска со стороны жидкости,равна f в = −ηυ , где η = const , υ – скоростьданного элемента диска относительно жидкости.
Момент упругих сил со стороны нитиРис. 8.28равен M упр = Dα , где D – постоянный коэф-фициент, α – угол поворота диска относительно положения равновесия. Найти закон движения диска.РешениеI. Используем динамический метод решения задачи. Дискбудем считать абсолютно твердым телом. На него действуют трисилы: сила тяжести, упругая сила со стороны нити и сила вязкоготрения, действующая со стороны жидкости. Под действием указанных сил диск совершает затухающие крутильные колебания вокругвертикальной оси, проходящей через центр диска.II. Запишем уравнение моментов (см.
(6.48) в п. 6.1.2. Главы 6) для диска относительно вертикальной оси, проходящей черезего центр:Jα&& = M упр + M в ,(8.137)ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания305где J – момент инерции диска относительно оси вращения, Mв –момент сил вязкого трения. Момент силы тяжести относительноуказанной оси равен нулю.Момент инерции диска относительно его оси, совпадающей сосью вращения, равен (см. (6.44) в Главе 6):mR 2.(8.138)J=2Запишем момент dMв силы трения, действующей на кольцеобразный элемент поверхности диска радиусом r и площадьюdS = 2πrdr:dM в = −2πrdrηυr = −2πr 3ηdrα& .(8.139)Учитывая, что сила вязкого трения действует на обе поверхности диска, найдем суммарный момент сил трения, интегрируя пообеим поверхностям диска:RM в = −2 ⋅ 2πηα& ∫ r 3dr = −πηR 4α& .(8.140)0III. Уравнение движения диска получаем подстановкой(8.140) в (8.137) с учетом (8.138) и заданного в условии задачи выражения для момента упругих сил:2πηR 22Dα&& +α& +α =0.(8.141)mmR 2Сравнивая (8.141) с уравнением затухающих колебаний(8.33), получим выражения для коэффициента затухания δ и частоты собственных незатухающих колебаний диска ω0 :δ=πηR 2,(8.142)m2Dω0 =.(8.143)mR 2В случае слабого затухания ( δ < ω0 ) решение уравнения(8.141) имеет вид (см.
(8.34)):α = Ae −δ t cos(ωt + ϕ0 ) ,(8.144)где ω = ω02 − δ 2 – частота собственных затухающих колебанийдиска, A – амплитуда, ϕ 0 – начальная фаза.С учетом начальных условий, заданных в задаче,МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ306α (t = 0) = α 0 ,α& (t = 0) = 0(8.145)(8.146)находим амплитуду A и начальную фазу ϕ 0 колебаний диска:A = α0 ,(8.147)ϕ0 = 0 .(8.148)Искомый в задаче закон движения диска описывает затухающие колебания относительно положения равновесия (см.рис. 8.29):()α (t ) = α 0 e −δ t cos ω02 − δ 2 t ,(8.149)α (t )α0t0Рис.
8.29Полученное решение справедливо при малом затухании колебаний, когда δ < ω0 (см. п. 8.1.2. Собственные затухающие колебания). Если неравенство не выполняется, то решением уравнения(8.141) является функция (8.41)⎛⎜ − δ + δ 2 − ω 2 ⎞⎟ t0⎠α (t ) = A1e⎝⎛⎜ − δ − δ 2 − ω 2 ⎞⎟ t0⎠+ A2 e⎝,(8.150)где коэффициенты A1 и A2 определяются начальными условиями(8.145) и (8.146):⎞α ⎛δ⎟.A1 = 0 ⎜1 +(8.151)22 ⎟2 ⎜−δω0⎝⎠⎞α ⎛δ⎟.A2 = 0 ⎜1 −(8.152)22⎜⎟2−δω0 ⎠⎝При этом закон движения диска в жидкости принимает вид:ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания⎞ ⎛⎜ −δ + δ 2 −ω 02 ⎞⎟t⎟e ⎝⎠+22 ⎟2 ⎜−δω0 ⎠⎝⎞ ⎛⎜ −δ − δ 2 −ω02 ⎞⎟tα ⎛δ⎟e ⎝⎠+ 0 ⎜1 −.(8.153)22 ⎟2 ⎜−δω0 ⎠⎝Выражение (8.153) описывает апериодический процесс (см.рис.
8.30), при котором в системе не возникает колебаний, она экспоненциально приближается к положению равновесия.α (t ) =α 0 ⎛⎜3071+δα (t )α0t0Рис. 8.30Задача 8.8(Вынужденные колебания, резонанс)Тело массой m = 100 г, подвешенное на легкой пружине жесткостью k = 40 Н/м, совершает установившиеся колебания поддействием вертикальной вынуждающей силы F = F0 cos pt , частотакоторой p = 25 рад/с и амплитуда F0 = 1 Í . Смещение тела из положения равновесия отстает по фазе от вынуждающей силы наϕ = −3π / 4 .
Определить добротность колебательной системы Q , атакже резонансную частоту pрез , соответствующие резонансу сме-щения, и амплитуду смещения при резонансе Aрез .РешениеI. На тело, подвешенное на пружине действуют четыре силы:сила тяжести, сила упругости со стороны пружины, сила сопротивления воздуха и вынуждающая сила F = F0 cos p t . Как было отмечено в п. 8.1.1, постоянная сила тяжести не влияет на частоту собственных колебаний, она лишь смещает положение равновесия.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ308Поэтому решение задачи будет справедливо как при вертикальных,так и при горизонтальных колебаниях тела на пружине. По условию задачи пружина легкая, ее массой пренебрегаем, считая ееравной нулю.II. Искомая добротность колебательной системы определяется выражением (8.40):Q=ω.2δ(8.154)Здесь ω – частота собственных затухающих колебаний тела, которая в соответствии с п.
8.1.2 равна:ω = ω02 − δ 2 .(8.155)Частота собственных незатухающих колебаний ω0 тела наневесомой пружине (см. (8.8)) определяется массой тела m и коэффициентом жесткости пружины k:k.(8.156)ω0 =mКоэффициент затухания δ, входящий в формулы (8.154) и(8.155), определяет заданный в условии задачи фазовый сдвиг ϕмежду смещением и вынуждающей силой в соответствии с выражением (8.46):2δptg ϕ = 2.(8.157)p − ω02Искомая резонансная частота при резонансе смещения в соответствии с (8.48) определяется выражением:pрез = ω02 − 2δ 2 .(8.158)При резонансной частоте искомая амплитуда вынужденныхколебаний (см.
(8.49)) равна:F0Aрез = A( pрез ) =.(8.159)2δm ω02 − δ 2Получена полная система уравнений (8.154) – (8.159) относительно неизвестных в задаче величин – добротности Q , резонансной частоты pрез и амплитуды смещения при резонансе Aрез .III. Совместное решение уравнений (8.154) – (8.157) дает выражение для добротности колебательной системы:ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебанияQ=ω02 p 2tg 2ϕ ( p 2 − ω02 ) 2−30911kmp 2=− .22244tg ϕ (mp − k )(8.160)Искомую резонансную частоту pрез находим, решая системууравнений (8.156) – (8.158):pрез(tg 2ϕ ( p 2 − ω02 ) 2k tg 2ϕ mp 2 − k= ω −=−m2 p22m 2p 220)2.(8.161)Амплитуду смещения при резонансе Aрез определяем, решаясистему уравнений (8.156), (8.157) и (8.159):F0 pAрез = A( pрез ) ==tg 2ϕ ( p 2 − ω02 ) 2222m( p − ω0 ) tgϕ ω0 −4 p2=F0 p(k tg 2ϕ mp 2 − k(mp 2 − k ) tgϕ−m4m 2 p 2)2.(8.162)Подставляя численные значения заданных в условии задачивеличин в полученные формулы (8.160) − (8.162), получаем:Q ≈ 2,17 ; pрез ≈ 19,0 рад/с ; Aрез ≈ 5,7 см .Задача 8.9(Вынужденные колебания, резонанс)Горизонтальный пружинный маятник совершает вынужденныеколебанияподдействиемгармоническойсилыF (t ) = F0 cos(pt) .
Коэффициент затухания маятника равен δ , а частота его собственных незатухающих колебаний – ω0 . Найти отношение средней за период мощности вынуждающей силы F(t) причастоте, соответствующей резонансу смещения, к максимальнойсредней мощности этой силы.РешениеI. Рассмотрим колебания маятника под действием гармонической вынуждающей силы F (t ) = F0 cos(pt ) в установившемся режиме, когда собственными затухающими колебаниями можно пренебречь (см.
п. 8.1.3).МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ310II. В установившемся режиме координата и скорость маятника меняются по законам (см. (8.47) и (8.53)):x(t ) = a cos( p t + ϕ ) ,(8.163)υ (t ) = − ap sin( p t + ϕ ) .(8.164)Запишем элементарную работу dA вынуждающей силы F,совершаемую за физически бесконечно малый интервал времени:dA = F (t )dx = F (t )υ (t ) dt ,(8.165)где в соответствии с условием задачи вынуждающая сила равна:F (t ) = F0 cos(pt) .(8.166)Суммарную работу этой силы за период колебаний T находим интегрированием элементарной работы:TA = ∫ F (t )υ (t )dt .(8.167)0Запишем среднюю за период мощность вынуждающей силы:TPср =1F (t )υ (t )dt .T ∫0(8.168)Система уравнений (8.163) – (8.168) позволяет получить зависимость средней мощности Pср вынуждающей силы от частотыp.
Для нахождения искомого в задаче отношения средней за периодмощности силы F при частоте, соответствующей резонансу смещения, к максимальной средней мощности этой силы необходимонайти максимум средней мощности, а также дополнить полученную систему уравнений выражениями (8.45), (8.46) и (8.48) для амплитуды вынужденных колебаний a( p ) , фазы ϕ ( p) и резонанснойчастоты pрез при резонансе смещения:a( p) =(F0m ω02 − p 2)2+ 4δ 2 p 2,(8.169)2δp.p − ω02(8.170)pрез = ω02 − 2δ 2 .(8.171)tg ϕ ( p ) =2III. Интегрируя (8.168) с учетом (8.167) и заданного в задачезакона изменения вынуждающей силы F(t), получаем:ГЛАВА 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
